Corpo lanciato con una certa velocità
Ciao ragazzi,propongo un esercizio tratto da un testo d'esame che ahimè non ho superato. Il testo è il seguente:
"Un corpo di massa $m$, lanciato con velocità $v_0$, scivola su una superficie orizzontale scabra con coefficiente d'attrito dinamico $m_d = 0.2$. Percorso un tratto $l_1 = 2m$, il corpo incontra un piano inclinato con uguale coefficiente d'attrito di lunghezza $l_2 = 3m$ e pendenza $\theta = 30°$. Il corpo sale fino alla sommità del piano inclinato dove arriva con velocità nulla. Si determini:
$a)$ il valore del modulo $v_0$ della velocità;
$b)$ il valore minimo del coefficiente di attrito statico del piano inclinato tale che il corpo non riscenda verso il basso;
$c)$ il tratto $l_3$ percorso dal corpo sul piano orizzontale prima di fermarsi se l'attrito statico non è sufficiente a tenere il corpo fermo."
[Risoluzione]
$a)$ Ho provato a svolgere nuovamente l'esercizio con le stesse considerazioni fatte al tempo, e i risultati per quanto mi ricordi dovrebbero essere simili a quelli che scrissi sul foglio. Perdonate la bruttezza del seguente schemino ma ho usato Paint e l'ho fatto in poco tempo:
Per risolvere l'esercizio ho spezzato il problema in due parti, una parte in cui si ha moto orizzontale con attrito e una parte in cui si ha moto su un piano inclinato in presenza di attrito.
Dal testo sappiamo che il corpo arriva alla sommità del piano inclinato con velocità nulla, per cui,avendo questa importante informazione, sono partito dal moto del corpo sul piano inclinato. Ho tracciato il diagramma di corpo libero e proiettato le forze lungo degli assi $x$ e $y$ tali che l'origine dell'asse coincida con il punto $A$ e le $x$ siano dirette verso destra. Così facendo ho trovato una accelerazione $a_2 = -6.60$ $m/s^2$ circa. A questo punto ho applicato la seguente relazione:
$v_B^2 = v_A^2 + 2a_2(s-s_0)$ con $s$ e $s_0$ rispettivamente ascisse della posizione finale e iniziale, ottenendo una
$v_A = 6.29$ $m/s$ circa imponendo $v_B = 0$, $s = l_1 + l_2 = 5$ $m$, $s_0 = l_1 = 2$ $m$.
Adesso mi sono concentrato sulla prima parte del problema, tracciando il diagramma di corpo libero e proiettando le forze in gioco (attrito, forza peso e reazione vincolare del piano orizzontale) su degli assi $x$ e $y$ disposti in modo che l'asse $x$ sia diretto verso destra e concorde al verso del moto. Ho trovato una accelerazione $a_1 = 1.96$ $m/s^2$ circa. Applico nuovamente la relazione usata sopra e ottengo:
$v_A^2 = v_0^2 + 2a_1(s-s_0)$ con $s = l_1 = 2$ $m$ e $s_0 = 0$ avendo supposto che il corpo parta dall'origine.
Così facendo trovo $v_0 = 6.89$ $m/s$ circa. Dite che può funzionare?
$b)$ Dallo studio delle equazioni sul piano inclinato si trova che il coefficiente di attrito statico $m_s = tan (30°) = 0.58$ circa.
$c)$ Lo sto svolgendo adesso ma è un pò tardi, se non dovessi arrivare a finirlo lo posterò domattina.
"Un corpo di massa $m$, lanciato con velocità $v_0$, scivola su una superficie orizzontale scabra con coefficiente d'attrito dinamico $m_d = 0.2$. Percorso un tratto $l_1 = 2m$, il corpo incontra un piano inclinato con uguale coefficiente d'attrito di lunghezza $l_2 = 3m$ e pendenza $\theta = 30°$. Il corpo sale fino alla sommità del piano inclinato dove arriva con velocità nulla. Si determini:
$a)$ il valore del modulo $v_0$ della velocità;
$b)$ il valore minimo del coefficiente di attrito statico del piano inclinato tale che il corpo non riscenda verso il basso;
$c)$ il tratto $l_3$ percorso dal corpo sul piano orizzontale prima di fermarsi se l'attrito statico non è sufficiente a tenere il corpo fermo."
[Risoluzione]
$a)$ Ho provato a svolgere nuovamente l'esercizio con le stesse considerazioni fatte al tempo, e i risultati per quanto mi ricordi dovrebbero essere simili a quelli che scrissi sul foglio. Perdonate la bruttezza del seguente schemino ma ho usato Paint e l'ho fatto in poco tempo:
Per risolvere l'esercizio ho spezzato il problema in due parti, una parte in cui si ha moto orizzontale con attrito e una parte in cui si ha moto su un piano inclinato in presenza di attrito.
