Corrente superficiale, campo d'induzione magnetica: boh
Ciao! Qualcuno può aiutarmi con quest'esercizio? Grazie! 
Consegna: "Una lastra piana infinita è percorsa da una corrente superficiale di valore $J_S$. Ricavare l'espressione del campo d'induzione magnetica nello spazio intorno alla lastra.".
Ecco, in questo problema, non ci ho capito niente! Inserisco la soluzione del Prof. e poi, se qualcuno può aiutarmi, ne parliamo...
1) Se la lastra è infinita, allora quale sarebbe lo "spazio intorno alla lastra"!? Dalla soluzione, mi pare di vedere sia appunto quello intorno ad una lastra quadrata di lato $l$, che però non mi sembra proprio infinita!
2) Quando usa il th. circuitazione di Ampére, sostituisce $I_c$ con $J_Sl$. Ma perché!? Tipicamente, $I=int_SJ*hatndS$, e non mi sembra proprio che $l$ sia una superficie...
Consegna: "Una lastra piana infinita è percorsa da una corrente superficiale di valore $J_S$. Ricavare l'espressione del campo d'induzione magnetica nello spazio intorno alla lastra.".
Ecco, in questo problema, non ci ho capito niente! Inserisco la soluzione del Prof. e poi, se qualcuno può aiutarmi, ne parliamo...
1) Se la lastra è infinita, allora quale sarebbe lo "spazio intorno alla lastra"!? Dalla soluzione, mi pare di vedere sia appunto quello intorno ad una lastra quadrata di lato $l$, che però non mi sembra proprio infinita!
2) Quando usa il th. circuitazione di Ampére, sostituisce $I_c$ con $J_Sl$. Ma perché!? Tipicamente, $I=int_SJ*hatndS$, e non mi sembra proprio che $l$ sia una superficie...
Risposte
"Bubbino1993":
Se la lastra è infinita, allora quale sarebbe lo "spazio intorno alla lastra"!?
Uno spazio infinito ovviamente.
"Bubbino1993":
Dalla soluzione, mi pare di vedere sia appunto quello intorno ad una lastra quadrata di lato $l$, che però non mi sembra proprio infinita!
Quella l non indica il lato della lastra ma del rettangolo percorso di integrazione.
"Bubbino1993":
Quando usa il th. circuitazione di Ampére, sostituisce $I_c$ con $J_Sl$. Ma perché!? Tipicamente, $I=int_SJ*hatndS$, e non mi sembra proprio che $l$ sia una superficie...
La densità di corrente è lineare non superficiale, ovvero si misura in ampere/metro non ampere/metroquadrato.
Le linee di forza del campo magnetico sono parallele alla superficie e normali al vettore densità di corrente e con verso opposto sui due lati della lastra e quindi, integrando lungo quel percorso rettangolare, avrai che la circuitazione porta a
$2 l B=\mu_0 l J$
Grazie, Renzo. Sei sempre molto gentile ad aiutarmi. Non riesco bene ad immaginare uno spazio infinito intorno ad una lastra infinita. Diciamo che io immagino una lastra infinita come un piano, per già occupa tutto lo spazio, e quindi lo spazio intorno mi verrebbe da pensarlo nullo. Comunque, vediamo... $l$ l'ho capito... Sulla densità di corrente, in genere, si parla di questa:
Dunque in questo caso è lineare, ma io non so da cosa avrei potuto dedurlo, anche perché la chiama proprio "superficiale"... Sì, poi il resto l'ho capito.
Dunque in questo caso è lineare, ma io non so da cosa avrei potuto dedurlo, anche perché la chiama proprio "superficiale"... Sì, poi il resto l'ho capito.
"Bubbino1993":
Non riesco bene ad immaginare uno spazio infinito intorno ad una lastra infinita. Diciamo che io immagino una lastra infinita come un piano, per già occupa tutto lo spazio, e quindi lo spazio intorno mi verrebbe da pensarlo nullo.
Hai una strana concezione dello spazio
, come può un piano occupare lo spazio tridimensionale? 
"Bubbino1993":
... Sulla densità di corrente, in genere, si parla di questa: Dunque in questo caso è lineare, ma io non so da cosa avrei potuto dedurlo, anche perché la chiama proprio "superficiale"...
Generalmente si, quando si parla di densità di corrente ci si riferisce ad una corrente per unità di superficie, ma non sempre; di sicuro hai studiato in fisica la magnetizzazione e avrai quindi incontrato il vettore "densità lineare di corrente di magnetizzazione", misurata in A/m, che è "superficiale", solo in quanto viene definita sulla superficie del materiale magnetizzato.
