Correzione problema di mutua induzione
Buonasera, propongo correzione.
Un solenoide cilindrico, di diametro pari a $r_1=0,016m$, è costituito da $220$ spire al cm ed è percorso da una corrente $i_1=1,5A$. Nel suo centro è posta una bobina costituita da $130 spire$ con un diametro pari a $r_2=0,011m$. La corrente nel solenoide viene ridotta a zero a un ritmo costante in un intervallo di tempo di $dt=25000s$. Qual è l’intensità della $f.e.m._i$ indotta nella bobina mentre la corrente del solenoide sta variando?
Allora, è chiaramente un caso di mutua induzione. Calcolerei il flusso del campo prodotto dal primo solenoide nel secondo. Se il primo solenoide è lungo infinito e ha $220$ spire per ogni cm, per una lunghezza di un metro saranno $22000$, però non so come calcolare il campo. Se il solenoide è infinito dovrebbe essere $B_1=\mu_0ni_1$ però la $n$ che ho io è riferita comunque ad una lunghezza precisa, quindi non va bene, se lo divido per la lunghezza non mi convince. Come lo calcolo? Una volta ottenuto lo moltiplico per la superficie della bobina interna e per le spire di quest'ultima: $\Phi_(1,2)=B_1(\pir_(2)^2)$ che è il flusso del campo $B_1$ del solenoide 1 nella bobina piccola. So che tale flusso è $\Phi_(1,2)=Mi_1$ da cui trovo il coefficiente di mutua induzione. Da qui, so che la fem indotta dal campo del solenoide nella bobina è $\xi_(1,2)=-M(di_1)/dt$. E' giusto?
Un solenoide cilindrico, di diametro pari a $r_1=0,016m$, è costituito da $220$ spire al cm ed è percorso da una corrente $i_1=1,5A$. Nel suo centro è posta una bobina costituita da $130 spire$ con un diametro pari a $r_2=0,011m$. La corrente nel solenoide viene ridotta a zero a un ritmo costante in un intervallo di tempo di $dt=25000s$. Qual è l’intensità della $f.e.m._i$ indotta nella bobina mentre la corrente del solenoide sta variando?
Allora, è chiaramente un caso di mutua induzione. Calcolerei il flusso del campo prodotto dal primo solenoide nel secondo. Se il primo solenoide è lungo infinito e ha $220$ spire per ogni cm, per una lunghezza di un metro saranno $22000$, però non so come calcolare il campo. Se il solenoide è infinito dovrebbe essere $B_1=\mu_0ni_1$ però la $n$ che ho io è riferita comunque ad una lunghezza precisa, quindi non va bene, se lo divido per la lunghezza non mi convince. Come lo calcolo? Una volta ottenuto lo moltiplico per la superficie della bobina interna e per le spire di quest'ultima: $\Phi_(1,2)=B_1(\pir_(2)^2)$ che è il flusso del campo $B_1$ del solenoide 1 nella bobina piccola. So che tale flusso è $\Phi_(1,2)=Mi_1$ da cui trovo il coefficiente di mutua induzione. Da qui, so che la fem indotta dal campo del solenoide nella bobina è $\xi_(1,2)=-M(di_1)/dt$. E' giusto?
Risposte
$n$ è il numero di spire per unità di lunghezza, sennò non ti tornano le dimensioni, quindi hai ciò che ti serve. Il ragionamento in generale mi pare giusto, solo attento a come scrivi la corrente perché dipende dal tempo e quindi le varie derivate di conseguenza.
Ti ringrazio per la risposta. Quindi devo mettere $220$ o $220000$ nel calcolo del campo? Cosa intendi con scrivere la corrente? Cosa ho sbagliato?
La corrente varia nel tempo, come la scriveresti? Per quanto riguarda le spire pensavo fossero uguali tra i due solenoidi invece non è così. Quindi devi trovare un modo per tenere conto di ciò. Idee? Il suggerimento è considerare che il flusso concatenato non prenderà una sola spira. Vedi se ne esci sennò ti scrivo il procedimento.
Non capisco in che altro modo dovrei scrivere la corrente che varia nel tempo... $(di_1)/dt$ non va bene? Sarà $1,5/25000A/s$. I due solenoidi hanno raggi diversi, ma il primo a cosa mi serve se devo calcolare il flusso nel secondo?
Visto che leggo $i_1=1,5A$ e poi mi scrivi un derivata di questa quantità costante non posso che interpretarla come nulla alla fine no? Comunque risolviamolo nel modo più banale possibile lasciando pure perdere di riscrivere la corrente e ci togliamo ogni dubbio.
Il campo magnetico prodotto dal solenoide esterno è
$B_1=\mu n_1 i_1$ il flusso concatenato ad solenoide interno è $F=B_1 \pi (r_2/2)^2 n_2$. La fem è la variazione del flusso nel tempo. Quando la corrente si annulla il flusso sarà ovviamente zero quindi
$fem=-(\DeltaF)/(\Deltat)=F/25000$
Occhio alle dimensioni.
Il campo magnetico prodotto dal solenoide esterno è
$B_1=\mu n_1 i_1$ il flusso concatenato ad solenoide interno è $F=B_1 \pi (r_2/2)^2 n_2$. La fem è la variazione del flusso nel tempo. Quando la corrente si annulla il flusso sarà ovviamente zero quindi
$fem=-(\DeltaF)/(\Deltat)=F/25000$
Occhio alle dimensioni.
Sì, avevo scordato di moltiplicare per il numero di spire del secondo solenoide nel calcolo del flusso. Ma perché hai scritto $r_2/2$ e non $r_2$?
Ma poi, non ho capito: perché come ho trovato io la fem indotta non va bene? Ho applicato la definizione, trovando il coefficiente di mutua induzione...
Ma poi, non ho capito: perché come ho trovato io la fem indotta non va bene? Ho applicato la definizione, trovando il coefficiente di mutua induzione...
$r_2$ il testo dice che è il diametro. Sì potevi fare in quel modo ma, come ho già detto, se non scrivi la funzione $i(t)$ e mi scrivi la derivata di una costante non ha senso. O metti le differenze finite o scrivi la funzione lineare e la derivi.
Scusa, mi è sfuggito nella correzione: il testo originale segnava diametri, poi li ho convertiti ma mi sono sfuggiti i nomi.
Sul secondo punto, anche tu però hai derivato una costante, o no?
Sul secondo punto, anche tu però hai derivato una costante, o no?
No io ho calcolato le differenze finite tra lo stato iniziale e finale $(F_f-F_i)/(t_f-t_i)$
Eh ho capito, ma in cifre non resta comunque $fem=-(B_1\pir_2^2n_2)/25000 [V]$, o no?
Sì ma non è una derivata, la derivata di una costante è zero.
Sì ho capito cosa intendi. Allora era solo un problema di scrittura?
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