Coseni direttori

[Bad90]

Esercizio 1
Un vettore $ vec(n) $ forma con gli assi coordinati $ x,y,z $ rispettivamente gli angoli, $ alpha,beta, gamma $, come mostra la figura.
a) Dimostrare che i coseni direttori ( $ cos alpha,cos beta, cos gamma $ ) , sono le componenti di $ vec(n) $.
b) Dimostrare che i coseni direttori, soddisfano l'identita':

$ cos^2 alpha + cos^2 beta + cos^2 gamma= 1 $

c) Se $ vec(F)= F vec(n) $ esprimere le componenti di $ vec(F) $ in termini dei coseni direttori di $ vec(n) $ e del modulo $ F $ .

Ecco la figura:

[ralf86]

ti do la traccia per b
Prendi un sistema di riferimento x-y-z cartesiano, cioè con gli assi mutuamente ortogonali
considera un vettore lungo $l$ che spicca dall'origine orientato a piacere.
La sua norma al quadrato è naturalmente $l^2$
Adesso calcola la sua norma al quadrato in altro modo:
- calcola le 3 proiezioni del vettore sugli assi (qui entrano in gioco i coseni)
- questi vettori sono mutuamente ortogonali,quindi la lunghezza al quadrato della loro somma la puoi calcolare usando 2 volte pitagora
-adesso uguagli questo con $l^2$ e ottieni la formula

[Bad90]

Ok, ti ringrazio, adesso pero' voglio comprendere cosa si intende per coseni direttori?!!?!?!

Ho trovato qualche pdf che parla dei coseni direttori, vediamo se ho compreso il loro significato!!!!!
Correggetemi se sbaglio!

I coseni direttori, sono i coseni degli angoli misurati nel quadrante positivo, cioe' il primo, giusto?
Ipotizzando di avere un vettore nel primo quadrante, allora i coseni direttori sono derivanti da quei due angoli che forma il vettore nel primo quadrante, es. se ho un vettore posto a 30 gradi, avro' due coseni, cioe' $ cos 30^o $ e $ cos 60^o $ , giusto???

Insomma, mi sembra di aver compreso che sono abbastanza semplici da capire, si tratta di esprimere i parametri di un vettore, in termini di solo coseni, tutto qui', vero???

P.S. Dite che con queste nozioni si puo' risolvere l'esercizio che ho postato? Oppure mi serve studiare in modo piu' approfondito altri concetti?

Grazie!

[ralf86]

corretto

[Bad90]

"ralf86":corretto

Pensavo che fossero qualcosa di complicato!

[Bad90]

Provo a dare la risposta ai punti dell' Esercizio 1. Correggetemi se sbaglio o se sono incomplete le mie risposte

Risposta a)
Si chiamano coseni direttori di un vettore i coseni degli angoli che il vettore forma con i versi positivi degli
assi $ x $ e $ y $ . Nella figura entrambi gli angoli, sono effettivamente riferiti nel primo quadrante, cioè quello positivo, questo conferma che ( $ cos alpha,cos beta, cos gamma $ ) sono le componenti del $ vec(n) $ .

[Bad90]

"ralf86":
La sua norma al quadrato è naturalmente $l^2$

Ma cosa è la norma
In attesa di una risposta che mi faccia capire di più, datemi conferma se il punto b) per me è stato compreso correttamente, anche grazie alla risposta del collega ralf86...

Quanto segue, l'ho trovato in rete, dite che risponde al quesito b) :

Supponendo di partire, per disegnare il vettore, dall’origine degli assi, la freccia del vettore si trova nel punto di
coordinate ($2,3,4$). Infatti, se partendo dall’origine O si compiono successivamente tre spostamenti $x,y,z$, $2vec(u)_x ,3vec(u)_y ,4vec(u)_z $ la somma dei tre vettori è appunto il vettore che ha per estremi l’origine e il punto di coordinate $2,3,4 $ cioè la diagonale del parallelepipedo di dimensioni consecutive $2,3,4$ ; perciò il suo modulo risulta:

$ vec(|v|) = sqrt(2^2 + 3^2 + 4^2) = sqrt(4 + 9 +16) = sqrt(29) $

I coseni direttori sono i coseni degli angoli che il vettore forma con i versi positivi dei tre assi $x, y, z,$
rispettivamente $cos alpha, cos beta, cos gamma$ :

$ cos alpha =2/(sqrt(29)) $

$cos beta = 3/(sqrt(29)) $

$cos gamma = (4)/(sqrt(29)) $

Il versore $ vers vec(v)=(vec(v))/(vec(|v|)) $ è il vettore che ha le componenti secondo i tre assi uguali ai coseni direttori:

