Costruzione determinante di Slater
Buondì, avrei due domande teoriche riguardo i determinanti di Slater. Penso di averli capiti, e vorrei usare un esempio per evidenziare da dove nasce il mio dubbio.
Mettiamo di voler costruire lo stato fondamentale di un sistema di N=3 fermioni. Ora, alcune osservazioni:
1) ogni stato è naturalmente occupato solo da una coppia di fermioni con spin opposto, il che significa che per N=3 avrò bisogno di due stati. Quello fondamentale, e il primo eccitato: a, b.
2) lo spinore del fermione nello stato eccitato sarà invariante rispetto al segno
Quindi mi verrà una cosa del tipo:
$psi_N=1/sqrt(3!)[ ( phi_a(1)chi_+(1) , phi_a(2)chi_+(2) , phi_a(3)chi_+(3) ),( phi_a(1)chi_(-)(1) , phi_a(2)chi_(-)(2) , phi_a(3)chi_(-)(3) ),( phi_b(1)chi_(+-)(1) , phi_b(2)chi_(+-)(2) , phi_b(3)chi_(+-)(3) ) ] $
Ora:
1) se avessi più di tre righe, come mi comporto con gli spinori? Continuo ad alternare positivo/negativo più un'invariante nel caso di stato incompleto? (essenzialmente, le righe della matrice)
2) Mettiamo di avere N=7. Come costruisco la matrice? Sarebbero 4 stati per 7 particelle, che non è più una matrice quadrata.
Mi rendo conto che probabilmente sono domande banali, ma non trovo risposta sul materiale che ho.
Grazie!
Mettiamo di voler costruire lo stato fondamentale di un sistema di N=3 fermioni. Ora, alcune osservazioni:
1) ogni stato è naturalmente occupato solo da una coppia di fermioni con spin opposto, il che significa che per N=3 avrò bisogno di due stati. Quello fondamentale, e il primo eccitato: a, b.
2) lo spinore del fermione nello stato eccitato sarà invariante rispetto al segno
Quindi mi verrà una cosa del tipo:
$psi_N=1/sqrt(3!)[ ( phi_a(1)chi_+(1) , phi_a(2)chi_+(2) , phi_a(3)chi_+(3) ),( phi_a(1)chi_(-)(1) , phi_a(2)chi_(-)(2) , phi_a(3)chi_(-)(3) ),( phi_b(1)chi_(+-)(1) , phi_b(2)chi_(+-)(2) , phi_b(3)chi_(+-)(3) ) ] $
Ora:
1) se avessi più di tre righe, come mi comporto con gli spinori? Continuo ad alternare positivo/negativo più un'invariante nel caso di stato incompleto? (essenzialmente, le righe della matrice)
2) Mettiamo di avere N=7. Come costruisco la matrice? Sarebbero 4 stati per 7 particelle, che non è più una matrice quadrata.
Mi rendo conto che probabilmente sono domande banali, ma non trovo risposta sul materiale che ho.
Grazie!
Risposte
Te lo dice il sistema dove stanno le particelle, tu devi solo trascrivere le combinazioni.
Mettiamo che hai 7 elettroni, in cui un elettrone è nello stato $E_1$ , due in $E_2$, altri due in $E_3$, altri due in $E_4$. Il primo elettrone non ha vincoli, mentre gli altri dovranno avere spin opposti. Non hai 4 righe, ma 7.
La prima riga è fatta dalle $\psi(i)_1^(+)$ intendendo questa come la funzione dello stato con $E_1$ e spin up calcolata rispetto alle varie particelle.
La seconda riga è fatta da $\psi(i)_2^(+)$
La terza riga è fatta da $\psi(i)_2^(-)$
La quarta riga è fatta da $\psi(i)_3^(+)$
La quinta riga è fatta da $\psi(i)_3^(-)$
e analoghe la sesta e settima.
Poi hai l'altro determinante dove la prima riga è quella relativa allo spin down.
Mettiamo che hai 7 elettroni, in cui un elettrone è nello stato $E_1$ , due in $E_2$, altri due in $E_3$, altri due in $E_4$. Il primo elettrone non ha vincoli, mentre gli altri dovranno avere spin opposti. Non hai 4 righe, ma 7.
La prima riga è fatta dalle $\psi(i)_1^(+)$ intendendo questa come la funzione dello stato con $E_1$ e spin up calcolata rispetto alle varie particelle.
La seconda riga è fatta da $\psi(i)_2^(+)$
La terza riga è fatta da $\psi(i)_2^(-)$
La quarta riga è fatta da $\psi(i)_3^(+)$
La quinta riga è fatta da $\psi(i)_3^(-)$
e analoghe la sesta e settima.
Poi hai l'altro determinante dove la prima riga è quella relativa allo spin down.
In altre parole, se ho capito bene, due righe per ogni stato completo (una per spinore), un'invariante per ogni stato incompleto e tante colonne quante sono le particelle. In effetti potevo arrivarci...
Chiarissimo come sempre, ti ringrazio molto.
Chiarissimo come sempre, ti ringrazio molto.
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