Corpo vincolato ad una molla
Ciao a tutti, sono in dubbio sul seguente problema:
Un corpo di massa m è vincolato ad una molla in verticale di lunghezza a riposo l e costante elastica k. Il corpo viene premuto verso il basso comprimendo la molla; quale sarà l'altezza massima che il corpo riuscirà a raggiungere?
NB il corpo non si stacca dalla molla. Non si considera l'attrito dell'aria.
Io ho fatto il seguente ragionamento: se comprimo la molla questa azione ne aumenta l'energia meccanica ma va a diminuire l'enegia potenziale del corpo perchè lo avvicino al suolo. per cui scrivo che (h è l'altezza da terra dopo la compressione):
$-mg(l-h)+1/2k(l-h)^2=mgH$
dove H è l'altezza che ottengo facendo schizzare verso l'alto il corpo. Secondo me in H l'energia potenziale elastica è nulla e l'energia potenziale è massima.
Però... non so cosa, c'è qualcosa che non mi quadra. Che ne dite?
Un corpo di massa m è vincolato ad una molla in verticale di lunghezza a riposo l e costante elastica k. Il corpo viene premuto verso il basso comprimendo la molla; quale sarà l'altezza massima che il corpo riuscirà a raggiungere?
NB il corpo non si stacca dalla molla. Non si considera l'attrito dell'aria.
Io ho fatto il seguente ragionamento: se comprimo la molla questa azione ne aumenta l'energia meccanica ma va a diminuire l'enegia potenziale del corpo perchè lo avvicino al suolo. per cui scrivo che (h è l'altezza da terra dopo la compressione):
$-mg(l-h)+1/2k(l-h)^2=mgH$
dove H è l'altezza che ottengo facendo schizzare verso l'alto il corpo. Secondo me in H l'energia potenziale elastica è nulla e l'energia potenziale è massima.
Però... non so cosa, c'è qualcosa che non mi quadra. Che ne dite?
Risposte
Il problema e' posto molto male. Sei sicuro che questo sia il testo preciso preciso????
"Secondo me in H l'energia potenziale elastica è nulla e l'energia potenziale è massima"
NON sarei cosi sicuro di questa affermazione.
Riguardalo e dimmi se il testo e' esattamente come lo hai scritto
"Secondo me in H l'energia potenziale elastica è nulla e l'energia potenziale è massima"
NON sarei cosi sicuro di questa affermazione.
Riguardalo e dimmi se il testo e' esattamente come lo hai scritto
Il problema è che ho perso il testo!
Era un esame del 2002 di fisica generale... non riuscii a risolverlo ed è da allora che, ogni tanto, mi si ripresenta in modo random a tormentarmi. Questa sera mi è venuto in mente davanti a un bel piatto di pasta al tonno. Ora mi sono deciso a scrivere per vedere se qualcuno mi aiuta anche a terminare questo delirio!
Era un esame del 2002 di fisica generale... non riuscii a risolverlo ed è da allora che, ogni tanto, mi si ripresenta in modo random a tormentarmi. Questa sera mi è venuto in mente davanti a un bel piatto di pasta al tonno. Ora mi sono deciso a scrivere per vedere se qualcuno mi aiuta anche a terminare questo delirio!
ahahahah. preferisco pasta al tonno!
Comunque:
Innanzitutto secondo me il testo dovrebbe essere riformulato cosi: "Un corpo di massa m è vincolato ad una molla, a sua volta vincolata al terreno e emssa in verticale. La molla ha lunghezza a riposo L e costante elastica K. Il corpo viene prima appoggiato, raggiungendo la posizione di equilibrio. A partire da questa configurazione, viene premuto verso il basso comprimendo la molla di un tratto h; quale sarà l'altezza massima che il corpo riuscirà a raggiungere in funzione di h?
NB il corpo non si stacca dalla molla. Non si considera l'attrito dell'aria.
Prova un po' ora.......
Comunque:
Innanzitutto secondo me il testo dovrebbe essere riformulato cosi: "Un corpo di massa m è vincolato ad una molla, a sua volta vincolata al terreno e emssa in verticale. La molla ha lunghezza a riposo L e costante elastica K. Il corpo viene prima appoggiato, raggiungendo la posizione di equilibrio. A partire da questa configurazione, viene premuto verso il basso comprimendo la molla di un tratto h; quale sarà l'altezza massima che il corpo riuscirà a raggiungere in funzione di h?
NB il corpo non si stacca dalla molla. Non si considera l'attrito dell'aria.
Prova un po' ora.......
Dunque... se metto il corpo sulla molla questa viene un po compressa per cui un po si carica di energia meccanica. Ovviamente "un po" è funzione della massa del corpo.
Ad ogni modo per far due conti, ho considerato:
un corpo di massa 0,3 kg;
una molla con lunghezza libera di 0,5 m e costante elastica pari a 200 N/m
accelerazione di gravità pari a 9,80665 ms^-2
Ho fatto un pò di conti con excel per determinare a quale compressione (e quindi a quale energia potenziale elastica) viene eguagliata l'energia potenziale gravitazionale. Ho trovato
$100x^2=2,942x$
a cui corrisponde una compressione di $0,02942$ metri.
A questo punto chiamo h1 questa prima compressione, h2 la seconda compressione e l la lunghezza a risposo della molla. Chiamo inoltre H l'altezza incognita che voglio calcolà.