Dal testo sappiamo che il corpo arriva alla sommità del piano inclinato con velocità nulla, per cui,avendo questa importante informazione, sono partito dal moto del corpo sul piano inclinato. Ho tracciato il diagramma di corpo libero e proiettato le forze lungo degli assi $x$ e $y$ tali che l'origine dell'asse coincida con il punto $A$ e le $x$ siano dirette verso destra. Così facendo ho trovato una accelerazione $a_2 = -6.60$ $m/s^2$ circa. A questo punto ho applicato la seguente relazione:
$v_B^2 = v_A^2 + 2a_2(s-s_0)$ con $s$ e $s_0$ rispettivamente ascisse della posizione finale e iniziale, ottenendo una
$v_A = 6.29$ $m/s$ circa imponendo $v_B = 0$, $s = l_1 + l_2 = 5$ $m$, $s_0 = l_1 = 2$ $m$.
Adesso mi sono concentrato sulla prima parte del problema, tracciando il diagramma di corpo libero e proiettando le forze in gioco (attrito, forza peso e reazione vincolare del piano orizzontale) su degli assi $x$ e $y$ disposti in modo che l'asse $x$ sia diretto verso destra e concorde al verso del moto. Ho trovato una accelerazione $a_1 = 1.96$ $m/s^2$ circa. Applico nuovamente la relazione usata sopra e ottengo:
$v_A^2 = v_0^2 + 2a_1(s-s_0)$ con $s = l_1 = 2$ $m$ e $s_0 = 0$ avendo supposto che il corpo parta dall'origine.
Così facendo trovo $v_0 = 6.89$ $m/s$ circa. Dite che può funzionare?
$b)$ Dallo studio delle equazioni sul piano inclinato si trova che il coefficiente di attrito statico $m_s = tan (30°) = 0.58$ circa.
$c)$ Lo sto svolgendo adesso ma è un pò tardi, se non dovessi arrivare a finirlo lo posterò domattina.
Risposte
Non ho capito da dove salta fuori $a_2$. E anche altre cose; ma intanto potresti chiarire questo?
"mgrau":
Non ho capito da dove salta fuori $a_2$. E anche altre cose; ma intanto potresti chiarire questo?
Ho disegnato il corpo sul piano inclinato e ho tracciato le forze che agiscono sul corpo quando sta scivolando sul piano inclinato. Dalla seconda legge di Newton si ha \(\displaystyle \overrightarrow{N_2} + \overrightarrow{P} + \overrightarrow{A_2} = m \overrightarrow{a_2} \) da cui ho ottenuto il valore di $a_2$ proiettando le equazioni su un sistema di coordinate $Oxy$ tale che l'origine coincida con $A$,
dove $N_2$ è la reazione vincolare del piano inclinato, $P$ la forza peso del corpo e $A_2$ la forza di attrito che si esercita tra il corpo e il piano inclinato.
Giusto; mi ero confuso, mi pareva un risultato strano ($a_2$ troppo grande)
Quindi il valore $v_0$ del modulo della velocità che ho calcolato è giusto??
"MrEngineer":
Quindi il valore $v_0$ del modulo della velocità che ho calcolato è giusto??
Probabilmente sì... ma non farmi fare troppi calcoli
quindi sono stato rimandato per la "maledetta" termodinamica 
Il punto $b)$ è ok pure??
Il punto $b)$ è ok pure??
"MrEngineer":
Il punto $b)$ è ok pure??
b) è giusto(questo è facile...)
domani allora provo $c)$...
che beffa mannaggia.... se avessi trovato l'imbeccata giusta per termo a quest'ora avrei già dato la materia.
che beffa mannaggia.... se avessi trovato l'imbeccata giusta per termo a quest'ora avrei già dato la materia.
Buongiorno! Sto riflettendo sul punto $c)$. Come faccio a dire con certezza che l'attrito statico tra piano e corpo sia tale da impedire che il corpo si arresti? So soltanto che $m_s = 0.58$ e che $m_d = 0.2$ con ovviamente $m_d < m_s$. Questo punto va interpretato come "verifica se il corpo resti fermo e in caso contrario calcola lo spostamento in discesa" oppure come "supponi che il corpo non resti fermo e calcola lo spostamento del corpo in discesa" ?
