Coseno, seno e funzioni inverse, dubbio su estremi e posizioni di equilibrio
Ciao a tutti, sto svolgendo alcuni temi d'esame di meccanica razionale, non sono sicuro di alcune soluzioni ottenute per le posizioni di equilibro o meglio, non sono sicuro che il ragionamento adottato sia corretto o meno. In entrambi i casi $\theta \in [0;2\pi]$ cioè l'oggetto può ruotare completamente intorno al punto di applicazione.
In questo primo esempio, dopo aver svolto i conti sul potenziale e le sue derivate rispetto alle coordinate lagrangiane $ q=(x, \theta) $, ottengo questo
$ sin(2\theta)=-\lambda $.
$\lambda$ risulta composto da termini $ >0 $ quindi il suo dominio è $ (0;1] $.
Inverto la funzione per esplicitare $ \theta $, il suo dominio è $ [-pi/2;pi/2] $ quindi le posizioni di equilibrio per $\theta$ risultano essere
$ \theta1=pi/2 - arcsin(-\lambda)/2 $
$ \theta2= pi/2 + arcsin(-\lambda)/2 $
In un secondo tema di esame, con coordinata lagrangiana $q=(\theta)$ ottengo
$cos(\theta)=-\lambda$
anche qui $\lambda$ risulta essere $>0$ quindi ha dominio pari a $(0;1]$, esplicitando $\theta$ e sapendo che il dominio dell'arcocoseno è $[0;\pi]$ ottengo le due posizioni di equilibrio
$\theta1=arccos(-\lambda)$
$\theta2=2\pi - arccos(-\lambda)$
Le domanda che mi ero posto nel primo esempio è perché avesse tolto o aggiunto $arcsin(-\lambda)$ anziché togliere o aggiungere $pi/2$ cosa che avrei fatto io.
Nel secondo esempio va aggiungere l'arcocoseno a $0$ e per l'altra posizione d'equilibrio, lo va a togliere a $2pi$ mentre io avrei semplicemente sommato $pi$ alla seconda posizione d'equilibrio.
La risposta che ho provato a darmi nel primo esempio è: dato che la funzione arcoseno è pari, per semplicità di notazione, l'ha inserita in quel modo, ma non sono convinto di questa risposta.
Per il secondo esempio, invece, non sono riuscito a darmi una risposta. Qui non mi sembra di ottene le stesse posizioni.
Se $ arccos(-\lambda) = 0$ ottengo $\theta1=0$ e $\theta2=2\pi$ mentre con la mia soluzione avrei ottenuto $0$ e $pi$.
Se $arccos(-\lambda) = \pi$ ottengo $\theta1=\theta2=\pi$ mentre nella mia soluzione avrei ottenuto $\theta1=\pi$ e $\theta2=\2pi$.
Comunque in entrambi i casi (mia soluzione e soluzione del compito) le soluzioni coprono tutte le posizioni ma con combinazioni differenti.
Quando ho degli arcocoseni o arcoseni, otterrò sempre due soluzioni così da poter coprire tutte le posizioni possibili ma non ho capito secondo quale ragionamento vado a sottrarre/sommare i vari $\pi$
Grazie mille per l'aiuto che riceverò.
PS: ho usato il tasto ricerca ma non sono riuscito a trovare nulla e dopo diverse ricerche ha smesso di farmelo usare.
[xdom="Seneca"]Sposto in Fisica.[/xdom]
In questo primo esempio, dopo aver svolto i conti sul potenziale e le sue derivate rispetto alle coordinate lagrangiane $ q=(x, \theta) $, ottengo questo
$ sin(2\theta)=-\lambda $.
$\lambda$ risulta composto da termini $ >0 $ quindi il suo dominio è $ (0;1] $.
