Corpo rigido: scomposizione forza su piano inclinato

[lotuno]

Buonasera,
ho un dubbio riguardo il seguente problema (di cui posto una figura a titolo d'esempio): supponiamo di avere un corpo rigido vincolato in un punto. Di esso si trascura il suo peso proprio. Su una sua faccia, inclinata di $ alpha $ rispetto all'orizzontale, agisce una forza esterna $ F $ applicata verso il basso.
L'obbiettivo sarebbe calcolare un'ipotetica controcoppia $ M $ da applicare al corpo per farlo essere in perfetto equilibrio statico.

Il dubbio che mi viene riguarda la eventuale scomposizione di $ F $ nelle due componenti $ F_x $ e $ F_z $ lungo il piano inclinato... Infatti, per calcolare il momento, io scomporrei la forza per trovare un'equazione tipo:

$ F*cos(alpha)*b_1+F*sin(alpha)*b2 = M $ con $ b_1 $ e $ b_2 $ opportunamente ricavati dalla geometria.

Ciò che NON farei è invece scrivere semplicemente: $ M = b_3*F $ considerando un braccio "puramente" orizzontale come quello verde in figura.

[Quinzio]

"lotuno":
Ciò che NON farei è invece scrivere semplicemente: $ M = b_3*F $ considerando un braccio "puramente" orizzontale come quello verde in figura.

Mi sembra proprio quello che dovresti fare. Perche' no ?

[lotuno]

Perché la forza sta agendo su una superficie inclinata... Non dovrei considerare ciò?

[ingres]

Anche se Quinzio ha già risposto in modo, a mio giudizio, esauriente, vorrei precisare che la forma del corpo a cui è applicata la forza non entra nella formula del calcolo del momento che dipende solo da F, dalla sua distanza dal polo e dal seno dell'angolo tra F e il vettore distanza dal polo.
In questo caso $b_3$ è il prodotto distanza * seno dell'angolo per cui è corretto fare proprio $b_3*F$.

Comunque la formula che hai scritto è in linea di principio corretta, per cui ti suggerisco di calcolare i valori di b1 e b2 e vedere che risultato fornisce.

[Shackle]

Hai un corpo rigido con un punto fisso. Sai certamente che in un corpo rigido puoi spostare la forza lungo la sua retta di azione, senza che cambino gli effetti. Stabilisci il punto di applicazione di $vecF$, e scrivi il momento rispetto al punto fisso, assunto come polo:

$vecM = vecr\timesvecF$

Come sai, il vettore forza $vecF$ ha componenti diverse in riferimenti diversi, puoi scomporlo secondo le direzioni che preferisci; ed $vecM$ non è un vettore applicato, ma non è il caso di mettere altra carne al fuoco.

La forma del corpo rigido non ha importanza qui. Semmai, quando si studia la dinamica del corpo rigido, in questo caso con un punto fisso, ha importanza la sua massa e la distribuzione della stessa rispetto al punto, cioè hanno importanza le caratteristiche di inerzia del c.r. . Ma è una questione diversa, che tira in ballo la seconda equazione cardinale della dinamica, e altre quantità meccaniche come il momento angolare, e non solo.
La semplice risposta di Quinzio è la migliore.

Dai tempo al tempo, per il resto.

[lotuno]

Ho provato a modellare un esempio un po' più concreto: immagino di avere un gancio infulcrato nel punto nero pieno, con massa trascurabile, a cui applico una $ F = 10N $. Ho considerato diversi casi:

1) Figura1: la forza agisce su una superficie puramente piatta. Il prodotto $ F * d $, come vedete in Figura, dà come risultato $ 420.1 Nmm $;

2) Figura2: la forza agisce su una superficie inclinata di 30° ma tale che il punto di applicazione della forza non è cambiato, a livello di coordinate, rispetto al fulcro. Scomponendo, avrei una componente che tende a "chiudere" il gancio e una che tende ad "aprirlo", ma per come l'ho modellato: $ 10*(sin(30°)*182.108-cos(30°)56.643) = 420 Nmm $ che possiamo dire essere praticamente uguale al risultato 1);

3) Figura3: stessa impostazione di Figura2, ma con inclinazione di superficie di 45°. In questo caso (risparmio il conto) scomponendo la $ F $ il gancio NON si apre. Tuttavia "ad sensum", guardandolo senza fare conti, penso che chiunque di noi dica che il gancio si aprirà.

Dunque da quello che ho capito i due approcci non sono simili, tranne che per particolari condizioni geometriche (nel caso 2) ho giocato un po' con la geometria per arrivare ad ottenere lo stesso risultato di 1), ma è una forzatura). Dipende tutto solo dalla distanza tra forza e fulcro, la forma del corpo in questo caso non è rilevante.

[Shackle]

Dipende tutto solo dalla distanza tra forza e fulcro, la forma del corpo in questo caso non è rilevante.

È quello che abbiamo detto, ma non solo in questo caso.

[lotuno]

Grazie per le risposte. A questo punto chiedo: se il sistema di riferimento fosse non quello in Figura1, ma uno ruotato di $ alpha $, dovrei considerare tale angolo nel prodotto veooriale? Immagino di sì...

[Shackle]

Se ruoti il riferimento di un angolo $alpha$, il prodotto vettoriale non se ne cale minimamente. Il prodotto vettoriale $\vecr\times\vecF$ è per definizione un vettore (pseudo) normale al piano individuato dai due vettori, e di intensità $r*F*sen\theta$, dove $theta$ è l’angolo tra i due vettori. Queste nozioni di calcolo vettoriale le devi memorizzare per l’eternità

Se ruoti il riferimento, cambiano le componenti dei vettori rispetto agli assi, ma non il prodotto vettoriale.