Correzione esercizio Forza di Coulomb

[Cesc99]

Salve a tutti,sto provando a svolgere questo esercizio sulla forza di coulomb,e sarei ben felice se qualcuno di voi potesse dare un'occhiata ai miei passaggi =)
Considerate due cariche puntiformi di carica q = ${3*10^-6C}$ e Q = ${-1,5*10^-6C}$.La prima carica si trova nelle seguenti coordinate ${x=3,y=2,z=0}$ mentre la seconda carica si trova in ${x'=1,y'=5,z=-2}$. Trovare la forza agente su q.

$(vec{F})$ = $kQq *( Delta vec{r}) /(Delta r ^3) $

Scelgo un sistema di riferimento O(x,y,z) "canonico",con gli l'asse x rivolto verso destra,y verso l'alto.. Considero le componenti lungo i 3 assi

$|vec{F}|$ = $kQq * (x'-x) /(sqrt((x'-x)^2+(y'-y)^2+(z'-z)^2) $

E qui mi blocco. Il denominatore,è lo stesso lungo 3 direzioni,è per questo motivo che esce al cubo nella prima relazione elencata?Mentre quando calcolo le singole componenti la radice al denominatore non deve essere al cubo,giusto?
Seconda domanda,poichè la differenza x'-x,considerate le componenti è negativa,e considerato che le cariche hanno segno opposto,la forza lungo le x (considerata vettorialmente) avrà verso concorde con il mio sistema di riferimento?

[RenzoDF]

Nella prima relazione se indichiamo con $\Delta \vec{r}=\vec{r}_q-\vec{r}_Q$, avremo che $\frac{\Delta \vec{ r}}{\Delta r }$ rappresenta un versore lungo la congiungente le due cariche (da Q verso q), e quindi a denominatore dell'espressione della forza F rimane solo la classica dipendenza inversa dal quadrato della distanza fra q e Q.
Per quanto riguarda le componenti di questa forza, esprimendo $\Delta \vec{ r}$ come vettore nelle componenti lungo i tre assi cartesiani, ti sarà semplice capire come possa essere scritta la forza nella stessa forma cartesiana e ti accorgerai che nella tua seconda relazione manca "qualcosa".

Non capisco poi quella parentesi tonda sulla $( \vec{ F})$ e quell'errato modulo sulla $( |\vec{ F}|)$ .

[Cesc99]

Nella mia secoonda relazione manca il denominatore tutto elevato al cubo,mentre per l'uso delle parentesi,è un errore con il latex ^^
P.s. puoi aiutarmi sulla seconda domanda?

[RenzoDF]

"Cesc99":... puoi aiutarmi sulla seconda domanda?

Come ti dicevo, la seconda relazione da te postata è errata, sia perché quello non è di certo il modulo della forza ma solo il modulo di una componente e per di più valido solo per questo caso particolare (esponente 3 mancante a parte).

Io direi che fin quando è possibile, le relazioni vanno scritte vettorialmente, ovvero scritte evidenziando tutte le diverse componenti; in questo caso, note le coordinate di q (3,2,0) e quelle di Q (1,5,-2), scritti i due vettori r riferiti all'origine O del sistema, la relazione generale per la forza andrà a particolarizzarsi semplicemente come segue

$\vec{F}=kqQ\frac{\Delta \vec r}{\Delta r^3}=kqQ\frac{\vec{r}_q-\vec{r}_Q}{\Delta r^3}=kqQ\frac{(x-x') \hat{u}_x+(y-y') \hat{u}_y+(z-z') \hat{u}_z}{[(x-x')^2+(y-y')^2+(z-z')^2]^\frac{3}{2}}=kqQ[\frac{2}{\sqrt{17^3}}\hat{u}_x -\frac{3}{\sqrt{17^3}}\hat{u}_y +\frac{2}{\sqrt{17^3}}\hat{u}_z]$

dove sono esplicitate tutte e tre le componenti, relazione valida qualsiasi sia il segno di q e Q.