Corpo rigido
Su un piano orizzontale è posata una massa m=10kg. Essa viene messa in movimento tramite un filo che si avvolge su una puleggia di raggio r=20cm. Questa è messa in rotazione dalla discesa, sotto l'azione del peso, di una massa M=4kg, a cui è collegata da un filo avvolto su una puleggia R=50cm, coassiale e rigidamente fissata alla precedente. Il momento di inerzia del sistema delle due pulegge rispetto al comune asse di rotazione vale I=6kg m^2. Calcolare:
1)la velocità v di M dopo che è scesa di 1m;
2)le tensioni dei due fili durante il movimento;
3)il valore di v se tra m e il piano ci fosse un coefficiente di attrito di 0.25.
[xdom="dissonance"]Eliminata supplica disperata. Per favore, dai retta ai giusti consigli degli altri utenti più esperti. Grazie.[/xdom]
1)la velocità v di M dopo che è scesa di 1m;
2)le tensioni dei due fili durante il movimento;
3)il valore di v se tra m e il piano ci fosse un coefficiente di attrito di 0.25.
[xdom="dissonance"]Eliminata supplica disperata. Per favore, dai retta ai giusti consigli degli altri utenti più esperti. Grazie.[/xdom]
Risposte
non sono nello spirito del forum le suppliche disperate 
Cannolo , Seven ha pienamente ragione : perchè anzichè disperarti non cerchi di capire il problema , e di abbozzare una soluzione ?
Aiutati , che il Forum ti aiuta ...si dice così , no ?
Dovresti precisare questo , però :
-il primo filo è anch'esso orizzontale ?
-per rispondere ai quesiti 1 e 2 , si suppone che il piano sia liscio , giusto?
-Invece nel questito 3 , si aggiunge che il piano è scabro , è cosi?
Aiutati , che il Forum ti aiuta ...si dice così , no ?
Dovresti precisare questo , però :
-il primo filo è anch'esso orizzontale ?
-per rispondere ai quesiti 1 e 2 , si suppone che il piano sia liscio , giusto?
-Invece nel questito 3 , si aggiunge che il piano è scabro , è cosi?
Cannolo ? Ci sei ? Io sto aspettando te , bisogna rispettare le regole . Non scrivo nulla se prima non scrivi tu. Se poi non ti interessa più , è un altro discorso...
scusate ho letto solo adesso ero all'università... si il filo è orizzontale, il piano è liscio nei quesiti 1 e 2 mentre scabro nel 3.
"navigatore":
Cannolo , Seven ha pienamente ragione : perchè anzichè disperarti non cerchi di capire il problema , e di abbozzare una soluzione ?
Aiutati , che il Forum ti aiuta ...si dice così , no ?
Dovresti precisare questo , però :
-il primo filo è anch'esso orizzontale ?
-per rispondere ai quesiti 1 e 2 , si suppone che il piano sia liscio , giusto?
-Invece nel questito 3 , si aggiunge che il piano è scabro , è cosi?
è ovvio che ho provato a farlo e che ho abbozzato una soluzione...
cmq il problema non è difficile come impostazione... l'unica cosa è che non riesco a capire bene quali sono le equazioni del moto! Sistemate quelle è un gioco da ragazzi ovviamente
E allora scrivi la tua bozza di soluzione ! Che ti costa ? Così dimostri di essere nello spirito del forum, e magari fai anche un piacere a qualcun altro , che arde dalla voglia di capire queste pulegge..
Certamente domani vi posto il mio ragionamento... Scusate se non l'ho fatto prima ma sono appena iscritto e non sapevo bene come funzionasse... Grazie a domani
come vi dicevo stavo cercando di impostare le equazioni del moto del corpo m, del corpo M e del sistema di pulegge.
chiamerò T(m) la tensione del filo nel tratto orizzontale e T(M) la tensione del filo verticale. a(m) e a(M) le accelerazioni e A=alfa cioè l'accelerazione angolare del sistema di pulegge.