Inverto la funzione per esplicitare $ \theta $, il suo dominio è $ [-pi/2;pi/2] $ quindi le posizioni di equilibrio per $\theta$ risultano essere
$ \theta1=pi/2 - arcsin(-\lambda)/2 $
$ \theta2= pi/2 + arcsin(-\lambda)/2 $
In un secondo tema di esame, con coordinata lagrangiana $q=(\theta)$ ottengo
$cos(\theta)=-\lambda$
anche qui $\lambda$ risulta essere $>0$ quindi ha dominio pari a $(0;1]$, esplicitando $\theta$ e sapendo che il dominio dell'arcocoseno è $[0;\pi]$ ottengo le due posizioni di equilibrio
$\theta1=arccos(-\lambda)$
$\theta2=2\pi - arccos(-\lambda)$
Le domanda che mi ero posto nel primo esempio è perché avesse tolto o aggiunto $arcsin(-\lambda)$ anziché togliere o aggiungere $pi/2$ cosa che avrei fatto io.
Nel secondo esempio va aggiungere l'arcocoseno a $0$ e per l'altra posizione d'equilibrio, lo va a togliere a $2pi$ mentre io avrei semplicemente sommato $pi$ alla seconda posizione d'equilibrio.
La risposta che ho provato a darmi nel primo esempio è: dato che la funzione arcoseno è pari, per semplicità di notazione, l'ha inserita in quel modo, ma non sono convinto di questa risposta.
Per il secondo esempio, invece, non sono riuscito a darmi una risposta. Qui non mi sembra di ottene le stesse posizioni.
Se $ arccos(-\lambda) = 0$ ottengo $\theta1=0$ e $\theta2=2\pi$ mentre con la mia soluzione avrei ottenuto $0$ e $pi$.
Se $arccos(-\lambda) = \pi$ ottengo $\theta1=\theta2=\pi$ mentre nella mia soluzione avrei ottenuto $\theta1=\pi$ e $\theta2=\2pi$.
Comunque in entrambi i casi (mia soluzione e soluzione del compito) le soluzioni coprono tutte le posizioni ma con combinazioni differenti.
Quando ho degli arcocoseni o arcoseni, otterrò sempre due soluzioni così da poter coprire tutte le posizioni possibili ma non ho capito secondo quale ragionamento vado a sottrarre/sommare i vari $\pi$
Grazie mille per l'aiuto che riceverò.
PS: ho usato il tasto ricerca ma non sono riuscito a trovare nulla e dopo diverse ricerche ha smesso di farmelo usare.
[xdom="Seneca"]Sposto in Fisica.[/xdom]
Risposte
Le tue soluzioni non sono corrette. Infatti:
$[sin2\theta=-\lambda] rarr$
$rarr [2\theta=arcsin(-\lambda)+2k\pi] vv [2\theta=\pi-arcsin(-\lambda)+2k\pi] rarr$
$rarr [\theta=1/2arcsin(-\lambda)+k\pi] vv [\theta=\pi/2-1/2arcsin(-\lambda)+k\pi]$
Non rimane che selezionare le sole soluzioni che soddisfano la condizione $[0 lt= \theta lt= 2\pi]$:
$[\theta=1/2arcsin(-\lambda)+\pi=\pi-1/2arcsin\lambda] vv [\theta=1/2arcsin(-\lambda)+2\pi=2\pi-1/2arcsin\lambda]$
$[\theta=\pi/2-1/2arcsin(-\lambda)=\pi/2+1/2arcsin\lambda]vv [\theta=\pi/2-1/2arcsin(-\lambda)+\pi=3/2\pi+1/2arcsin\lambda]$
$[sin2\theta=-\lambda] rarr$
$rarr [2\theta=arcsin(-\lambda)+2k\pi] vv [2\theta=\pi-arcsin(-\lambda)+2k\pi] rarr$
$rarr [\theta=1/2arcsin(-\lambda)+k\pi] vv [\theta=\pi/2-1/2arcsin(-\lambda)+k\pi]$
