Corpo attaccato a due funi.

[turtle87crociato]

Osservavo, da profano, un "esperimento" su internet (non faccio nomi, ma credo che qualcuno possa capire di cosa stia parlando ): vi è un corpo di massa $m$ collegato a due fili , che la "tirano" da sopra e da sotto (indicherò la tensione della corda in alto con $T_1$). Il corpo è immobile.

All'inizio, per la precisione, il filo collegato alla massa dal basso non esercita alcuna forza sulla massa, o meglio esercita una forza trascurabile che può essere approssimata a $0$ . Di conseguenza, si avrà:

$ - mg + T_1 = 0 $, da cui, banalmente, $T_1 = mg$;

Se, invece, comincio a tirare quello in basso, indicando con $F$ la forza con cui tiro, si avrà che:

$ - mg + T_1 - F = 0$, da cui $ T_1 = mg + F$.

Si prevede di determinare quale dei due fili si rompa per primo iniziando, appunto, a tirare quello in basso.
A questo punto, l'esperimento ha due esiti:

1) se tiro con forza il filo in basso, si spezza prima quello in basso;
2) se invece lo tiro con minore intensità, dopo un po' di tempo trascorso nel tirarlo, si spezza prima quello in alto.

Ho provato a cercare di dare una spiegazione alle due esperienze, una giustificazione teorica, ma sono arrivato solo a conclusioni goffe.

Qualcuno sa aiutarmi a comprendere?

[Falco5x]

Per analizzare il problema è utile immaginare il corpo attaccato a due funi elastiche.
Quando la fune attaccata sotto non tira il corpo, supponiamo che il corpo stia nella posizione di equilibrio y=0 (y orientata verso il basso).
In tali condizioni la fune superiore è soggetta a una tensione:
$$\eqalign{
& {T_1} = - k\left( {y + d} \right) \cr
& d = \frac{{mg}}
{k} \cr
& {T_1} = - ky - mg \cr} $$
dove k è il modulo elastico della fune e d è lo spostamento che equilibra il peso del corpo.
Supponiamo adesso di applicare improvvisamente una forza F costante diretta verso il basso alla fune inferiore e studiamo l'equazione differenziale che determina il moto del corpo:
$$\eqalign{
& m\ddot y = {T_1} + {T_2} + mg \cr
& {T_1} = - ky - mg \cr
& {T_2} = F \cr
& \ddot y = - \frac{k}
{m}y + \frac{F}
{m} \cr
& y = \frac{F}
{k}{\text{ soluzione particolare}} \cr
& y = A\cos \left( {\omega t + \varphi } \right) + \frac{F}
{k} \cr
& \dot y = - A\omega \sin \left( {\omega t + \varphi } \right) \cr
& \ddot y = - A{\omega ^2}\cos \left( {\omega t + \varphi } \right) = - \frac{k}
{m}A\cos \left( {\omega t + \varphi } \right) - \frac{F}
{m} + \frac{F}
{m} \cr
& \omega = \sqrt {\frac{k}
{m}} \cr
& \dot y\left( 0 \right) = 0 \cr
& \varphi = 0 \cr
& y\left( 0 \right) = 0 \cr
& A = - \frac{F}
{k} \cr
& y = \frac{F}
{k}\left[ {1 - \cos \left( {\sqrt {\frac{k}
{m}} t} \right)} \right] \cr} $$


Adesso vediamo l'andamento delle tensioni delle due funi:
$$\eqalign{
& {T_1} = - ky - mg = - F\left[ {1 - \cos \left( {\sqrt {\frac{k}
{m}} t} \right)} \right] - mg \cr
& {T_2} = F \cr} $$
Vediamo cosa succede in due istanti particolari, cioè l'istante t=0 e l'istante dove invece la tensione della fune superiore è massima:
$$\eqalign{
& {T_1}\left( 0 \right) = - mg \cr
& {T_2}\left( 0 \right) = F \cr
& {T_1}\left( {\frac{\pi }
{2}\sqrt {\frac{m}
{k}} } \right) = - \left( {F + mg} \right) \cr
& {T_2}\left( {\frac{\pi }
{2}\sqrt {\frac{m}
{k}} } \right) = F \cr} $$
Come si vede all'istante iniziale la tensione della fune superiore è sempre mg, indipendente da F, mentre la tensione della fune inferiore è F.
Pertanto se F è maggiore del carico di rottura delle funi, e se mg è inferiore al carico di rottura, solo quella inferiore si rompe. Se invece il carico di rottura è compreso tra F e F+mg, allora la fune inferire resiste e invece la fune superiore si rompe prima di arrivare alla tensione massima calcolata che è appunto F+mg.