Costruire una piramide
"Calcola il lavoro che si compie per costruire un edificio in pietra a forma di piramide, dal lato di 50 metri e l'altezza di 90 metri. La densità delle pietre con cui viene costruito è di $3 gr/(cm^3)$"
Ho pensato che calcolare il lavoro per costruire la piramide sia equivalente a calcolare il lavoro che si compie a posizionare il centro di massa, cioè
$L=mgh$, con $h$ l'altezza da terra del centro di massa della piramide. E' solo che non so come calcolare il centro di massa.. Esso si trova nel punto di simmetria del quadrato di base, ovviamente, ma l'altezza da terra non so come trovarla.
Grazie
Ho pensato che calcolare il lavoro per costruire la piramide sia equivalente a calcolare il lavoro che si compie a posizionare il centro di massa, cioè
$L=mgh$, con $h$ l'altezza da terra del centro di massa della piramide. E' solo che non so come calcolare il centro di massa.. Esso si trova nel punto di simmetria del quadrato di base, ovviamente, ma l'altezza da terra non so come trovarla.
Grazie
Risposte
se consideri un piano parallelo alla base ad altezza h, la piramide al di sopra di questo piano (di altezza pari ad H-h = 90m - h) è simile alla piramide di partenza: se deve avere volume pari alla metà di questa, il rapporto tra gli spigoli e tra le altezze delle piramidi è radice cubica di 2. quindi $h=(1-(1/(2^(1/3))))*90m$. ciao.
pardon, non ne sono certa, ma potrei aver detto una sciocchezza... riferendomi al baricentro di un triangolo consideravo che le mediane tagliano il triangolo in parti equivalenti... ma se prendi una retta parallela ad un lato passante per il baricentro il triangolo piccolo simile a quello grande ha area pari ai 4/9.... scusa. spero che la discussione ti sia almeno stata utile. ciao.
Quindi, devo imporre:
$A_1:A_2=4:9$. Se chiamo $d$ la base del triangolo piccolo e $l$ la base della piramide data, ho:
$[d(H-h)]/2 : (l*H)/2 = 4:9$.
Giusto? [$d$ è un'incognita che dovrei riuscire ad eliminare lavorando con un po' di trigonometria].
Una domanda: quel rapporto $4/9$ da dove esce fuori?
$A_1:A_2=4:9$. Se chiamo $d$ la base del triangolo piccolo e $l$ la base della piramide data, ho:
$[d(H-h)]/2 : (l*H)/2 = 4:9$.
Giusto? [$d$ è un'incognita che dovrei riuscire ad eliminare lavorando con un po' di trigonometria].
Una domanda: quel rapporto $4/9$ da dove esce fuori?
scusa, dovrebbe risultare $h=1/4 H$, anche se ti consiglio di predere questo risultato con le molle...
per rimediare alla figuraccia precedente, ho cercato un modello ideale...
un tetraedro regolare inscitto in una sfera...
il centro della sfera dovrebbe risultare a distanza da ciascuna faccia pari ad un quarto dell'altezza...
se scrivo tutto in funzione del lato $L$ del tetraedro, il raggio della sfera dovrebbe essere $R=sqrt(6) /4 *L$, l'altezza del tetraedro $H=sqrt(6) /3 *L$, l'altezza del baricentro $h=sqrt(6) /12*L$. spero di non essere andata ancora in confusione... ciao.
per rimediare alla figuraccia precedente, ho cercato un modello ideale...
un tetraedro regolare inscitto in una sfera...
il centro della sfera dovrebbe risultare a distanza da ciascuna faccia pari ad un quarto dell'altezza...
se scrivo tutto in funzione del lato $L$ del tetraedro, il raggio della sfera dovrebbe essere $R=sqrt(6) /4 *L$, l'altezza del tetraedro $H=sqrt(6) /3 *L$, l'altezza del baricentro $h=sqrt(6) /12*L$. spero di non essere andata ancora in confusione... ciao.
4/9 risulta dalla similitudine dei triangoli... il baricentro si trova ad 1/3 della mediana (a 2/3 dal vertice opposto). sia la base sia l'altezza del triangolo piccolo sono nella stessa proporzione (2/3) con le rispettive misure del triangolo grande, per cui il rapporto tra le aree è 4/9. ma ti dicevo che non serve a nulla... se k è il rapporto tra due "lati" sarà k^2 il rapporto tra le aree di poligoni simili, sarà k^3 il rapporto tra i volumi di poliedri simili... proprio per il fatto che viene 4/9 anziché 1/2 la cosa ci spinge a sospettare che non si estendono facilmente i ragionamenti al caso tridimensionale. io però sono ottimista circa il risultato che ti ho proposto nel penultimo post. ti esorto però a rifare i calcoli.... ciao.
