Corpo appeso ad una molla
Salve a tutti, complementi per i risultati della gara =).
NOTA: Questo esercizio non è stato preso da alcun libro di testo, mi sto facendo delle domande che calzano a pennello con questo esempio e quindi potrebbero esserci degli errori concettuali in mezzo.
Ho il seguente dubbio, abbiamo un corpo di massa $m$ appeso (come un lampadario) ad una molla di massa trascurabile fissata al soffitto, molla (che segue la legge di Hooke) di costante elastica di $k$. Il corpo appeso alla molla la deforma di un tratto $d$.
1)Quanto vale questa distanza?
Quando il corpo è appeso e la molla è deformata il corpo risulterà in equilibrio statico, da cui dovremo avere (dai diagrammi di corpo libero che ometto) $F_m-F_g=0$ segue $F_m=F_g$ segue $kx=mg$ da cui la distanza dal punto di equilibrio e quindi la deformazione della molla è $x=(mg)/k$. Bene.
Proviamo ora ad ottenere lo stesso risultato con delle considerazioni energetiche supponendo che il corpo parta in stato di quiete dalla posizione in cui l' energia potenziale elastica della molla è nulla (la posizione di equilibrio/riposo della molla).
Voglio ottenere la deformazione della molla su considerazione energetiche, partendo da uno stato iniziale in cui vi è solo energia potenziale gravitazione per arrivare ad uno stato finale in cui vi sarà solo energia potenziale elastica. Prima domanda, posso ottenere questi risultati procedendo in questo modo? supponiamo che io possa farlo allora considerando il sistema blocco/molla/terra esso sarà un sistema isolato e deve valere il principio di conservazione dell' energia meccanica quindi
$\DeltaE_m=\DeltaK+\DeltaU=0$
Nel nostro caso avremo sia energia potenziale elastica che gravitazionale.
$\DeltaK+\DeltaU_g+\DeltaU_m=0$
Adesso $\DeltaK=0$ perché pariamo da uno stato di quiete ed arriviamo in stato di quiete.
$\DeltaU_g=-mgh$ poiché l' energia potenziale della posizione finale la considero come zero (il punto in cui raggiunge l' equilibrio).
$\DeltaU_m=1/2kx_f^2$ poiché nella posizione iniziale non avevamo energia potenziale elastica.
Ora da come ho impostato il sistema il tratto $h$ coincide con la deformazione $x$ per cui si ha
$1/2kx_f^2-mgh=0$ da questo e per quanto scritto sopra segue che
$x_f=(2mg)/k$ che è il doppio di quanto abbiamo ottenuto SENZA usare le considerazioni energetiche...
Quanti milioni di errori ci sono in questo ragionamento? Aspetto un aiuto da parte vostra per capire in cosa sbaglio.
Sinceramente credo che l' errore sia nell' impostare il $\DeltaK=0$ ma parto da una posizione di quiete e considero come punto finale il punto in cui la molla ha assorbito tutta l' energia potenziale gravitazionale per cui... Help =)
Fatemi sapere se non sono stato chiaro in alcune parti. Grazie in anticipo a chiunque risponderà.
NOTA: Questo esercizio non è stato preso da alcun libro di testo, mi sto facendo delle domande che calzano a pennello con questo esempio e quindi potrebbero esserci degli errori concettuali in mezzo.
Ho il seguente dubbio, abbiamo un corpo di massa $m$ appeso (come un lampadario) ad una molla di massa trascurabile fissata al soffitto, molla (che segue la legge di Hooke) di costante elastica di $k$. Il corpo appeso alla molla la deforma di un tratto $d$.
1)Quanto vale questa distanza?
Quando il corpo è appeso e la molla è deformata il corpo risulterà in equilibrio statico, da cui dovremo avere (dai diagrammi di corpo libero che ometto) $F_m-F_g=0$ segue $F_m=F_g$ segue $kx=mg$ da cui la distanza dal punto di equilibrio e quindi la deformazione della molla è $x=(mg)/k$. Bene.
Proviamo ora ad ottenere lo stesso risultato con delle considerazioni energetiche supponendo che il corpo parta in stato di quiete dalla posizione in cui l' energia potenziale elastica della molla è nulla (la posizione di equilibrio/riposo della molla).
Voglio ottenere la deformazione della molla su considerazione energetiche, partendo da uno stato iniziale in cui vi è solo energia potenziale gravitazione per arrivare ad uno stato finale in cui vi sarà solo energia potenziale elastica. Prima domanda, posso ottenere questi risultati procedendo in questo modo? supponiamo che io possa farlo allora considerando il sistema blocco/molla/terra esso sarà un sistema isolato e deve valere il principio di conservazione dell' energia meccanica quindi
$\DeltaE_m=\DeltaK+\DeltaU=0$
Nel nostro caso avremo sia energia potenziale elastica che gravitazionale.
$\DeltaK+\DeltaU_g+\DeltaU_m=0$
Adesso $\DeltaK=0$ perché pariamo da uno stato di quiete ed arriviamo in stato di quiete.
$\DeltaU_g=-mgh$ poiché l' energia potenziale della posizione finale la considero come zero (il punto in cui raggiunge l' equilibrio).
$\DeltaU_m=1/2kx_f^2$ poiché nella posizione iniziale non avevamo energia potenziale elastica.
Ora da come ho impostato il sistema il tratto $h$ coincide con la deformazione $x$ per cui si ha
$1/2kx_f^2-mgh=0$ da questo e per quanto scritto sopra segue che
$x_f=(2mg)/k$ che è il doppio di quanto abbiamo ottenuto SENZA usare le considerazioni energetiche...
Quanti milioni di errori ci sono in questo ragionamento? Aspetto un aiuto da parte vostra per capire in cosa sbaglio.
Sinceramente credo che l' errore sia nell' impostare il $\DeltaK=0$ ma parto da una posizione di quiete e considero come punto finale il punto in cui la molla ha assorbito tutta l' energia potenziale gravitazionale per cui... Help =)
Fatemi sapere se non sono stato chiaro in alcune parti. Grazie in anticipo a chiunque risponderà.
Risposte
Forse ho capito dov' è l' errore. Quando lascio cadere il corpo dallo stato di quiete esso supera la "nuova posizione di equilibrio" per arrivare in un punto in cui è vero che la sua energia cinetica sarà zero ma non è un punto di equilibrio, se considero gli istanti successivi il corpo verrà di nuovo tirato su dalla forza elastica.. Giusto? =)
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