T(m)= ma(1)
Mg-T(M)=Ma(2)
rT(m)-RT(M)=IA
r ed R sono i raggi,I è il momento di inerzia. Spero di essere stato chiaro. Pensate siano giuste? L'idea è di risolvere e trovare le tensioni per rispondere al secondo quesito e l'accelerazione angolare A per rispondere al primo.
chiamerò T(m) la tensione del filo nel tratto orizzontale e T(M) la tensione del filo verticale. a(m) e a(M) le accelerazioni e A=alfa cioè l'accelerazione angolare del sistema di pulegge.
T(m)= ma(1)
Mg-T(M)=Ma(2)
rT(m)-RT(M)=IA
r ed R sono i raggi,I è il momento di inerzia. Spero di essere stato chiaro. Pensate siano giuste? L'idea è di risolvere e trovare le tensioni per rispondere al secondo quesito e l'accelerazione angolare A per rispondere al primo.
lo step successivo era sostituire a(1) e a(2) rispettivamente con Ar e AR in modo da ottenere un sistema di tre equazioni in tre incognite.
Cannolo , tutto qui ? Qualche idea c'è , ma non basta... non ti ricordi alcun teorema di Meccanica ?
Vabbè , siccome ho questo file da due giorni , lo copio qui , e buonanotte . Ma i conti te li fai tu ,e anche il caso con l'attrito tra $m$ e piano .
Il problema si può risolvere in vari modi . Io preferisco applicare la 2° eq. cardinale della Dinamica:
Il momento delle forze esterne su un sistema causa variazione del momento angolare del sistema :
$\vecM_e = (d\vecL)/dt $
Definisco il riferimento : l’asse di rotazione è perpendicolare al foglio in $O$ , centro delle pulegge , e lo chiamo asse $Z$ . Gli altri due sono nel piano del foglio , l’asse $OX$ è orientato verso destra , l’asse $OY$ verso il basso .
Tutte le velocità lineari , accelerazioni lineari , e forze , sono vettori paralleli agli assi $X$ oppure $Y$ , tutti i momenti sono vettori paralleli all’asse $Z$ . Per cui , per evitare la notazione vettoriale , mi riferisco direttamente alle componenti di queste grandezze .
Calcolo il momento delle forze “esterne” .
Comincio dalla massa piccola $m$ : il suo peso $mg$ è equilibrato dalla reazione del piano , e se questo è liscio non c’è forza d’attrito . Le due forze hanno , complessivamente, momento nullo rispetto all’asse Z . La massa $m$ è tirata dal filo $1$ orizzontale con una forza , ora incognita, $T_1$ , e si muove , come vedremo , di moto uniformemente accelerato , con velocità $V_1(t)$ e accelerazione $a_1$ che calcoleremo. A sua volta si può dire che il filo esercita una tensione $-T_1$ sulla periferia della ruota , ma queste due forze sono “interne” al sistema .
La Massa $M$ sospesa al filo 2 verticale è soggetta al peso $Mg$ e ad una tensione incognita nel filo $-T_2$ , rivolta verso l’alto . Il filo a sua volta agisce sulla periferia della ruota grande con la forza $T_2$ uguale e contraria : queste due sono forze interne anche loro .
Perciò l’unico “momento di forze esterne” che agisce sul sistema è dato da :
$M_e = MgR $ ---- (1)
ed è questo che causa la variazione del momento angolare del sistema .
Calcolo ora il momento angolare del sistema rispetto all’asse di rotazione :
$L = I*\omega + m*V_1*r + M*V_2*R $ ---- (2)
Dove $I$ è il momento di inerzia delle pulegge rotanti , e gli altri due termini sono i momenti angolari delle masse $m$ ed $M$ rispetto ad O ( anche un corpo in moto rettilineo ha un momento angolare rispetto ad un certo polo, perciò compaiono i due termini aggiuntivi al secondo membro). Sono tutti nello stesso verso.
Prima di calcolare la derivata di $L$ rispetto al tempo, vediamo come si muove il sistema.
