Corpo rigido rotola su una guida semicircolare
"Una pallina sferica cava di raggio r e massa m rotola senza strisciare lungo una guida semicircolare di raggio R, partendo dal punto più alto A con una velocità iniziale verso il basso pari a $ v_0 $, si veda figura. Quale distanza h dall'estremità opposta della guida raggiunge? (trascurare l'attrito dell'aria)"
Immagine:
Io ho risolto (forse) così:
- Conservazione dell'energia dal punto A al punto opposto nella guida (prima di staccarsi)
$ E_{i n} = 1/2I(v_0/r)^2 $
$ E_{f i n} = 1/2I(v_B/r)^2 $
Quindi $ v_B = v_0 $
- Ora il corpo si stacca dalla guida con velocità $ v_B $ quindi:
$ 0 = v_0 - g t => bar(t) = v_0/g $
$ h = v_0 bar(t) - 1/2g bar(t)^2 => h = 1/2v_0^2/g $
Secondo voi è giusto?? Mi sembra troppo semplice a dire la verità!
Immagine:
Io ho risolto (forse) così:
- Conservazione dell'energia dal punto A al punto opposto nella guida (prima di staccarsi)
$ E_{i n} = 1/2I(v_0/r)^2 $
$ E_{f i n} = 1/2I(v_B/r)^2 $
Quindi $ v_B = v_0 $
- Ora il corpo si stacca dalla guida con velocità $ v_B $ quindi:
$ 0 = v_0 - g t => bar(t) = v_0/g $
$ h = v_0 bar(t) - 1/2g bar(t)^2 => h = 1/2v_0^2/g $
Secondo voi è giusto?? Mi sembra troppo semplice a dire la verità!
Risposte
Mi sembra giusto.
Mi sembra di no.
Lo sarebbe sicuramente se fosse un punto materiale, ma questa è una sfera....
Lo sarebbe sicuramente se fosse un punto materiale, ma questa è una sfera....
O se la sfera non rotolasse
E quindi? Io non so come approcciarmi a questo problema
In effetti l'enunciato ha qualche ambiguita'.
L'ambiguita' sta nel capire se, all'istante iniziale, la sfera è gia' in rotolamento, oltre che a cadere con velocita' $v_0$, oppure se non rotola, ma trasla solo, come se fosse staccata dalla guida, e quindi inizia istantaneamente il rotolamento.
Io ho optato per lo scenario piu' semplice, ovvero che la sfera stia anche rotolando.
Si potrebbe suggerire a chi deve risolvere il problema di farlo per entrambi i casi.
L'ambiguita' sta nel capire se, all'istante iniziale, la sfera è gia' in rotolamento, oltre che a cadere con velocita' $v_0$, oppure se non rotola, ma trasla solo, come se fosse staccata dalla guida, e quindi inizia istantaneamente il rotolamento.
Io ho optato per lo scenario piu' semplice, ovvero che la sfera stia anche rotolando.
Si potrebbe suggerire a chi deve risolvere il problema di farlo per entrambi i casi.
Ok, la sfera rotola sin dall'inizio, quindi? Non capisco cosa io non stia tenendo in considerazione nella risoluzione del problema. Da quello che ha detto professorkappa presumo io debba tener in conto dell'effetto del rotolamento, ma non capisco come.
Se riuscite ad argomentare una risposta vi ringrazio, altrimenti va bene comunque
grazie in ogni caso per il tempo che mi avete dedicato.
Se riuscite ad argomentare una risposta vi ringrazio, altrimenti va bene comunque
grazie in ogni caso per il tempo che mi avete dedicato.
Il testo non mi sembra ambiguo. Dice che la sfera parte con velocità v0. Non parla di rotolamento altrimenti dovrebbe essere un dato.
Igol, ragionarci un attimo sopra. La velocità all estremità opposta della sfera non può essere uguale a quella di ingresso. Perché parte di quella energia va in rotolamento. Ripensarci un attimo. Non è difficile
Igol, ragionarci un attimo sopra. La velocità all estremità opposta della sfera non può essere uguale a quella di ingresso. Perché parte di quella energia va in rotolamento. Ripensarci un attimo. Non è difficile
Non riesco a capire. Il responsabile del puro rotolamento è l'attrito statico, ma questo non compie lavoro. Quindi l'energia meccanica totale si conserva così come ho scritto io.
L'energia meccanica all'inizio e' la stessa di quando arriva dalla parte opposta della guida
$1/2mv_0^2=1/2mv_1^2+1/2Iomega^2$
Moto di puro rotolamento esige che $omega=v_1/R$
Da cui $1/2mv_0^2=1/2mv_1^2+1/2I(v_1/R)^2=1/2(m+I/R^2)v_1^2$
Che risolta da $v_1^2=(mv_0^2*R^2)/(mR^2+I)$
Il corpo abbandona la guida con energia meccanica
$1/2m(mv_0^2*R^2)/(mR^2+I)+1/2Iomega^2$
e quando arriva in h ha energia meccanica pari a $mgh+1/2Iomega^2$. Queste devono eguagliarsi, quindi
$1/2m(mv_0^2*R^2)/(mR^2+I)+1/2Iomega^2=mgh+1/2Iomega^2$
Da cui trovi $h=(mv_0^2*R^2)/(2g(mR^2+I))=3/10(v_0^2)/(g)$, avendo preso in considerazione il momento di inerzia I della sfera cava pari a $2/3mR^2$
Secondo i tuoi calcoli arrivava in $0.5(v_0^2)/(g)$ secondo i miei arriva in $0.3(v_0^2)/(g)$. Questo 40% di "perdita" di energia e' ovviamente apperente. Non c'e' perdita, solo trasformazione in energia cinetica rotazionale.
$1/2mv_0^2=1/2mv_1^2+1/2Iomega^2$
Moto di puro rotolamento esige che $omega=v_1/R$
Da cui $1/2mv_0^2=1/2mv_1^2+1/2I(v_1/R)^2=1/2(m+I/R^2)v_1^2$
Che risolta da $v_1^2=(mv_0^2*R^2)/(mR^2+I)$
Il corpo abbandona la guida con energia meccanica
$1/2m(mv_0^2*R^2)/(mR^2+I)+1/2Iomega^2$
e quando arriva in h ha energia meccanica pari a $mgh+1/2Iomega^2$. Queste devono eguagliarsi, quindi
$1/2m(mv_0^2*R^2)/(mR^2+I)+1/2Iomega^2=mgh+1/2Iomega^2$
Da cui trovi $h=(mv_0^2*R^2)/(2g(mR^2+I))=3/10(v_0^2)/(g)$, avendo preso in considerazione il momento di inerzia I della sfera cava pari a $2/3mR^2$
Secondo i tuoi calcoli arrivava in $0.5(v_0^2)/(g)$ secondo i miei arriva in $0.3(v_0^2)/(g)$. Questo 40% di "perdita" di energia e' ovviamente apperente. Non c'e' perdita, solo trasformazione in energia cinetica rotazionale.
Ok, grazie professorkappa. Mi era proprio sfuggito il fatto che l'energia meccanica in un corpo rigido si calcola come:
Energia cinetica associata alla rotazione (intorno al CM) + Energia cinetica associata alla traslazione (del CM) + Energia potenziale
(CM = centro di massa).
Cioè mi era sfuggita l'energia cinetica associata alla traslazione.
Energia cinetica associata alla rotazione (intorno al CM) + Energia cinetica associata alla traslazione (del CM) + Energia potenziale
(CM = centro di massa).
Cioè mi era sfuggita l'energia cinetica associata alla traslazione.
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