EDIT:
Ho supposto valida la seconda affermazione e cercato di calcolare quanto richiesto. Con analoghe considerazioni fatte in precedenza, questa volta la componente lungo $x$ della forza peso "facilita" il moto essendo diretta nella direzione del moto e tramite legge di Newton, proiettando le forze lungo degli assi che abbiano origine nel punto $B$, ascisse dirette in direzione del moto e ordinate dirette verso l'alto, ho trovato una accelerazione $a_3 = 3.21$ $m/s$ circa. Il corpo dunque parte da fermo da $B$ e con accelerazione $a_3$ percorrerà un tratto pari a $l_2 = 3$ $m$ arrivando in $A$ (ovvero alla base del piano inclinato). Ho applicato nuovamente la relazione secondo cui
$v_A^2 = v_B^2 + 2a_3(3-0)$ e supponendo $v_B = 0$ ho trovato una velocità $v_A = 4.39$ $m/s$. A questo punto ho tracciato nuovamente il diagramma di corpo libero per il corpo sul piano orizzontale e proiettato lungo degli assi che abbiano la stessa direzione vista per il piano inclinato ritrovando nuovamente la stessa accelerazione $a_1$ che avevo calcolato, che ho chiamato $a_4$. Pertanto $a_4 = a_1 = -1.96$ $m/s^2$ (questo punto mi insospettisce un pò: una accelerazione negativa significa che il corpo sta frenando, no? E sta frenando al punto tale da passare bruscamente da $a_3$ ad $a_1$ ??).
Comunque, dalle equazioni del moto rettilineo ad accelerazione costante abbiamo:
$ { ( a = a_0 ),( v = v_0 + a_0t ),( s = s_0 + v_0t + 1/2 a_0 t^2 ):} $
Imponendo nella seconda equazione $v = 0$ perchè il testo dice "... prima di fermarsi" e supponendo che $v_0 = v_A$ e che $a_0 = a_4$ in precedenza calcolati, ho trovato un tempo $t = 2.24$ $s$ circa.
Alla fine ho imposto nella terza equazione che:
$s = 3 + v_At + 1/2 a_4 t^2 = 7.92$ $m$ circa, dove $3$ sono i metri corrispondenti al punto $x = A$ che il corpo ha percorso scivolando lungo il piano.
Questo punto $c)$ mi sembra un pò macchinosetto, aspetto una vostra conferma
EDIT:
Ho supposto valida la seconda affermazione e cercato di calcolare quanto richiesto. Con analoghe considerazioni fatte in precedenza, questa volta la componente lungo $x$ della forza peso "facilita" il moto essendo diretta nella direzione del moto e tramite legge di Newton, proiettando le forze lungo degli assi che abbiano origine nel punto $B$, ascisse dirette in direzione del moto e ordinate dirette verso l'alto, ho trovato una accelerazione $a_3 = 3.21$ $m/s$ circa. Il corpo dunque parte da fermo da $B$ e con accelerazione $a_3$ percorrerà un tratto pari a $l_2 = 3$ $m$ arrivando in $A$ (ovvero alla base del piano inclinato). Ho applicato nuovamente la relazione secondo cui
$v_A^2 = v_B^2 + 2a_3(3-0)$ e supponendo $v_B = 0$ ho trovato una velocità $v_A = 4.39$ $m/s$. A questo punto ho tracciato nuovamente il diagramma di corpo libero per il corpo sul piano orizzontale e proiettato lungo degli assi che abbiano la stessa direzione vista per il piano inclinato ritrovando nuovamente la stessa accelerazione $a_1$ che avevo calcolato, che ho chiamato $a_4$. Pertanto $a_4 = a_1 = -1.96$ $m/s^2$ (questo punto mi insospettisce un pò: una accelerazione negativa significa che il corpo sta frenando, no? E sta frenando al punto tale da passare bruscamente da $a_3$ ad $a_1$ ??).
Comunque, dalle equazioni del moto rettilineo ad accelerazione costante abbiamo:
$ { ( a = a_0 ),( v = v_0 + a_0t ),( s = s_0 + v_0t + 1/2 a_0 t^2 ):} $
Imponendo nella seconda equazione $v = 0$ perchè il testo dice "... prima di fermarsi" e supponendo che $v_0 = v_A$ e che $a_0 = a_4$ in precedenza calcolati, ho trovato un tempo $t = 2.24$ $s$ circa.
Alla fine ho imposto nella terza equazione che:
$s = 3 + v_At + 1/2 a_4 t^2 = 7.92$ $m$ circa, dove $3$ sono i metri corrispondenti al punto $x = A$ che il corpo ha percorso scivolando lungo il piano.
