Corpo rigido: insegna rettangolare
Il problema è il seguente:
Un cancello rettangolare di massa M = 40 kg, largo l= 3.00 m e alto h= 1.80 m, è incernierato al muro nei punti O e A come in figura. Il cancello è inoltre sorretto in B da un cavo di acciaio che forma un angolo α = 30° con l’estremità superiore ed è sottoposto a una tensione T = 200 N. Determinare: a) la componente orizzontale della reazione vincolare esercitata dalla cerniera in A; b) la componente orizzontale della reazione vincolare esercitata dalla cerniera in O.
Non riesco ad arrivare alla soluzione: posso facilmente sapere la somma delle componenti orizzontali delle reazioni vincolari di O e A perché deve essere uguale alla componente orizzontale della tensione; posso sapere la somma delle componenti verticali delle reazioni vincolari perché devono essere uguali alla forza peso del cancello meno la componente verticale della tensione. Da qui come arrivo a conoscere completamente le reazioni vincolari in O e A?
Grazie in anticipo!
Un cancello rettangolare di massa M = 40 kg, largo l= 3.00 m e alto h= 1.80 m, è incernierato al muro nei punti O e A come in figura. Il cancello è inoltre sorretto in B da un cavo di acciaio che forma un angolo α = 30° con l’estremità superiore ed è sottoposto a una tensione T = 200 N. Determinare: a) la componente orizzontale della reazione vincolare esercitata dalla cerniera in A; b) la componente orizzontale della reazione vincolare esercitata dalla cerniera in O.
Non riesco ad arrivare alla soluzione: posso facilmente sapere la somma delle componenti orizzontali delle reazioni vincolari di O e A perché deve essere uguale alla componente orizzontale della tensione; posso sapere la somma delle componenti verticali delle reazioni vincolari perché devono essere uguali alla forza peso del cancello meno la componente verticale della tensione. Da qui come arrivo a conoscere completamente le reazioni vincolari in O e A?
Grazie in anticipo!
Risposte
È sufficiente che eguagli i momenti ...
Ho provato a farlo ma ottenendo risultati sbagliati. Ho considerato la rotazione rispetto al punto O e ho quindi scritto l'equazione:
$T*l-M*g*\frac{d}{2}*\sin(\beta )+A*h*\sin(\theta)=0$,
dove $d$ è la diagonale del rettangolo $d=\sqrt{l^{2}+h^{2}}$, $\beta$ è l'angolo tra la forza peso considerata nel centro di massa del rettangolo e il braccio che collega il punto O al centro di massa stesso $\beta=\frac{\pi}{2}+\arctan(\frac{h}{l})$, $A$ è il modulo della reazione vincolare in A e $\theta$ è l'angolo tra quest'ultima e il braccio che collega A a O. Ho assunto che il momento della reazione vincolare in A fosse positivo, cioè facesse ruotare il rettangolo come la tensione T.
Risolvendo mi torna che
$A*\sin(\theta)=A_{x}=-6.7$
che è un risultato sbagliato.
$T*l-M*g*\frac{d}{2}*\sin(\beta )+A*h*\sin(\theta)=0$,
dove $d$ è la diagonale del rettangolo $d=\sqrt{l^{2}+h^{2}}$, $\beta$ è l'angolo tra la forza peso considerata nel centro di massa del rettangolo e il braccio che collega il punto O al centro di massa stesso $\beta=\frac{\pi}{2}+\arctan(\frac{h}{l})$, $A$ è il modulo della reazione vincolare in A e $\theta$ è l'angolo tra quest'ultima e il braccio che collega A a O. Ho assunto che il momento della reazione vincolare in A fosse positivo, cioè facesse ruotare il rettangolo come la tensione T.
Risolvendo mi torna che
$A*\sin(\theta)=A_{x}=-6.7$
che è un risultato sbagliato.
Vediamo ...
Prendo $O$ come polo, per cui avremo $mgl/2=T*sin(30°)*l+A_x*h\ \ =>\ \ 40*9.8*3/2=200*1/2*3+1.8*A_x$ da cui si ricava che $A_x=160\ N$.
Allo stesso modo puoi ricavarti $O_x$ usando $A$ come polo (oppure l'equazione di equilibrio orizzontale); ti rimangono ancora due incognite (le componenti verticali delle due reazioni), per risolvere le quali usi l'equazione di equilibrio verticale e quella dei momenti relativi al polo B.
Cordialmente, Alex
Prendo $O$ come polo, per cui avremo $mgl/2=T*sin(30°)*l+A_x*h\ \ =>\ \ 40*9.8*3/2=200*1/2*3+1.8*A_x$ da cui si ricava che $A_x=160\ N$.
Allo stesso modo puoi ricavarti $O_x$ usando $A$ come polo (oppure l'equazione di equilibrio orizzontale); ti rimangono ancora due incognite (le componenti verticali delle due reazioni), per risolvere le quali usi l'equazione di equilibrio verticale e quella dei momenti relativi al polo B.
Cordialmente, Alex
Grazie mille, chiarissimo. Ora torna tutto.
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