Corpo appeso ad una molla urtato
Ciao a tutti. Ho delle difficoltà a trovare la risposta all'ultimo quesito del problema. I primi quattro punti sono riuscito a trovarli senza problemi. Solo il quinto mi manda in confusione.
Da come l'ho interpretato io nell'ultimo punto del problema mi dice che:
quando i due corpi che oscillano sono nel loro punto più alto (energia cinetica $K=0 J $) la molla è alla lunghezza che assume quando è a riposo.
Nel primo punto avendo calcolato che l'allungamento della molla quando il corpo M è attaccato, prima dell'impatto, $x$ vale $x= \frac{Mg}{k}$ io so che la molla percorre questo spazio $x$ prima che la sua energia cinetica $K$ si trasformi in energia potenziale. Visto che l'energia si conserva nel sistema l'energia cinetica della pallina $m$, dovrebbe essere uguale all'energia potenziale della molla quando i due corpi attaccati sono nel punto maggiore. Solo che usando la formula $U= \frac{1}{2}kx^2$ e sostituendo la $x$ con quella trovata al punto 1 mi viene $U=\frac{M^2 g^2}{2k}$ che è ben lontana da tutti i risultati. Dove sto sbagliando?
Da come l'ho interpretato io nell'ultimo punto del problema mi dice che:
quando i due corpi che oscillano sono nel loro punto più alto (energia cinetica $K=0 J $) la molla è alla lunghezza che assume quando è a riposo.
Nel primo punto avendo calcolato che l'allungamento della molla quando il corpo M è attaccato, prima dell'impatto, $x$ vale $x= \frac{Mg}{k}$ io so che la molla percorre questo spazio $x$ prima che la sua energia cinetica $K$ si trasformi in energia potenziale. Visto che l'energia si conserva nel sistema l'energia cinetica della pallina $m$, dovrebbe essere uguale all'energia potenziale della molla quando i due corpi attaccati sono nel punto maggiore. Solo che usando la formula $U= \frac{1}{2}kx^2$ e sostituendo la $x$ con quella trovata al punto 1 mi viene $U=\frac{M^2 g^2}{2k}$ che è ben lontana da tutti i risultati. Dove sto sbagliando?
Risposte
Non sei molto chiaro.
I 2 corpi attaccati partono con En. cin. incognita $1/2(M+m)v_i^2$ e sono a energia potenziale nulla se prendiamo un opportuno livello zero potenziale gravitazionale (quello orizzontale passante per la massa M appesa a riposo).
La molla in quell'istante ha energia potenziale $1/2k(Mg/k)^2=1/2(Mg)^2/k$.
Nella configurazione finale la molla ha en. potenziale nulla; l'en potenziale gravitazionale e' $(M+m)gMg/k=(M+m)g^2M/k$ e l'en. cin. e' nulla. Quindi puoi scrivere:
$1/2(M+m)v_i^2+1/2(Mg)^2/k=(M+m)g^2M/k$
Da qui ricavi $v_i$.
Tra l'istante precedente e successivo all impatto si consserva la qdm, quindi vale la relazione $mv=(M+m)v_i$ e cioe'
$v=[(M+m)/m]v_i$
Metti il $v_i$ ricavato sopra in questa ultima equazione, elevi al quadrato e moltiplichi per $1/2m$ e trovi l'en.cin. della massetta prima dell'impatto. i calcoli li lascio a te perche e' tardi per me!!!
I 2 corpi attaccati partono con En. cin. incognita $1/2(M+m)v_i^2$ e sono a energia potenziale nulla se prendiamo un opportuno livello zero potenziale gravitazionale (quello orizzontale passante per la massa M appesa a riposo).
La molla in quell'istante ha energia potenziale $1/2k(Mg/k)^2=1/2(Mg)^2/k$.
Nella configurazione finale la molla ha en. potenziale nulla; l'en potenziale gravitazionale e' $(M+m)gMg/k=(M+m)g^2M/k$ e l'en. cin. e' nulla. Quindi puoi scrivere:
$1/2(M+m)v_i^2+1/2(Mg)^2/k=(M+m)g^2M/k$
Da qui ricavi $v_i$.
Tra l'istante precedente e successivo all impatto si consserva la qdm, quindi vale la relazione $mv=(M+m)v_i$ e cioe'
$v=[(M+m)/m]v_i$
Metti il $v_i$ ricavato sopra in questa ultima equazione, elevi al quadrato e moltiplichi per $1/2m$ e trovi l'en.cin. della massetta prima dell'impatto. i calcoli li lascio a te perche e' tardi per me!!!
"professorkappa":
Non sei molto chiaro.
I 2 corpi attaccati partono con En. cin. incognita $1/2(M+m)v_i^2$ e sono a energia potenziale nulla se prendiamo un opportuno livello zero potenziale gravitazionale (quello orizzontale passante per la massa M appesa a riposo).
