Corpo rigido e puro rotolamento
Ciao a tutti!! ho un dubbio su un esercizio con corpo rigido e puro rotolamento.
Ho un asse di raggio r con 2 ruote ai suoi estremi di raggio R>r. Il corpo viene visto come l'unione di 3 cilindri di uguale massa m. All'asse centrale è avvolta una fune inestensibile tramite la quale applico una forza F orizzontale al piano.La fune esce nella parte inferiore dell'asse.Inoltre c'è attrito fra le ruote e il piano. Devo calcolare la massima F affinchè ci sia puro rotolamento.
Ho ragionato così:
Prendo come polo O il punto di contatto fra le ruote e il piano.
$\ (dL)/(dt) = M $
$\ (d(I\omega + 3mvR))/(dt)=F(R-r)$ ---> $\ I\alpha +3m\alphaR^2 = F(R-r)$ dove $\I = m(R^2 +r^2/2)$
$\(F-f) = m\alpha(2R+r)$
$\f = 2\mumg$
secondo voi può funzionare???
Grazie mille!
Ho un asse di raggio r con 2 ruote ai suoi estremi di raggio R>r. Il corpo viene visto come l'unione di 3 cilindri di uguale massa m. All'asse centrale è avvolta una fune inestensibile tramite la quale applico una forza F orizzontale al piano.La fune esce nella parte inferiore dell'asse.Inoltre c'è attrito fra le ruote e il piano. Devo calcolare la massima F affinchè ci sia puro rotolamento.
Ho ragionato così:
Prendo come polo O il punto di contatto fra le ruote e il piano.
$\ (dL)/(dt) = M $
$\ (d(I\omega + 3mvR))/(dt)=F(R-r)$ ---> $\ I\alpha +3m\alphaR^2 = F(R-r)$ dove $\I = m(R^2 +r^2/2)$
$\(F-f) = m\alpha(2R+r)$
$\f = 2\mumg$
secondo voi può funzionare???
Grazie mille!
Risposte
"ste3191":
$\(F-f) = m\alpha(2R+r)$
$\f = 2\mumg$
secondo voi può funzionare???
Grazie mille!
La forza di attrito vale $\f = 3\mumg$, non $\f = 2\mumg$, pechè le masse $m$ sono $3$, non $2$.
La condizione di puro rotolamento è : $F\leq f$ .
Ho provato anche con 3 ma il risultato è diverso da quello del libro.. È giusto come ho descritto l'accelerazione del corpo in funzione di $\alpha$ ?
ste,
qui bisogna capire che le incognite sono due, la forza $F$ e l'accelerazione $a$. Infatti il filo, oltre a imprimere rotazione e quindi accelerazione angolare, imprime anche una accelerazione lineare.
Allora ti servono entrambe le eq Cardinali della Dinamica.
La prima può essere scritta cosi : $F-f = 3m*a = 3m*\alpha*R$, dove $a$ è l'accelerazione del centro di massa, uguale ad $\alpha *R $, se si considera il moto di "istantanea rotazione" con centro nel punto di contatto.
LA seconda è quella che uguaglia il momento delle forze esterne, rispetto al punto di contatto assunto come polo, alla derivata temporale del momento angolare riferito allo stesso polo.
Ho fatto i calcoli, ma data l'ora tarda mi sento un pò rincitrullito, e forse posso aver sbagliato qualcosa. Perciò ti chiedo solo se per caso il risultato del libro è questo :
$ F_(max) = 3\mu*m*g* (( r^2/2 +4R^2)/(r^2/2+R^2+3Rr))$
se lo è, ti metterò i passaggi domani. Altrimenti rivedrò i calcoli a mente fredda, ora non ce la faccio proprio. Nel frattempo però prova anche tu !
qui bisogna capire che le incognite sono due, la forza $F$ e l'accelerazione $a$. Infatti il filo, oltre a imprimere rotazione e quindi accelerazione angolare, imprime anche una accelerazione lineare.
Allora ti servono entrambe le eq Cardinali della Dinamica.
La prima può essere scritta cosi : $F-f = 3m*a = 3m*\alpha*R$, dove $a$ è l'accelerazione del centro di massa, uguale ad $\alpha *R $, se si considera il moto di "istantanea rotazione" con centro nel punto di contatto.
LA seconda è quella che uguaglia il momento delle forze esterne, rispetto al punto di contatto assunto come polo, alla derivata temporale del momento angolare riferito allo stesso polo.
Ho fatto i calcoli, ma data l'ora tarda mi sento un pò rincitrullito, e forse posso aver sbagliato qualcosa. Perciò ti chiedo solo se per caso il risultato del libro è questo :
$ F_(max) = 3\mu*m*g* (( r^2/2 +4R^2)/(r^2/2+R^2+3Rr))$
se lo è, ti metterò i passaggi domani. Altrimenti rivedrò i calcoli a mente fredda, ora non ce la faccio proprio. Nel frattempo però prova anche tu !
mmmm no..non è del tutto giusto.. Il libro non mette $\3m\alphaR$ ma $\m\alphaR$ e non mette nemmeno il 3 alla forza di attrito!.. Ma comunque non ho capito una cosa, perchè se i cilindri hanno raggi diversi devo considerare solo $\alphaR$ ?