Questo punto $c)$ mi sembra un pò macchinosetto, aspetto una vostra conferma
"MrEngineer":
Buongiorno! Sto riflettendo sul punto $c)$. Come faccio a dire con certezza che l'attrito statico tra piano e corpo sia tale da impedire che il corpo si arresti? So soltanto che $m_s = 0.58$ e che $m_d = 0.2$ con ovviamente $m_d < m_s$. Questo punto va interpretato come "verifica se il corpo resti fermo e in caso contrario calcola lo spostamento in discesa" oppure come "supponi che il corpo non resti fermo e calcola lo spostamento del corpo in discesa" ?
Io interpreterei il testo nel senso: "supposto che $mu_s < 0.58$ trova $l_3$", che mi sembra un problema ben definito.
Ho visto adesso la tua risposta perchè inserita in una nuova pagina e non mi ero accorto. Allora in quel caso ho supposto bene. All'ultimo post della pagina precedente ho inserito tutta la mia soluzione!
Mi sembra in effetti un po' macchinoso (ma il risultato mi torna per la velocita' ma non per la lunghezza quando scende.
a) si risolve con una equazione del tipo $v_f^2-v_i^2=2aDeltas$. Nel tuo caso:
$0-v_0^2=2*[-mu_dg*l_1-mu_dgcosalpha*l_2-gsinalpha*l_2]$ da cui segue $v_0$ immediatamente.
Per il punto b) ok, ma non e' un segno di uguale bensi $mu>0.58$
Nell'ipotesi che $mu<0.58$ il corpo ricomincia a scivolare. vale di nuovo $v_f^2-v_i^2=2aDeltas$, che in questo caso si scrive
$0-0=2*(gsintheta*l_2-mu_dgcostheta*l_2-mu_dg*l_1]$ da cui $l_1$
a) si risolve con una equazione del tipo $v_f^2-v_i^2=2aDeltas$. Nel tuo caso:
$0-v_0^2=2*[-mu_dg*l_1-mu_dgcosalpha*l_2-gsinalpha*l_2]$ da cui segue $v_0$ immediatamente.
Per il punto b) ok, ma non e' un segno di uguale bensi $mu>0.58$
Nell'ipotesi che $mu<0.58$ il corpo ricomincia a scivolare. vale di nuovo $v_f^2-v_i^2=2aDeltas$, che in questo caso si scrive
$0-0=2*(gsintheta*l_2-mu_dgcostheta*l_2-mu_dg*l_1]$ da cui $l_1$
Quindi i conti tornano tutti tranne al punto $c)$ per la lunghezza $l_3$ ? (che tu hai chiamato $l_1$)
Domani provo a vedere per eventuali errori di calcolo.
Domani provo a vedere per eventuali errori di calcolo.
@professorkappa
Non vorrei sbagliare ma credo che i calcoli siano quasi identici. Correggimi se sbaglio ma ricavando $l_1$ dalla relazione che mi hai fornito mi viene fuori circa $4.91$ $m$. Se tu calcoli quanto da me fatto viene fuori una lunghezza percorsa $s$ pari a $7.91$ $m$. Ma così facendo io credo di aver calcolato tutta la distanza percorsa dal corpo, a partire dal piano inclinato fino al piano orizzontale. Dato che il punto $x = A$ vale $3$ metri, per sapere la distanza percorsa solo sul tratto orizzontale basta togliere i $3$ metri alla $s$ ottenendo appunto $4.91$ $m$. Tu che dici??
E' vero però che se non fosse stato per te avrei sbagliato un punto così semplice solo per non aver prestato attenzione a quanto avevo impostato. Grazie!
Non vorrei sbagliare ma credo che i calcoli siano quasi identici. Correggimi se sbaglio ma ricavando $l_1$ dalla relazione che mi hai fornito mi viene fuori circa $4.91$ $m$. Se tu calcoli quanto da me fatto viene fuori una lunghezza percorsa $s$ pari a $7.91$ $m$. Ma così facendo io credo di aver calcolato tutta la distanza percorsa dal corpo, a partire dal piano inclinato fino al piano orizzontale. Dato che il punto $x = A$ vale $3$ metri, per sapere la distanza percorsa solo sul tratto orizzontale basta togliere i $3$ metri alla $s$ ottenendo appunto $4.91$ $m$. Tu che dici??
E' vero però che se non fosse stato per te avrei sbagliato un punto così semplice solo per non aver prestato attenzione a quanto avevo impostato. Grazie!
"MrEngineer":
Alla fine ho imposto nella terza equazione che:
$s = 3 + v_At + 1/2 a_4 t^2 = 7.92$ $m$ circa, dove $3$ sono i metri corrispondenti al punto $x = A$ che il corpo ha percorso scivolando lungo il piano.
Si, vedo che li aggiungi qui, mi era sfuggito.
Perfetto l'importante che i calcoli fossero comunque giusti. Ti ringrazio per la conferma
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