Non capisco questo primo punto. Se il corpo attaccato alla molla è a riposo e la sua energia potenziale è zero perché abbiamo posto come $c=0$ a quell'altezza, l'energia cinetica iniziale dei due corpi non è uguale a quella della pallina quando impatta?
L'energia potenziale del sistema massa-molla e' di 2 tipi: uno tipo e' gravitazionale (e quella la poniamo noi arbitrariamente pari a zero scegliendo lo zero pot. grav. in corrispondenza della superficie di livello passante per il baricentro del corpo) e il secondo tipo e' elastico. La molla, quando il sistema e' a riposo, non e' scarica, quindi ha energia elastica incamerata. La quale energia e' $1/2kdelta^2$, con $delta$ propiro quello che tu chiami $x=[Mg}/k$, e' cioe' l'allungamento iniziale del sistema quando la massa M e' ferma, immediatamente prima dell'impatto della massa m
"professorkappa":
L'energia potenziale del sistema massa-molla e' di 2 tipi: uno tipo e' gravitazionale (e quella la poniamo noi arbitrariamente pari a zero scegliendo lo zero pot. grav. in corrispondenza della superficie di livello passante per il baricentro del corpo) e il secondo tipo e' elastico. La molla, quando il sistema e' a riposo, non e' scarica, quindi ha energia elastica incamerata. La quale energia e' $1/2kdelta^2$, con $delta$ propiro quello che tu chiami $x=[Mg}/k$, e' cioe' l'allungamento iniziale del sistema quando la massa M e' ferma, immediatamente prima dell'impatto della massa m
Ok mi torna tutto però io mi riferivo soprattutto all'energia cinetica. Prima dell'impatto ha energia potenziale elastica $1/2kdelta^2$, cinetica 0 e anche energia potenziale gravitazionale 0.
Subito dopo l'impatto oltre all'energia potenziale gravitazionale, ha anche l'energia cinetica trasferita dalla pallina $1/2mv^2$
e quindi la situazione subito dopo l'impatto è
$1/2(m)v^2+1/2kdelta^2$ e non capisco perché tu la indichi come $1/2(M+m)v_i^2+1/2kdelta^2$
Dove sto sbagliando?
Stai sbagliando nel pensare che l'energia cinetica si trasferisce. Si perde in parte nell'urto che e' anelastico.
Quindi dividi la situazione prima e dopo l'urto. Tu conosci le condizioni finali di arrivo della massa M+m: l'energia cinetica e' nulla. L'energia elastica e' nulla. L'energia potenziale, rispetto all condizione di riposo, e $(M+m)gdelta$.
Questa energia si conserva, se andiamo a ritroso nel tempo, solo fino all'istante immediatamente SUCCESSIVO all'urto. Un istante ulteriore indietro nel tempo, prima dell'urto, l'energia cinetica era maggiore. Se indichi con $v_i$ l'istante con cui la massa M+m parte dopo l'urto, in virtu' di quanto detto puoi scrivere le equazioni che ti permettono di ricavare $v_i$.
Ma $v_i$ e' legata alla v della massa m tramite la conservazione della qdm. Sositutisci per elminare $v_i$ e ti viene la risposta
Quindi dividi la situazione prima e dopo l'urto. Tu conosci le condizioni finali di arrivo della massa M+m: l'energia cinetica e' nulla. L'energia elastica e' nulla. L'energia potenziale, rispetto all condizione di riposo, e $(M+m)gdelta$.
Questa energia si conserva, se andiamo a ritroso nel tempo, solo fino all'istante immediatamente SUCCESSIVO all'urto. Un istante ulteriore indietro nel tempo, prima dell'urto, l'energia cinetica era maggiore. Se indichi con $v_i$ l'istante con cui la massa M+m parte dopo l'urto, in virtu' di quanto detto puoi scrivere le equazioni che ti permettono di ricavare $v_i$.
Ma $v_i$ e' legata alla v della massa m tramite la conservazione della qdm. Sositutisci per elminare $v_i$ e ti viene la risposta
"professorkappa":
Stai sbagliando nel pensare che l'energia cinetica si trasferisce. Si perde in parte nell'urto che e' anelastico.
Quindi dividi la situazione prima e dopo l'urto. Tu conosci le condizioni finali di arrivo della massa M+m: l'energia cinetica e' nulla. L'energia elastica e' nulla. L'energia potenziale, rispetto all condizione di riposo, e $(M+m)gdelta$.
Questa energia si conserva, se andiamo a ritroso nel tempo, solo fino all'istante immediatamente SUCCESSIVO all'urto. Un istante ulteriore indietro nel tempo, prima dell'urto, l'energia cinetica era maggiore. Se indichi con $v_i$ l'istante con cui la massa M+m parte dopo l'urto, in virtu' di quanto detto puoi scrivere le equazioni che ti permettono di ricavare $v_i$.