$ vers vec(v)=(vec(v))/(vec(|v|))=cos alpha vec(u)_x +cos beta vec(u)_y+cos gamma vec(u)_z= (2)/(sqrt(29))vec(u)_x + (3)/(sqrt(29))vec(u)_y+(4)/(sqrt(29))vec(u)_z $

Il vettore $vec(v)$ dato può quindi essere espresso anche come prodotto del suo modulo per il versore

$ vec(v)=sqrt(29) vers vec(v) = sqrt(29)(2/(sqrt(29))vec(u)_x +3/(sqrt(29))vec(u)_y + 2/(sqrt(29))vec(u)_z) $

Dalla relazione $cos^2 alpha + cos^2 beta + cos^2 gamma = 1$ risulta pure che gli angoli $alpha, beta, gamma$ non sono indipendenti.

Allora, ralf86, volevi dire questo che ho scritto Non sono riuscito ad interpretare bene ciò che mi hai detto, ma per colpa mia, ed ho pensato di fare qualche riscerca, dici che è lo stesso di ciò che volevi intendere tu

Grazie mille!

Altrimenti, come si dimostra che l'identità è soddisfatta

$ cos^2 alpha + cos^2 beta + cos^2 gamma = 1 $

Non sto capendo questo:

"ralf86":
- questi vettori sono mutuamente ortogonali,quindi la lunghezza al quadrato della loro somma la puoi calcolare usando 2 volte pitagora
-adesso uguagli questo con $l^2$ e ottieni la formula

[Bad90]

Risposta punto c)

Se $ vec(F) = vec(|F|) vec(n) $ allora le componenti di $ vec(F) $ in termini dei coseni direttori di $ vec(n) $ e del modulo $ vec(|F|) $, saranno i seguenti:

Il modulo è:

$ vec(|F|) = sqrt((F_x)^2+(F_y)^2+(F_z)^2) $

e se $ vec(F) = vec(|F|) vec(n) $ allora:

$ vec(F) = sqrt((F_x)^2+(F_y)^2+(F_z)^2) * (vec(n)) $

e sapendo che:

$ vec(n)= cos alpha vec(F)_x + cos beta vec(F)_y + cos gamma vec(F)_z $

ovviamente si hanno $ cos alpha = (F_x)/vec(|F|) $ , $ cos beta = (F_y)/vec(|F|) $ e $ cos gamma = (F_z)/vec(|F|) $

allora

$ vec(F) = sqrt((F_x)^2+(F_y)^2+(F_z)^2) * (cos alpha vec(F)_x + cos beta vec(F)_y + cos gamma vec(F)_z ) $

Dite che è corretto

Grazie mille!

[ralf86]

prova a dare un'occhiata qui
http://www.matematicamente.it/forum/post682110.html?hilit=coseni%20direttori#p682110

[Bad90]

"ralf86":prova a dare un'occhiata qui
http://www.matematicamente.it/forum/post682110.html?hilit=coseni%20direttori#p682110

Ok, grazie mille, finalmente ho fatto chiarezza Ecco quì:
$v_x=vcosalpha$
$v_y=vcosbeta$
$v_z=vcosgamma$

per trovare il modulo di $vec(|v|)$ posso fare così:

$v=sqrt((v_x)^2+(v_y)^2+(v_z)^2)$

$v=sqrt(v^2*(cosalpha)^2+v^2(cosbeta)^2+v^2(cosgamma)^2)$

$v=sqrt(v^2((cosalpha)^2+(cosbeta)^2+(cosgamma)^2))$

$v=vsqrt((cosalpha)^2+(cosbeta)^2+(cosgamma)^2)$

$v/v=sqrt((cosalpha)^2+(cosbeta)^2+(cosgamma)^2)$

$1^2=(sqrt((cosalpha)^2+(cosbeta)^2+(cosgamma)^2))^2$

$1=(cosalpha)^2+(cosbeta)^2+(cosgamma)^2$

Per il punto c), cosa ne dici Ho risposto in modo corretto

[ralf86]

b) è corretto

per c) questa è la risposta:

"Bad90":
ovviamente si hanno $ cos alpha = (F_x)/vec(|F|) $ , $ cos beta = (F_y)/vec(|F|) $ e $ cos gamma = (F_z)/vec(|F|) $

Quello che hai scritto subito dopo non è corretto. Se fai bene le sostituzioni te ne accorgi

ciao

[Bad90]

"ralf86":
Quello che hai scritto subito dopo non è corretto. Se fai bene le sostituzioni te ne accorgi

ciao

Quindi il discorso fila fin quì?
$ vec(|F|) = sqrt((F_x)^2+(F_y)^2+(F_z)^2) $

e se $ vec(F) = vec(|F|) vec(n) $ allora:

