Correttezza procedimento esercizio meccanica

[Sk_Anonymous]

Salve, non ho a disposizione il risultato di questo esercizio dunque volevo sapere se il procedimento era corretto.
"Una massa $m=1Kg$ scivola su un piano inclinato di alzo $t=30°$ con un coefficiente di attrito dinamico $c=0,10$. La massa, partendo da ferma, dopo aver percorso un tratto $d=1m$ urta contro una molla di costante elastica $k=10 N/m$. Determinare la variazione di lunghezza che subisce la molla all'istante in cui la massa inverte il proprio moto."

Io ho calcolato la velocità $vec v_A$ della massa nel momento in cui essa urta la molla, e quindi l'energia cinetica in $A$. A partire dall'istante in cui la massa tocca la molla, la forza totale alla quale la massa è soggetta è, rispetto all'asse $x$ di un riferimento posto sul piano inclinato e con origine in $A$: $mgsin(t)-mgcos(t)c-kx$. Ho quindi calcolato il lavoro fatto da tale forza dal punto iniziale $A$, che coincide con l'origine, ad un punto finale generico $B$. Tale lavoro (nell'incognita $x(B)$) è, per il teorema sull'energia cinetica, pari alla differenza tra l'energia cinetica finale in $B$, che è nulla in quanto la massa inverte il proprio moto e l'energia cinetica iniziale in $A$, che conosco poichè conosco $vec v_A$. Quindi dalla uguaglianza del lavoro e della differenza di energia cinetica ho calcolato $x(B)$. E' corretto il ragionamento? Grazie mille.

[Faussone]

Non ho molto chiaro alla fine come procederesti, considera che la forza che la molla esercita sulla massa non è costante durante la compressione della molla, tale forza compie lavoro (negativo) quindi va considerata nel bilancio energetico facendo un integrale (o esprimendo il lavoro della molla come variazione dell'energia potenziale elastica).

Io partendo dalla massa in alto scriverei che l'energia potenziale gravitazionale iniziale si trasforma a molla compressa tutta in energia potenziale elastica e in lavoro perso per attrito (prendendo potenziale gravitazionale zero a molla compressa e potenziale eleastico zero a molla indeformata). L'unica incognita sarebbe la compressione della molla.

[Sk_Anonymous]

"Faussone":Non ho molto chiaro alla fine come procederesti, considera che la forza che la molla esercita sulla massa non è costante durante la compressione della molla, tale forza compie lavoro (negativo) quindi va considerata nel bilancio energetico facendo un integrale (o esprimendo il lavoro della molla come variazione dell'energia potenziale elastica).

Ciao, allora io calcolo la velocità relativa all'istante in cui la massa urta la molla, e quindi so l'energia cinetica iniziale. L'energia cinetica finale è nulla poichè il punto finale della traiettoria è quello in cui la massa inverte il proprio moto; quindi so la variazione dell'energia cinetica, che è pari all'energia cinetica iniziale cambiata di segno. Per quanto riguarda le forze che agiscono sulla massa lungo la traiettoria rettilinea $A-B$, esse sono:
la forza peso e la forza di attrito, che sono costanti, e la forza elastica che è opposta alla direzione del moto ed è funzione della compressione $x$ della molla.
Quindi la forza totale che agisce sulla molla lungo la traiettoria $A-B$ è funzione di $x$ e tale funzione è data da: $F(x)=mgsin(T)-mgcos(T)c-kx$. A questo punto vado a calcolare il lavoro fatto da tale forza attraverso la definizione.
In particolare, fissato un sistema di riferimento posto sul piano inclinato e con origine nel punto $A$ (punto in cui la massa tocca la molla indeformata), considero il segmento rettilineo $A-B$ parametrizzato da una certa curva generica $(x(t),y(t))$, $t in [a,b]$. Restringo poi il campo $(F(x),0)=(mgsin(T)-mgcos(T)c-kx,0)$ alla curva, ottenendo $(F(x(t)),0)=(mgsin(T)-mgcos(T)c-kx(t),0)$. Il lavoro compiuto da tale campo sulla traiettoria $A-B$ è dato dall'integrale di Riemann del campo moltiplicato scalarmente per la derivata della traiettoria fra $a$ e $b$, cioè: $L=-1/2m(v_A)^2=int_(a)^(b) [(mgsin(T)-mgcos(T)c-kx(t),0)*(x'(t),y'(t))]dt=$
$int_(a)^(b) ((mgsin(T)-mgcos(T)c-kx(t))x'(t)dt=mgsin(T)(x(b)-x(a))-mgcos(T)c(x(b)-x(a))$
$-k/2(x^2(b)-x^2(a))$. A questo punto basta osservare che, per come è stato scelto il sistema di riferimento, $x(a)=0$. Dunque per sapere $x(b)$ è sufficiente risolvere quella equazione di secondo grado.
$T$ è l'angolo teta.
Vi trovate?
Grazie.

[Faussone]

O mamma... , sì mi pare sia corretto, e denota che hai capito alcuni concetti, ma ti consiglio di non reinventare la ruota per risolvere un simile esercizio!

Dal procedimento che dicevo prima semplicemente:

$ mg (d+x) sin t =mg c cos t*(d+x)+1/2 k x^2$

e trovi $x$.

[Sk_Anonymous]

"Faussone":O mamma... , sì mi pare sia corretto, e denota che hai capito alcuni concetti, ma ti consiglio di non reinventare la ruota per risolvere un simile esercizio!

Dal procedimento che dicevo prima semplicemente:

$ mg (d+x) sin t =mg c cos t*(d+x)+1/2 k x^2$

e trovi $x$.

Perfetto, volevo essere soltanto rigoroso dal punto di vista matematico e ricavare le dimostrazioni dell'energia potenziale.
Grazie.