Ma $v_i$ e' legata alla v della massa m tramite la conservazione della qdm. Sositutisci per elminare $v_i$ e ti viene la risposta
Adesso capisco, stavo facendo un errore grossolano all'inizio del ragionamento. Adesso mi sono anche accorto che nel punto 3) avevo considerato correttamente l'energia cinetica solo che poi nell'ultimo punto mi sono incartato un attimo. Grazie dell'aiuto.
Prego. Ho riguardato l'esercizio che avevo ignorato nei 3 punti precedenti perche tu chiedevi lumi sul (5).
Il punto 3 ti chiede proprio la perdita di energia cinetica prima e dopo l'urto. Quindi una via piu' veloce, sfruttando la risposta (3) puo' essere quella di sommare proprio la perdita trovata in (3), all'energia che hai alla fine del processo per ottenere la stessa risposta. Per la cronaca, a meno di errori di calcolo, la risposta al quesito 4 dovrebbe essere (f)
Il punto 3 ti chiede proprio la perdita di energia cinetica prima e dopo l'urto. Quindi una via piu' veloce, sfruttando la risposta (3) puo' essere quella di sommare proprio la perdita trovata in (3), all'energia che hai alla fine del processo per ottenere la stessa risposta. Per la cronaca, a meno di errori di calcolo, la risposta al quesito 4 dovrebbe essere (f)
Ma quindi al punto 5 mi chiede solamente un modo alternativo per esprimere l'energia cinetica della pallina giusto? Perché potrei tranquillamente scrivere $K=1/2mv^2$ fin dall'inizio.
"TheBarbarios":
Ma quindi al punto 5 mi chiede solamente un modo alternativo per esprimere l'energia cinetica della pallina giusto? Perché potrei tranquillamente scrivere $K=1/2mv^2$ fin dall'inizio.
E certo che puoi scrivere $K=1/2mv^2$. Peccato che non conosci $v$!
Ti chiede per quale K (ovvero, per quale valore di v), l'oscillazione e' tale da far si' che la massa oscillante M+m raggiunga con velocita' nulla il punto in cui la molla e' nelle condizioni di riposo.
La risposta e (f)
"professorkappa":
[quote="TheBarbarios"]Ma quindi al punto 5 mi chiede solamente un modo alternativo per esprimere l'energia cinetica della pallina giusto? Perché potrei tranquillamente scrivere $K=1/2mv^2$ fin dall'inizio.
E certo che puoi scrivere $K=1/2mv^2$. Peccato che non conosci $v$!
Ti chiede per quale K (ovvero, per quale valore di v), l'oscillazione e' tale da far si' che la massa oscillante M+m raggiunga con velocita' nulla il punto in cui la molla e' nelle condizioni di riposo.
La risposta e (f)[/quote]
AH, ecco, ora ho capito lo scopo della domanda. Grazie dell'aiuto. Appena ho 10 minuti di tempo mi metto lì e provo a farmi i calcoli. Se non riesco, chiederò ancora
Grazie dell'aiuto!
Siamo qua.
"professorkappa":
Prego. Ho riguardato l'esercizio che avevo ignorato nei 3 punti precedenti perche tu chiedevi lumi sul (5).
Il punto 3 ti chiede proprio la perdita di energia cinetica prima e dopo l'urto. Quindi una via piu' veloce, sfruttando la risposta (3) puo' essere quella di sommare proprio la perdita trovata in (3), all'energia che hai alla fine del processo per ottenere la stessa risposta. Per la cronaca, a meno di errori di calcolo, la risposta al quesito 4 dovrebbe essere (f)
Non capisco come fare i calcoli usando la relazione della risposta (3).
Perdita di energia durante urto:
$DeltaE=-[Mm]/[2(M+m)]v^2$
Energia totale prima dell' urto: $E_1=1/2mv^2$
Energia totale a fine corsa $E_2=(M+m)g*[Mg]/k$
Vale $E_2-E_1=DeltaE$
$(M+m)g*[Mg]/k-1/2mv^2=-[Mm]/[2(M+m)]v^2$
da cui $1/2mv^2[1-[M]/[(M+m)]]=(M+m)g*[Mg]/k$
quindi: $1/2mv^2= [M(M+m)^2g^2]/[km]$
che e' la (a) e non la (f). Devo aver fatto qualche errore nei calcoli precedenti, ma non ho piu' gli appunti
$DeltaE=-[Mm]/[2(M+m)]v^2$
Energia totale prima dell' urto: $E_1=1/2mv^2$
Energia totale a fine corsa $E_2=(M+m)g*[Mg]/k$
Vale $E_2-E_1=DeltaE$
$(M+m)g*[Mg]/k-1/2mv^2=-[Mm]/[2(M+m)]v^2$
da cui $1/2mv^2[1-[M]/[(M+m)]]=(M+m)g*[Mg]/k$
quindi: $1/2mv^2= [M(M+m)^2g^2]/[km]$
che e' la (a) e non la (f). Devo aver fatto qualche errore nei calcoli precedenti, ma non ho piu' gli appunti
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