La Massa $M$ , se fosse libera , cadrebbe con accelerazione $g$ . Ma non è libera , quindi la sua accelerazione verso il basso è minore di $g$ . L’equazione del moto di M è :
$Ma_2 = Mg-T_2$ , da cui si ricava che : $ a_2 = g-T_2/M $ . ( NB : il pedice 2 sta per il filo 2)--- (3)
Questo è un moto uniformemente accelerato , poiché la tensione $T_2$ è costante.
Perciò anche il moto rotatorio della puleggia è uniformemente accelerato .
L’accelerazione lineare del filo verticale è uguale alla accelerazione tangenziale $a_2$ della puleggia grande: dividendola per il raggio $R$ , si ottiene l’accelerazione angolare $\alpha = (d\omega)/dt$ della puleggia . Infatti si vede che , nel moto rotatorio , si ha : $V_2 = \omega*R $ ( dove $V_2$ è la velocità periferica della puleggia , uguale alla velocità lineare del filo 2) , e quindi per derivazione :
$a_2 = (dV_2)/dt = (d\omega)/dt * R = \alpha*R $ , da cui appunto : $ \alpha = a_2/R$
Ora , il moto rotatorio uniformemente accelerato avviene con ugual accelerazione angolare e velocità angolare per entrambe le pulegge , che sono solidali tra loro . Il moto rotatorio uniformemente accelerato è retto dalle seguenti relazioni , tenuto conto delle condizioni iniziali :
$\omega = \alpha*t $ , e $\theta = ½*\alpha*t^2$ , dove $\omega $ = velocità angolare , $\theta $ = angolo
che sono le analoghe del moto rettilineo uniformemente accelerato . Ovviamente , le accelerazioni lineari dei fili 1 e 2 (cioè delle masse m ed M ) sono diverse , poiché sono diversi i raggi :
$a_2 = \alpha*R $ e analogamente : $a_1 = \alpha*r $
Tutto sta , quindi, nel calcolare l’accelerazione angolare $\alpha$ . E per farlo , eseguiamo la famosa derivata di $L$ , dato dalla (2) , rispetto al tempo :
$(dL)/dt = I*[(d\omega)/dt +m*r^2*(d\omega)/dt + M*R^2*(d\omega)/dt ] = \alpha*(I+mr^2+MR^2)$ ---(4)
Uguagliando al momento delle forze esterne dato dalla (1) , si ricava :
$\alpha = (MgR)/(I + mr^2 + MR^2) $ (5)
Si vede chiaramente che , oltre al momento di inerzia $I$ delle pulegge rotanti, vi sono due quantità uguali ai momenti di inerzia delle due masse $m$ ed $M$ , poste ai raggi $r$ ed $R$ delle risp. pulegge .
La (5) è la relazione che cercavamo . Nota l’accelerazione angolare , sono note le accelerazioni lineari $a_1$ ed $a_2$ , e quindi , con le formule del moto uniformemente accelerato , la altre quantità richieste .
Tieni conto che un filo che si svolge da una puleggia era prima un arco di circonferenza.
Si calcolano poi facilmente le tensioni nei due fili .
Per quanto riguarda il caso in cui c’è una forza di attrito tra $m$ e piano , le cose procedono analogamente, tenendo conto però che la forza di attrito , pensata applicata sul filo 1 , aggiunge un momento esterno , di verso contrario , al momento della massa M .
Cannolo , io non ho preso la macchinetta e fatto alcun conto…
Adesso mi prendo un lisciabusso da qualche moderatore , perchè ti ho scodellato l'uovo troppo in fretta ...
Vabbè , siccome ho questo file da due giorni , lo copio qui , e buonanotte . Ma i conti te li fai tu ,e anche il caso con l'attrito tra $m$ e piano .
Il problema si può risolvere in vari modi . Io preferisco applicare la 2° eq. cardinale della Dinamica:
Il momento delle forze esterne su un sistema causa variazione del momento angolare del sistema :
$\vecM_e = (d\vecL)/dt $
Definisco il riferimento : l’asse di rotazione è perpendicolare al foglio in $O$ , centro delle pulegge , e lo chiamo asse $Z$ . Gli altri due sono nel piano del foglio , l’asse $OX$ è orientato verso destra , l’asse $OY$ verso il basso .