Non rimane che selezionare le sole soluzioni che soddisfano la condizione $[0 lt= \theta lt= 2\pi]$:
$[\theta=1/2arcsin(-\lambda)+\pi=\pi-1/2arcsin\lambda] vv [\theta=1/2arcsin(-\lambda)+2\pi=2\pi-1/2arcsin\lambda]$
$[\theta=\pi/2-1/2arcsin(-\lambda)=\pi/2+1/2arcsin\lambda]vv [\theta=\pi/2-1/2arcsin(-\lambda)+\pi=3/2\pi+1/2arcsin\lambda]$
"anonymous_0b37e9":
Le tue soluzioni non sono corrette. Infatti:
$[sin2\theta=-\lambda] rarr$
$rarr [2\theta=arcsin(-\lambda)+2k\pi] vv [2\theta=\pi-arcsin(-\lambda)+2k\pi] rarr$
$rarr [\theta=1/2arcsin(-\lambda)+k\pi] vv [\theta=\pi/2-1/2arcsin(-\lambda)+k\pi]$
Non rimane che selezionare le sole soluzioni che soddisfano la condizione $[0 lt= \theta lt= 2\pi]$:
$[\theta=1/2arcsin(-\lambda)+\pi=\pi-1/2arcsin\lambda] vv [\theta=1/2arcsin(-\lambda)+2\pi=2\pi-1/2arcsin\lambda]$
$[\theta=\pi/2-1/2arcsin(-\lambda)=\pi/2+1/2arcsin\lambda]vv [\theta=\pi/2-1/2arcsin(-\lambda)+\pi=3/2\pi+1/2arcsin\lambda]$
Scusa ma le soluzioni che ho postato sono quelle inserite nella soluzione del tema d'esame, confermate dal professore. Non ho capito a quale soluzioni ti riferisci, quindi.
Se posso vi carico le soluzioni.
Mi riferisco a queste:
$[\theta=pi/2-arcsin(-\lambda)/2] vv [\theta=pi/2+arcsin(-\lambda)/2]$
Mentre la prima è corretta, la seconda è senz'altro sbagliata. Del resto:
$[\theta=pi/2+arcsin(-\lambda)/2] rarr [2\theta=pi+arcsin(-\lambda)] rarr [sin2\theta=sin(pi+arcsin(-\lambda))] rarr$
$rarr [sin2\theta=-sin(arcsin(-\lambda)] rarr [sin2\theta=\lambda)]$
Più intuitivamente, siccome quella soluzione giace nel 1° quadrante, il suo doppio giace nel 1° o nel 2°. Insomma, il suo seno non può essere negativo. Inoltre, a rigore, ne mancano altre due.
$[\theta=pi/2-arcsin(-\lambda)/2] vv [\theta=pi/2+arcsin(-\lambda)/2]$
Mentre la prima è corretta, la seconda è senz'altro sbagliata. Del resto:
$[\theta=pi/2+arcsin(-\lambda)/2] rarr [2\theta=pi+arcsin(-\lambda)] rarr [sin2\theta=sin(pi+arcsin(-\lambda))] rarr$
$rarr [sin2\theta=-sin(arcsin(-\lambda)] rarr [sin2\theta=\lambda)]$
Più intuitivamente, siccome quella soluzione giace nel 1° quadrante, il suo doppio giace nel 1° o nel 2°. Insomma, il suo seno non può essere negativo. Inoltre, a rigore, ne mancano altre due.
"anonymous_0b37e9":
Mi riferisco a queste:
$[\theta=pi/2-arcsin(-\lambda)/2] vv [\theta=pi/2+arcsin(-\lambda)/2]$
Mentre la prima è corretta, la seconda è senz'altro sbagliata. Del resto:
$[\theta=pi/2+arcsin(-\lambda)/2] rarr [2\theta=pi+arcsin(-\lambda)] rarr [sin2\theta=sin(pi+arcsin(-\lambda))] rarr$
$rarr [sin2\theta=-sin(arcsin(-\lambda)] rarr [sin2\theta=\lambda)]$
Più intuitivamente, siccome quella soluzione giace nel 1° quadrante, il suo doppio giace nel 1° o nel 2°. Insomma, il suo seno non può essere negativo. Inoltre, a rigore, ne mancano altre due.
A questo punto credo di aver sbagliato qualcosa nell'impostazione iniziale o nell'interpretare il testo. In allegato gli screen delle soluzioni per le posizioni di equilibrio.
Click sull'immagine per visualizzare l'originale
Click sull'immagine per visualizzare l'originale
Intanto, le coordinate di A sono invertite.
Sì, sono invertite ma il potenziale è corretto a meno di un segno che è già segnalato nel PDF. Sono corrette anche le derivate rispetto ad $x$ e $\theta$
Ok. Delle soluzioni riportate nel testo:
$[\theta_1=pi/2-arcsin\lambda/2] vv [\theta_2=pi/2+arcsin\lambda/2]$
identiche a quelle che hai scritto nel messaggio di apertura:
$[\theta_1=pi/2+arcsin(-\lambda)/2] vv [\theta_2=pi/2-arcsin(-\lambda)/2]$
la prima è senz'altro sbagliata. Tra l'altro, la condizione:
$[\pi/4 lt= \theta lt= 3/4\pi]$
sovrapponendosi al primo quadrante e per le argomentazioni del mio messaggio precedente, non promette nulla di buono. Ad ogni modo, ragionando più fisicamente, visto che la reazione vincolare è diretta lungo l'asse y, solo se l'estremo A giace sul medesimo asse il sistema può essere in equilibrio. Infatti:
$[x=lcos\theta]$
Inoltre, per avere equilibrio alla rotazione, deve necessariamente essere:
$[\pi/2 lt \theta lt \pi] vv [3/2\pi lt \theta lt 2\pi]$
altrimenti il momento della forza elastica e il momento della coppia oraria tenderebbero a ruotare il sistema nello stesso senso. Infine, non è un caso che le soluzioni illustrate nel mio primo messaggio:
$[\theta=\pi-1/2arcsin\lambda] vv [\theta=2\pi-1/2arcsin\lambda] vv [\theta=\pi/2+1/2arcsin\lambda] vv [\theta=3/2\pi+1/2arcsin\lambda]$
rispettino le condizioni di cui sopra.
$[\theta_1=pi/2-arcsin\lambda/2] vv [\theta_2=pi/2+arcsin\lambda/2]$
identiche a quelle che hai scritto nel messaggio di apertura:
$[\theta_1=pi/2+arcsin(-\lambda)/2] vv [\theta_2=pi/2-arcsin(-\lambda)/2]$
la prima è senz'altro sbagliata. Tra l'altro, la condizione:
$[\pi/4 lt= \theta lt= 3/4\pi]$
sovrapponendosi al primo quadrante e per le argomentazioni del mio messaggio precedente, non promette nulla di buono. Ad ogni modo, ragionando più fisicamente, visto che la reazione vincolare è diretta lungo l'asse y, solo se l'estremo A giace sul medesimo asse il sistema può essere in equilibrio. Infatti:
$[x=lcos\theta]$
Inoltre, per avere equilibrio alla rotazione, deve necessariamente essere:
$[\pi/2 lt \theta lt \pi] vv [3/2\pi lt \theta lt 2\pi]$
altrimenti il momento della forza elastica e il momento della coppia oraria tenderebbero a ruotare il sistema nello stesso senso. Infine, non è un caso che le soluzioni illustrate nel mio primo messaggio:
$[\theta=\pi-1/2arcsin\lambda] vv [\theta=2\pi-1/2arcsin\lambda] vv [\theta=\pi/2+1/2arcsin\lambda] vv [\theta=3/2\pi+1/2arcsin\lambda]$
rispettino le condizioni di cui sopra.