Imbastisco la seguente equazione:
$1/2k(h1)^2+1/2k(h2)^2+mg[l-(h1+h2)]=mgH$
vado bene come ragionamento?
Utilizzando il solito foglio elettronico (implementando l'equazione sopra e ipotizzando una compressione di 14 cm) ottengo (approssimando):
$H = 0,75 m$
Ad ogni modo per far due conti, ho considerato:
un corpo di massa 0,3 kg;
una molla con lunghezza libera di 0,5 m e costante elastica pari a 200 N/m
accelerazione di gravità pari a 9,80665 ms^-2
Ho fatto un pò di conti con excel per determinare a quale compressione (e quindi a quale energia potenziale elastica) viene eguagliata l'energia potenziale gravitazionale. Ho trovato
$100x^2=2,942x$
a cui corrisponde una compressione di $0,02942$ metri.
A questo punto chiamo h1 questa prima compressione, h2 la seconda compressione e l la lunghezza a risposo della molla. Chiamo inoltre H l'altezza incognita che voglio calcolà.
Imbastisco la seguente equazione:
$1/2k(h1)^2+1/2k(h2)^2+mg[l-(h1+h2)]=mgH$
vado bene come ragionamento?
Utilizzando il solito foglio elettronico (implementando l'equazione sopra e ipotizzando una compressione di 14 cm) ottengo (approssimando):
$H = 0,75 m$
Direi di no.
la compressione iniziale (punto di equilibrio) non si ottiene imponendo che l'energia sia nulla, ma la derivata dell'energia rispetto alla cordinata deve essere nulla.
Se prendi un sistema con origine nel pavimento e diretto verso l'alto, e chiami $\Deltax$ la compressione della molla, avrai che
$U=-1/2k\Deltax^2+mgx$
Derivando rispetto a x e annullando, ottieni $-k\Deltax+mg=0$.
Ci puoi arrivare in maniera alternativa, considerando che la forza esplicata dalla molla compressa ($k\Deltax$) eguaglia il peso della massa $mg$
Con i tuoi numeri, $\Deltax=0.015m=1.5cm$. Il corpo si trova cioe' in equilibrio a un'altezza dal pavimento $h=0.5-0.015=0.485m$
A questo punto, scelto un livello potenziale arbitrario (io scelgo il pavimento perche la domanda e' a che altezza dal pavimento arriva il corpo, e in questo modo la ottnego direttamente, ma nulla vieta scegliere un altro livello), comprimi la molla ulteriormente di un tratto h.
Quindi l'energia immagazzinata dalla molla sara'
$-1/2k(h+\Deltax)^2=-1/2k(h+0.015)^2$
L'energia potenziale del corpo e' $mg(L_0-h-0.015)$
Questa e' l'energia iniziale (potenziale + elastica).
Questa energia si conserva. Cioe' in un generico punto x, la molla avra en. pot. $-1/2k(x-L_0)^2$ e il corpo $mgx$.
In definitiva vale:
$-1/2k(h+0.015)^2+mg(L_0-h-0.015) = -1/2k(x-L_0)^2+mgx$.
Cioe' tenuto conto che $L_0=0.5$
$-1/2k(h+0.015)^2+mg(0.485-h) = -1/2k(x-0.5)^2+mgx$.
Risolvendo l'equazione per x, trovi la quota x a cui arriva il corpo quando la molla viene rilasciata in funzione di h.
la compressione iniziale (punto di equilibrio) non si ottiene imponendo che l'energia sia nulla, ma la derivata dell'energia rispetto alla cordinata deve essere nulla.
Se prendi un sistema con origine nel pavimento e diretto verso l'alto, e chiami $\Deltax$ la compressione della molla, avrai che
$U=-1/2k\Deltax^2+mgx$
Derivando rispetto a x e annullando, ottieni $-k\Deltax+mg=0$.
Ci puoi arrivare in maniera alternativa, considerando che la forza esplicata dalla molla compressa ($k\Deltax$) eguaglia il peso della massa $mg$
Con i tuoi numeri, $\Deltax=0.015m=1.5cm$. Il corpo si trova cioe' in equilibrio a un'altezza dal pavimento $h=0.5-0.015=0.485m$
A questo punto, scelto un livello potenziale arbitrario (io scelgo il pavimento perche la domanda e' a che altezza dal pavimento arriva il corpo, e in questo modo la ottnego direttamente, ma nulla vieta scegliere un altro livello), comprimi la molla ulteriormente di un tratto h.
Quindi l'energia immagazzinata dalla molla sara'
$-1/2k(h+\Deltax)^2=-1/2k(h+0.015)^2$
L'energia potenziale del corpo e' $mg(L_0-h-0.015)$
Questa e' l'energia iniziale (potenziale + elastica).
Questa energia si conserva. Cioe' in un generico punto x, la molla avra en. pot. $-1/2k(x-L_0)^2$ e il corpo $mgx$.
In definitiva vale:
$-1/2k(h+0.015)^2+mg(L_0-h-0.015) = -1/2k(x-L_0)^2+mgx$.
Cioe' tenuto conto che $L_0=0.5$
$-1/2k(h+0.015)^2+mg(0.485-h) = -1/2k(x-0.5)^2+mgx$.
Risolvendo l'equazione per x, trovi la quota x a cui arriva il corpo quando la molla viene rilasciata in funzione di h.
Grazie mille, ho capito tutto perfettamente.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo