Costante di tempo circuito rc

[Frale1]

Buonasera a tutti, ho il seguente circuito in cui il testo mi dice che la costante di tempo è unica essendo $R_1C_1=R_2C_2$. Mi chiede di calcolarla.
Mi sono scritta le equazioni del circuito:
$\{(V_0 = Ri(t)+R_1i_1(t)+(q_1(t))/C_1),
(0=R_2i_2(t)+(q_2(t))/C_2-R_1i_1(t)-(q_1(t))/C_1) ,
(i(t)=i_1(t)+i_2(t)) ,
( i_1(t)=(delq_1(t))/(delt)) ,
(i_2(t)=(delq_2(t))/(delt)):}$
Andando a sostituire alle correnti le variazioni di carica mi viene
$\{(V_0=(R+R_1)(delq_1(t))/(delt)+R(delq_2(t))/(delt)+(q_1(t))/C_1),
(0=R_2(delq_2(t))/(delt)+(q_2(t))/C_2-R_1(delq_1(t))/(delt)-(q_1(t))/C_1):}$
Non riesco ad isolare le incognite per trovare la costante di tempo. Lo so che non bisogna risolvere le equazioni ma non riesco ad andare avanti. Grazie mille.

[RenzoDF]

Volendo fare in quel modo, ti potresti (per sempio) ricavare la $(dq_2)/(dt)$ dalla prima e usarla nella seconda per avere una equazione differenziale del secondo ordine in q2, ma non è certo quella la strada più semplice; partendo da quell'importantissimo dato sull'uguaglianza delle costanti di tempo dei due lati, la costante di tempo la puoi scrivere direttamente dalla semplice ispezione della rete.
Per rendere più evidente il modo, prova a scambiare di posto R2 con C2 e a pensare come vanno a salire le tensioni su quei due condensatori alla chiusura dell'interruttore.

"Frale":... Lo so che non bisogna risolvere le equazioni ma non riesco ad andare avanti.

Come fai a saperlo? ... da cosa si evincerebbe?

BTW Complimenti per l'inquadratura; è sempre "stimolante" cercare di indovinare le parti non visibili del testo.

[Frale1]

In pratica ho chiesto questo esercizio al professore il quale mi ha detto di scrivere le equazioni e di ricavare le 2 costanti di tempo senza risolvere le equazioni e di imporre quella condizione.

[Frale1]

la tensione ai capi dei due capacitori è $V(t)=V_0(1-e^(-t/tau))$

[Frale1]

Altrimenti avevo pensato a questa cosa: $q_1(t)=V_0C_1(1-e^(-t/tau_1))$ e $i_1(t)=(dq_1(t))/(dt)=(V_0C_1)/(tau_1)e^(-t/tau_1)$ ma posso calcolare $i_1(t)=(V_0R_2)/(R_2R_1+(R)R_2+(R)R_1)e^(-t/tau_1)$ ed eguagliare le due correnti in modo da trovare $tau_1=(C_1(R_2R_1+(R)R_2+(R)R1))/R_2$.Analogamente calcolo $tau_2=(C_2(R_2R_1+(R)R_2+(R)R_1))/R_1$. Andando ad eguagliare trovo $C_1R_1=C_2R_2$. Quindi la $tau$ è una delle due.

[RenzoDF]

Intendevo suggerire che la tensione su C1 sale nello stesso modo di quella su C2 anche come valore, e di conseguenza una volta portato C2 con un terminale a massa, la differenza di potenziale fra i due morsetti fuori massa dei due condensatori è nulla e di conseguenza possiamo ...

BTW vedo che l'invito a postare un'immagine completa del testo non è stato purtroppo accolto.

[Frale1]

Scusami ma non capisco

[RenzoDF]

Intendo dire che due punti che presentano una differenza di potenziale nulla possono essere collegati fra loro

[fcd="fig.1"][FIDOCAD]
FJC B 0.5
MC 45 15 0 0 ihram.res
MC 65 20 1 0 ihram.res
MC 85 20 1 0 ihram.res
LI 45 15 40 15 0
LI 60 15 85 15 0
LI 85 15 85 20 0
LI 65 15 65 20 0
MC 65 45 1 0 170
MC 85 45 1 0 170
LI 40 45 40 60 0
LI 40 60 85 60 0
LI 85 60 85 55 0
LI 65 55 65 60 0
MC 40 25 0 0 450
LI 40 15 40 25 0
TY 51 7 4 3 0 1 0 * R
TY 69 24 4 3 0 1 0 * R1
TY 90 24 4 3 0 1 0 * R2
TY 70 52 4 3 0 1 0 * C1
TY 90 52 4 3 0 1 0 * C2
LI 65 35 65 45 0
LI 85 35 85 45 0
TY 25 35 4 3 0 1 0 * Vo
LI 65 40 85 40 2[/fcd]
e questo semplifica tutto il calcolo.

BTW noto per la seconda volta che la richiesta di un'immagine completa del problema non viene considerata; ... grazie!

[Frale1]

Scusa ma non avevo il testo con me." Nel circuito riportato, in cui $V_0=24V$, $R=0,1MOhm$, $R_1=0,5MOhm$, $R_2=1,25MOhm$, $C_1=5muF$ e $C_2=2muF$, essendo $R_1C_1=R_2C_2$, la costante di tempo per i transitori è unica. Determinare il valore della costante. Calcolare l'energia elettrica totale dissipata nel transitorio.(le risposte non richiedono necessariamente la soluzione di equazioni differenziali."
Allora ho i due capacitori $C_1$ e $C_2$ in parallelo e le resistenze $R_1$ e $R_2$ in parallelo, in serie con $R$. Così trovo $tau=(C_1+C_2)((R_1R_2+(R)R_1+(R)R_2)/(R_1+R_2))$

[RenzoDF]

Proprio così!

Per quanto riguarda il consiglio del tuo professore

"Frale":... mi ha detto di scrivere le equazioni e di ricavare le 2 costanti di tempo senza risolvere le equazioni e di imporre quella condizione.

sarei proprio curioso di capire come avrebbe "risolto senza risolvere", ovvero come avrebbe avuto intenzione di ricavarsi le due costanti di tempo in forma simbolica senza passare dalle radici dell'equazione caratteristica associata all'equazione differenziale del secondo ordine in una delle due cariche.

[Frale1]

Grazie mille

[RenzoDF]

Di nulla!