Tutte le velocità lineari , accelerazioni lineari , e forze , sono vettori paralleli agli assi $X$ oppure $Y$ , tutti i momenti sono vettori paralleli all’asse $Z$ . Per cui , per evitare la notazione vettoriale , mi riferisco direttamente alle componenti di queste grandezze .
Calcolo il momento delle forze “esterne” .
Comincio dalla massa piccola $m$ : il suo peso $mg$ è equilibrato dalla reazione del piano , e se questo è liscio non c’è forza d’attrito . Le due forze hanno , complessivamente, momento nullo rispetto all’asse Z . La massa $m$ è tirata dal filo $1$ orizzontale con una forza , ora incognita, $T_1$ , e si muove , come vedremo , di moto uniformemente accelerato , con velocità $V_1(t)$ e accelerazione $a_1$ che calcoleremo. A sua volta si può dire che il filo esercita una tensione $-T_1$ sulla periferia della ruota , ma queste due forze sono “interne” al sistema .
La Massa $M$ sospesa al filo 2 verticale è soggetta al peso $Mg$ e ad una tensione incognita nel filo $-T_2$ , rivolta verso l’alto . Il filo a sua volta agisce sulla periferia della ruota grande con la forza $T_2$ uguale e contraria : queste due sono forze interne anche loro .
Perciò l’unico “momento di forze esterne” che agisce sul sistema è dato da :
$M_e = MgR $ ---- (1)
ed è questo che causa la variazione del momento angolare del sistema .
Calcolo ora il momento angolare del sistema rispetto all’asse di rotazione :
$L = I*\omega + m*V_1*r + M*V_2*R $ ---- (2)
Dove $I$ è il momento di inerzia delle pulegge rotanti , e gli altri due termini sono i momenti angolari delle masse $m$ ed $M$ rispetto ad O ( anche un corpo in moto rettilineo ha un momento angolare rispetto ad un certo polo, perciò compaiono i due termini aggiuntivi al secondo membro). Sono tutti nello stesso verso.
Prima di calcolare la derivata di $L$ rispetto al tempo, vediamo come si muove il sistema.
La Massa $M$ , se fosse libera , cadrebbe con accelerazione $g$ . Ma non è libera , quindi la sua accelerazione verso il basso è minore di $g$ . L’equazione del moto di M è :
$Ma_2 = Mg-T_2$ , da cui si ricava che : $ a_2 = g-T_2/M $ . ( NB : il pedice 2 sta per il filo 2)--- (3)
Questo è un moto uniformemente accelerato , poiché la tensione $T_2$ è costante.
Perciò anche il moto rotatorio della puleggia è uniformemente accelerato .
L’accelerazione lineare del filo verticale è uguale alla accelerazione tangenziale $a_2$ della puleggia grande: dividendola per il raggio $R$ , si ottiene l’accelerazione angolare $\alpha = (d\omega)/dt$ della puleggia . Infatti si vede che , nel moto rotatorio , si ha : $V_2 = \omega*R $ ( dove $V_2$ è la velocità periferica della puleggia , uguale alla velocità lineare del filo 2) , e quindi per derivazione :
$a_2 = (dV_2)/dt = (d\omega)/dt * R = \alpha*R $ , da cui appunto : $ \alpha = a_2/R$
Ora , il moto rotatorio uniformemente accelerato avviene con ugual accelerazione angolare e velocità angolare per entrambe le pulegge , che sono solidali tra loro . Il moto rotatorio uniformemente accelerato è retto dalle seguenti relazioni , tenuto conto delle condizioni iniziali :
$\omega = \alpha*t $ , e $\theta = ½*\alpha*t^2$ , dove $\omega $ = velocità angolare , $\theta $ = angolo
che sono le analoghe del moto rettilineo uniformemente accelerato . Ovviamente , le accelerazioni lineari dei fili 1 e 2 (cioè delle masse m ed M ) sono diverse , poiché sono diversi i raggi :
$a_2 = \alpha*R $ e analogamente : $a_1 = \alpha*r $
Tutto sta , quindi, nel calcolare l’accelerazione angolare $\alpha$ . E per farlo , eseguiamo la famosa derivata di $L$ , dato dalla (2) , rispetto al tempo :
$(dL)/dt = I*[(d\omega)/dt +m*r^2*(d\omega)/dt + M*R^2*(d\omega)/dt ] = \alpha*(I+mr^2+MR^2)$ ---(4)
Uguagliando al momento delle forze esterne dato dalla (1) , si ricava :
$\alpha = (MgR)/(I + mr^2 + MR^2) $ (5)
Si vede chiaramente che , oltre al momento di inerzia $I$ delle pulegge rotanti, vi sono due quantità uguali ai momenti di inerzia delle due masse $m$ ed $M$ , poste ai raggi $r$ ed $R$ delle risp. pulegge .