"anonymous_0b37e9":
Ok. Delle soluzioni riportate nel testo:
$[\theta_1=pi/2-arcsin\lambda/2] vv [\theta_2=pi/2+arcsin\lambda/2]$
identiche a quelle che hai scritto nel messaggio di apertura:
$[\theta_1=pi/2+arcsin(-\lambda)/2] vv [\theta_2=pi/2-arcsin(-\lambda)/2]$
la prima è senz'altro sbagliata. Tra l'altro, la condizione:
$[\pi/4 lt= \theta lt= 3/4\pi]$
sovrapponendosi al primo quadrante e per le argomentazioni del mio messaggio precedente, non promette nulla di buono. Ad ogni modo, ragionando più fisicamente, visto che la reazione vincolare è diretta lungo l'asse y, solo se l'estremo A giace sul medesimo asse il sistema può essere in equilibrio. Infatti:
$[x=lcos\theta]$
Inoltre, per avere equilibrio alla rotazione, deve necessariamente essere:
$[\pi/2 lt \theta lt \pi] vv [3/2\pi lt \theta lt 2\pi]$
altrimenti il momento della forza elastica e il momento della coppia oraria tenderebbero a ruotare il sistema nello stesso senso. Infine, non è un caso che le soluzioni illustrate nel mio primo messaggio:
$[\theta=\pi-1/2arcsin\lambda] vv [\theta=2\pi-1/2arcsin\lambda] vv [\theta=\pi/2+1/2arcsin\lambda] vv [\theta=3/2\pi+1/2arcsin\lambda]$
rispettino le condizioni di cui sopra.
Dalle derivate del potenziale rispetto alle coordinate lagrangiane ottengo tutte le posizioni di equilibrio, non sto valutando adesso la loro stabilità o instabilità, quello lo faccio dopo ricavandolo dall'Hessiana. Quindi, mi vuoi dire che la prima soluzione per $\theta$ è errata?
Giusto per capire cosa dire al prof perché se non mi posso fidare del risultato che ho davanti risulta difficile avere una conferma dalle soluzioni.
Ripeto, anche solo dal punto di vista puramente matematico:
$[\theta=pi/2-arcsin\lambda/2] rarr [0 lt \theta lt pi/2] rarr [0 lt 2\theta lt pi] rarr [sin2\theta gt 0]$
è in contraddizione con $[sin2\theta=-\lambda]$.
$[\theta=pi/2-arcsin\lambda/2] rarr [0 lt \theta lt pi/2] rarr [0 lt 2\theta lt pi] rarr [sin2\theta gt 0]$
è in contraddizione con $[sin2\theta=-\lambda]$.
"anonymous_0b37e9":
Ripeto, anche solo dal punto di vista puramente matematico:
$[\theta=pi/2-arcsin\lambda/2] rarr [0 lt \theta lt pi/2] rarr [0 lt 2\theta lt pi] rarr [sin2\theta gt 0]$
è in contraddizione con $[sin2\theta=-\lambda]$.
Scusa se rispondo solo adesso, ma dopo 10 giorni avevo un esame da 12 cfu, sto rimettendo mano a meccanica solo in questi giorni. Comunque, il giorno seguente parlai immediatamente col prof, già aveva visto l'errore e stava ultimando la correzione tutti gli errori presenti in quel pdf (redatto da alcuni alunni degli scorsi anni). Le posizioni di equilibrio risultano le stesse che mi hai esposto. Grazie mille!
Solo una cosa continua a non essermi ben chiara, come mai ingabbi $[0 lt \theta lt pi/2]$ e non $[0 lt \theta lt 2pi]$ dato che $\theta \in [0,2pi]$? Questo perché stiamo vedendo tutto nel primo quadrante? Grazie ancora!
"Lorenz8":[/quote]
[quote="anonymous_0b37e9"]
... come mai ingabbi ...
Si tratta solo di una condizione più restrittiva ricavabile matematicamente (fisicamente sarebbe meno immediato) dalla definizione delle funzioni goniometriche inverse.
"anonymous_0b37e9":[/quote]
[quote="Lorenz8"][quote="anonymous_0b37e9"]
... come mai ingabbi ...
Si tratta solo di una condizione più restrittiva ricavabile matematicamente (fisicamente sarebbe meno immediato) dalla definizione delle funzioni goniometriche inverse.[/quote]
Grazie mille! Sei stato estremamente di aiuto!
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