$ vec(F) = sqrt((F_x)^2+(F_y)^2+(F_z)^2) * (vec(n)) $

e sapendo che:

$ vec(n)= cos alpha vec(F)_x + cos beta vec(F)_y + cos gamma vec(F)_z $


Oppure non centra niente quello di prima e la risposta è solo

$ cos alpha = (F_x)/vec(|F|) $ , $ cos beta = (F_y)/vec(|F|) $ e $ cos gamma = (F_z)/vec(|F|) $

Aiutami a ragionare,

Oppure bisogna pensare alla seguete:

$ F_x = vec(|F|)*cos alpha $ e dunque $ cos alpha=F_x /(vec(|F|)) $

$ F_y = vec(|F|)*cos beta $ e dunque $ cos beta=F_y /(vec(|F|)) $

$ F_z = vec(|F|)*cos gamma $ e dunque $ cos gamma=F_z /(vec(|F|)) $
Grazie mille!

[ralf86]

"Bad90":

e sapendo che:

$ vec(n)= cos alpha vec(F)_x + cos beta vec(F)_y + cos gamma vec(F)_z $

Questo non è corretto perchè a sinistra c'è n che è lungo 1
mentre a destra hai scritto un vettore lungo F

[Bad90]

"ralf86":
Questo non è corretto perchè a sinistra c'è n che è lungo 1
mentre a destra hai scritto un vettore lungo F

Ma è lungo 1 per il discorso fatto nel punto b)

[ralf86]

ni, se a destra sostituisci Fx=F*cos(\alpha) Fy=... F si raccoglie e va a moltiplicare una parentesi che fa 1 per b)

sono questioni molto importanti per la fisica. Fai bene a porti queste domande. Puoi trovare questi argomenti in qualsiasi libro di fisica generale di tipo universitario. Anche qui nel forum se n'è discusso molto spesso

[Bad90]

"ralf86":ni, se a destra sostituisci Fx=F*cos(\alpha) Fy=... F si raccoglie e va a moltiplicare una parentesi che fa 1 per b)

sono questioni molto importanti per la fisica. Fai bene a porti queste domande. Puoi trovare questi argomenti in qualsiasi libro di fisica generale di tipo universitario. Anche qui nel forum se n'è discusso molto spesso

Restando sulla risposta c) allora vanno bene questi:

$ F_x = vec(|F|)*cos alpha $ e dunque $ cos alpha=F_x /(vec(|F|)) $

$ F_y = vec(|F|)*cos beta $ e dunque $ cos beta=F_y /(vec(|F|)) $

$ F_z = vec(|F|)*cos gamma $ e dunque $ cos gamma=F_z /(vec(|F|)) $

Vorrei ragionarci un po su, perchè il testo dell'esercizio inizia a dire questo $ vec(F)=F vec(n) $ , cosa significa questo

[ralf86]

innanzi tutto sappiamo che n è un vettore lungo 1 (=versore)
la tua espressione significa che F è un vettore che ha la stessa direzione di n, lungo valore assoluto di F volte la lunghezza di n e verso concorde a n se F>0, discorde se F<0. (se F=0 non ha importanza definire se è discorde o no)

Però queste cose si trovano sui libri... non è forse il caso di studiarci un po' su?

[Bad90]

"ralf86":innanzi tutto sappiamo che n è un vettore lungo 1 (=versore)
la tua espressione significa che F è un vettore che ha la stessa direzione di n, lungo valore assoluto di F volte la lunghezza di n e verso concorde a n se F>0, discorde se F<0. (se F=0 non ha importanza definire se è discorde o no)

E quindi qual'è il collegamento con questo

$ F_x = vec(|F|)*cos alpha $ e dunque $ cos alpha=F_x /(vec(|F|)) $

$ F_y = vec(|F|)*cos beta $ e dunque $ cos beta=F_y /(vec(|F|)) $

$ F_z = vec(|F|)*cos gamma $ e dunque $ cos gamma=F_z /(vec(|F|)) $

Provo a dire la mia.....
Quando il testo dice di esprimere le componenti di $ vec(F) $ allora capisco che devo trattare $ F_x; F_y; F_z $, mentre i coseni direttori di $ vec(n) $ sono ovviamente:

$ cos alpha vec(|n|)= n_x $
$ cos beta vec(|n|) = n_y $
$ cos gamma vec(|n|) = n_z $

Quindi a questo punto, basta pensare in termini del modulo $ vec(|F|) $ e allora si arriva alla risposta corretta!

Giusto