A me riporta $h=H/3$.. Ora posto tutti i calcoli
"adaBTTLS":
il baricentro si trova ad 1/3 della mediana (a 2/3 dal vertice opposto). sia la base sia l'altezza del triangolo piccolo sono nella stessa proporzione (2/3) con le rispettive misure del triangolo grande
Ora leggendo attentamente quello che mi hai scritto, ho pensato che sia molto più semplice di quanto ho fatto, e il risultato coincide. Come hai detto te, l'altezza del triangolo piccolo è in proporzione $2/3$ rispetto all'altezza del triangolo grande, cioè $H-h=2/3H$, cioè $h=H/3$
Se vuoi, posto tutti i calcoli trigonometrici e la proporzione con le aree..
anch'io, però credo sbagliando, ti stavo per scrivere 1/3. rifletti bene, questa sembra la soluzione più ovvia, ma c'è da sospettare che non sia banale passare dal caso bidimensionale al caso tridimensionale....
anzi,
se hai un'asta (monodimensionale) rapporto 1/2
se hai un rettangolo, sempre 1/2
se hai un triangolo, 1/3
se hai un prisma, 1/2
se hai una piramide? a me è venuto 1/4, ma...?
ciao. ora devo andare. mi farò risentire in serata.
anzi,
se hai un'asta (monodimensionale) rapporto 1/2
se hai un rettangolo, sempre 1/2
se hai un triangolo, 1/3
se hai un prisma, 1/2
se hai una piramide? a me è venuto 1/4, ma...?
ciao. ora devo andare. mi farò risentire in serata.
$1/4$
ora c'è anche il conforto di mircoFN. consiglio ad elios di rivedere comunque i calcoli, attraverso la definizione di centro di massa o anche attraverso il modello ideale del tetraedro regolare inscritto in una sfera.
se mircoFN volesse commentare il suo risultato... farebbe cosa gradita. ci sono semplici generalizzazioni di tale formula?
ciao.
se mircoFN volesse commentare il suo risultato... farebbe cosa gradita. ci sono semplici generalizzazioni di tale formula?
ciao.
Piramide omogenea di base quadrata con lato $b$ e altezza $h$.
Volume: $V=(b^2*h)/3$.
Momento statico rispetto alla base: $S_x=\int_0^h [b/h(h-x)]^2*x*dx=(b^2*h^2)/12$.
Altezza del baricentro rispetto alla base: $x_g=(S_x)/V=h/4$.
Volume: $V=(b^2*h)/3$.
Momento statico rispetto alla base: $S_x=\int_0^h [b/h(h-x)]^2*x*dx=(b^2*h^2)/12$.
Altezza del baricentro rispetto alla base: $x_g=(S_x)/V=h/4$.
Quindi, Calcolo il lavoro da compiere per costruire la piramide : $L=mg(h/4)$
E' solo che non ho la massa delle pietre da spostare. Ho la loro densità.. Come faccio a calcolare effettivamente il lavoro da compiere??
E' solo che non ho la massa delle pietre da spostare. Ho la loro densità.. Come faccio a calcolare effettivamente il lavoro da compiere??
la massa è il volume (totale) per la densità. tu parli di lato e altezza noti ... devi conoscere la forma della base. se è quadrata, lato b e altezza h, la formula del volume te l'ha scritta GIBI.... ciao.
Ma il volume che devo calcolare per avere la massa delle pietre deve essere il volume del tronco di piramide dall'altezza $h/4$, giusto? Perché devo sempre calcolare il lavoro per costruire la piramide che è uguale al lavoro per posizionare il centro di massa della piramide..
"elios":
Ma il volume che devo calcolare per avere la massa delle pietre deve essere il volume del tronco di piramide dall'altezza $h/4$, giusto? Perché devo sempre calcolare il lavoro per costruire la piramide che è uguale al lavoro per posizionare il centro di massa della piramide..
No, il volume è quello dell'intera piramide. Il lavoro è perciò:
$L=(mgh)/4=(rho*V*g*h)/4=(rho*g*a^2*h^2)/12$
Quindi per te $V=a^2*h$, cioè il volume di un parallelepipedo avente per base la base della piramide e per altezza l'altezza della piramide??
...ma come un parallelepipedo... non hai notato che il 4 al denominatore è diventato 12 ? volume piramide=1/3*area base*altezza
massa=volume*densità
formula finale è quella che ti ha scritto MaMo. ciao.
massa=volume*densità
formula finale è quella che ti ha scritto MaMo. ciao.
Perdono!
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