Grazie dei calcoli comunque!!
Grazie dei calcoli comunque!!
"ste3191":
mmmm no..non è del tutto giusto.. Il libro non mette $\3m\alphaR$ ma $\m\alphaR$ e non mette nemmeno il 3 alla forza di attrito!.. Ma comunque non ho capito una cosa, perchè se i cilindri hanno raggi diversi devo considerare solo $\alphaR$ ?
Grazie dei calcoli comunque!!
Allora evidentemente il libro chiama con $m$ tutta la massa del corpo, formato dai tre cilindri messi insieme!
L'accelerazione del cdm è $a = \alpha*R$ , considerando che il punto di contatto è centro di istantanea rotazione.
Puoi mettere la soluzione del libro, così ci ragioniamo insieme?
allora ti scrivo i dati: $m = 50 g, R= 4 cm, r= 1 cm , \mu=0.6$
Le equazioni risolutive sono le stesse senza il 3 davanti la forza di attrito e davanti $m\alphaR$.
Quindi $\F_max = (\mumg)/(1-(R(R-r))/(4R^2+r^2/2)) = 0.36N$
il risultato viene mettendo in m = 50 g e non 150 g, quindi ne mette solo una
Le equazioni risolutive sono le stesse senza il 3 davanti la forza di attrito e davanti $m\alphaR$.
Quindi $\F_max = (\mumg)/(1-(R(R-r))/(4R^2+r^2/2)) = 0.36N$
il risultato viene mettendo in m = 50 g e non 150 g, quindi ne mette solo una
ste,
il risultato del tuo libro, con qualche piccola manipolazione, si può scrivere anche così :
$ F_(max) = \mumg((4R^2 +r^2/2)/(3R^2 + r^2/2 +Rr)) $
Invece il mio risultato è :
$F_(max) = 3\mumg((4R^2 +r^2/2)/(R^2 + r^2/2 +3Rr)) $
Come vedi le formule si "assomigliano", anche se non sono uguali. La formula del libro, sostituendo i valori dati , dà appunto $0.36N$ . La mia dà : $0.39N$ .
Ma a parte i valori, c'è evidentemente una discordanza nei passaggi. Io ho ripetutamente controllato i miei, e li confermo. Potrebbero essere errati quelli del libro, non lo so.
Però una cosa so per certa : se un corpo è fatto di tre pezzi aventi la stessa massa $m$ , la massa totale è $3m$ . Il peso è $3mg$ , quindi la max forza di attrito totale è : $ \mu*3mg$ ( divisa tra le due ruote più grandi, ovvio). Inoltre, la massa che è accelerata linearmente è $3m$ , e la forza che accelera è $F-f$ ( per rimanere coi tuoi simboli) .
Vanno applicate entrambe le eq cardinali della Dinamica, e quindi si deduce la $F_(max)$ . Credo che anche il libro abbia fatto così , ma non mi spiego la differenza.
A meno che non mi stia sbagliando del tutto...
Più di così , non so che dirti. Parlane col prof, se hai occasione. Ciao.
il risultato del tuo libro, con qualche piccola manipolazione, si può scrivere anche così :
$ F_(max) = \mumg((4R^2 +r^2/2)/(3R^2 + r^2/2 +Rr)) $
Invece il mio risultato è :
$F_(max) = 3\mumg((4R^2 +r^2/2)/(R^2 + r^2/2 +3Rr)) $
Come vedi le formule si "assomigliano", anche se non sono uguali. La formula del libro, sostituendo i valori dati , dà appunto $0.36N$ . La mia dà : $0.39N$ .
Ma a parte i valori, c'è evidentemente una discordanza nei passaggi. Io ho ripetutamente controllato i miei, e li confermo. Potrebbero essere errati quelli del libro, non lo so.
Però una cosa so per certa : se un corpo è fatto di tre pezzi aventi la stessa massa $m$ , la massa totale è $3m$ . Il peso è $3mg$ , quindi la max forza di attrito totale è : $ \mu*3mg$ ( divisa tra le due ruote più grandi, ovvio). Inoltre, la massa che è accelerata linearmente è $3m$ , e la forza che accelera è $F-f$ ( per rimanere coi tuoi simboli) .
Vanno applicate entrambe le eq cardinali della Dinamica, e quindi si deduce la $F_(max)$ . Credo che anche il libro abbia fatto così , ma non mi spiego la differenza.
A meno che non mi stia sbagliando del tutto...
Più di così , non so che dirti. Parlane col prof, se hai occasione. Ciao.
ste,
posto anche i passaggi fatti da me a mano
e metto pure un esercizio identico, ( 46-a) , scansito da un libro di Bruno Finzi , dove è indicata con $m$ la massa totale del rocchetto, che io ho chiamato $M = 3m$ . Basta sostituire l' espressione del momento di inerzia per vedere che la soluzione è uguale alla mia. Ciao
posto anche i passaggi fatti da me a mano
e metto pure un esercizio identico, ( 46-a) , scansito da un libro di Bruno Finzi , dove è indicata con $m$ la massa totale del rocchetto, che io ho chiamato $M = 3m$ . Basta sostituire l' espressione del momento di inerzia per vedere che la soluzione è uguale alla mia. Ciao
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