$\vec J_{MS}=\vec M\times \hat n$
Se pongo la lastra sul piano orizzontale, allora <> sarebbe il sopra ed il sotto, insomma. Sì, avevo pensato alla densità di corrente di magnetizzazione, ma visto che l'abbiamo sempre indicata aggiungendo anche il pedice M, pensavo non si riferisse a quella. Va bene, ora ho capito, grazie.
"RenzoDF":
[quote="Bubbino1993"] Se la lastra è infinita, allora quale sarebbe lo "spazio intorno alla lastra"!?
Uno spazio infinito ovviamente.
"Bubbino1993":
Dalla soluzione, mi pare di vedere sia appunto quello intorno ad una lastra quadrata di lato $l$, che però non mi sembra proprio infinita!
Quella l non indica il lato della lastra ma del rettangolo percorso di integrazione.
"Bubbino1993":
Quando usa il th. circuitazione di Ampére, sostituisce $I_c$ con $J_Sl$. Ma perché!? Tipicamente, $I=int_SJ*hatndS$, e non mi sembra proprio che $l$ sia una superficie...
La densità di corrente è lineare non superficiale, ovvero si misura in ampere/metro non ampere/metroquadrato.
Le linee di forza del campo magnetico sono parallele alla superficie e normali al vettore densità di corrente e con verso opposto sui due lati della lastra e quindi, integrando lungo quel percorso rettangolare, avrai che la circuitazione porta a
$2 l B=\mu_0 l J$[/quote]
Ciao Renzo, scusami se rianimo questo vecchio post ma non capisco perché se faccio la circuitazione usando una spira quadrata e una rotonda il risultato cambia?
La lastra presa in esame ha una larghezza infinita, spessore trascurabile e lunghezza infinita.
Ti lascio il disegno qui sotto:
Mi spiego meglio, usando il teorema di Ampere:
Nel caso 1 ottengo il tuo risultato che hai scritto (ben 7 anni fa
) ossia: $2 l B=\mu_0 l J$Nel caso 2, con $l/2$ raggio della spira: $2 \pi l/2 B=\mu_0 l J$
Ovviamente c'è un errore mio nel ragionamento, potresti darmi una mano a capire dove?
"Darius00":
... non capisco perché se faccio la circuitazione usando una spira quadrata e una rotonda il risultato cambia? ...
Il risultato non cambia, in quanto solo andando a integrare sul percorso rettangolare il campo risulta parallelo ai due lati del percorso, mentre per un percorso circolare dovrai considerare l'angolo $\alpha$ esistente fra il generico tratto elementare $\vec {\text{d}s}$ della circonferenza e il campo magnetico $\vec B$, per poi andare ad integrare
$\vec B \cdot \vec {\text{d}s}=B \cos\alpha \ \text{d}s$
lungo il percorso circolare; lascio a te verificare.
"RenzoDF":
[quote="Darius00"]... non capisco perché se faccio la circuitazione usando una spira quadrata e una rotonda il risultato cambia? ...
Il risultato non cambia, in quanto solo andando a integrare sul percorso rettangolare il campo risulta parallelo ai due lati del percorso, mentre per un percorso circolare dovrai considerare l'angolo $\alpha$ esistente fra il generico tratto elementare $\vec {\text{d}s}$ della circonferenza e il campo magnetico $\vec B$, per poi andare ad integrare
$\vec B \cdot \vec {\text{d}s}=B \cos\alpha \ \text{d}s$
lungo il percorso circolare; lascio a te verificare.
[/quote]Perfetto, ho capito! Però è un bel casino. Ora capisco perchè si usa la spira rettangolare
.Ti ringrazio, gentilissimo.
"Darius00":
... Ora capisco perchè si usa la spira rettangolare ...
Esatto, quello è il metodo più "conveniente", ma anche usando un percorso circolare si risolve in un attimo ricordando che \(R=l/2\) e di conseguenza \( \text{d}s=(l/2)\ \text{d}\alpha\), la circuitazione del campo sarà
$\oint \vec B\cdot \vec {\text{d}s}=4\int_{0}^{\pi/2}\frac{Bl}{2}\cos\alpha \ \text{d}\alpha =2Bl$
Sostanzialmente era sufficiente osservare che, dei due percorsi semicircolari, dovevano essere considerate solo le proiezioni sul piano, ovvero $l$ e non la loro lunghezza \(\pi l/2\).
BTW Non ha senso citare un intero precedente messaggio; usa Rispondi non Cita.
Ti ringrazio Renzo, super chiaro ho capito tutto!
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