La (5) è la relazione che cercavamo . Nota l’accelerazione angolare , sono note le accelerazioni lineari $a_1$ ed $a_2$ , e quindi , con le formule del moto uniformemente accelerato , la altre quantità richieste .
Tieni conto che un filo che si svolge da una puleggia era prima un arco di circonferenza.
Si calcolano poi facilmente le tensioni nei due fili .
Per quanto riguarda il caso in cui c’è una forza di attrito tra $m$ e piano , le cose procedono analogamente, tenendo conto però che la forza di attrito , pensata applicata sul filo 1 , aggiunge un momento esterno , di verso contrario , al momento della massa M .
Cannolo , io non ho preso la macchinetta e fatto alcun conto…
Adesso mi prendo un lisciabusso da qualche moderatore , perchè ti ho scodellato l'uovo troppo in fretta ...
Non occorrono lisciabussi né buffettoni (come si dice qui a Bari, avrai sentito termini simili nella tua permanenza qui! 
). Cannolo è un nuovo utente ed evidentemente non ha ancora chiaro il funzionamento di questo forum. La nostra comunità scoraggia il ricorso al forum come ad un risolutore di esercizi; qui cerchiamo di stimolare la partecipazione attiva alle discussioni, in modo che esse rappresentino un momento di crescita per chi chiede, per chi risponde e anche per chi si trova a consultare in un secondo momento. E' questo lo "spirito del forum" a cui faceva riferimento il nostro navigatore.
). Cannolo è un nuovo utente ed evidentemente non ha ancora chiaro il funzionamento di questo forum. La nostra comunità scoraggia il ricorso al forum come ad un risolutore di esercizi; qui cerchiamo di stimolare la partecipazione attiva alle discussioni, in modo che esse rappresentino un momento di crescita per chi chiede, per chi risponde e anche per chi si trova a consultare in un secondo momento. E' questo lo "spirito del forum" a cui faceva riferimento il nostro navigatore.
Dissonance ,
si , conosco i "buffettoni" , anche se sono trapiantato al Nord da una vita....ma che ci vuoi fare , io sono di animo (troppo) buono , se vedo uno in difficoltà non posso fare a meno di aiutarlo ...al massimo ....
Sta tranquillo, comunque , non succederà più . Sarò più duro , prima con me stesso ...
Spero che il nostro Cannolo abbia imparato come funziona, e per lo meno ci faccia vedere i conti che fa , e se ha capito questo esercizio...
si , conosco i "buffettoni" , anche se sono trapiantato al Nord da una vita....ma che ci vuoi fare , io sono di animo (troppo) buono , se vedo uno in difficoltà non posso fare a meno di aiutarlo ...al massimo ....
Sta tranquillo, comunque , non succederà più . Sarò più duro , prima con me stesso ...
Spero che il nostro Cannolo abbia imparato come funziona, e per lo meno ci faccia vedere i conti che fa , e se ha capito questo esercizio...
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo