Corpo accelerato in un piano inclinato mobile

[Liquid Science]

Un corpo di massa $m$ viene tenuto fermo su un piano, di massa $M$, inclinato di un angolo
$\theta$ rispetto
all’orizzontale. Il piano inclinato può scivolare sul pavimento. Sul sistema non agisce alcuna forza di attrito. Ad
un certo istante, il corpo m viene lasciato libero di muoversi. Calcolare l’accelerazione orizzontale $a_x$ 
del piano inclinato.

Ho risolto (o almeno ho cercato di risolvere) questo esercizio. Non so se il mio ragionamento è giusto e quindi mi appello al vostro aiuto nel caso fosse errato. Ho proseguito così:


1) La forza normale esercitata sul e dal corpo di massa $m$ non è uguale a $N=mg\cdot \cos (\theta)$ come potrebbe esserlo nel caso del piano fisso. Quindi $N$ non la conosco a priori.
2) La forza che fa accelerare il piano inclinato è $N_x$ quindi per la II legge di Newton risulta che $N_x=Ma_x$ ed essendo $N_x=N\cdot \sin (\theta)$ allora $N\cdot \sin (\theta)=Ma_x$. Quindi $a_x={N\cdot \sin (\theta)}/M$.
3) Per trovare $N$ applico Newton nel corpo $m$ ($\vec P +\vec N=m\vec {a_m}$) in direzione $x$ e $y$ e dove $\vec a_m $ ha direzione parallela al piano inclinato. Quindi :
\begin{cases} y : -mg+N\cos\theta=-ma_m\sin\theta\\
x: 0-N\sin\theta=-ma_m\cos\theta\end{cases}
4) Risolvo il sistema per $N$ ottenendo $N={mg}/{sin theta+ cos theta}$ e quindi ottengo $a_x={mg}/M{sin theta}/{sin theta+ cos theta}$

Non sono sicuro di come l'ho svolto, soprattutto perché non sono sicuro che $a_m$ abbia veramente quella direzione e perché la normale $N$ mi viene in questo caso maggiore del caso in cui il piano sia fisso... fatemi sapere

[mgrau]

Mi sembra più semplice utilizzare
- conservazione della componente orizzontale della quantità di moto
- conservazione dell'energia: energia cinetica della massa che scivola + quella del piano = variazione dell'energia potenziale della massa

[Shackle]

Nella figura seguente :

il cuneo, di massa $M$ , è disposto in modo da scivolare verso sinistra anziché verso destra, senza attrito sul piano orizzontale, con accelerazione $vecA$(vedere nota[nota]nel disegno è indicata con lettera minuscola $veca$[/nota] ).Ma non fa differenza.
Il blocchetto $P$ di massa $m$ scivola senza attrito sulla faccia inclinata del cuneo. Il cuneo funziona da riferimento di trascinamento, non inerziale, per il blocchetto, che quindi è sottoposto alla forza di trascinamento $vecF_t = -mvecA$.
Le forze agenti su $P$ , sia reali che apparenti, sono già riportate sul disegno; assumi gli assi $x,y$ risp. parallelo e normale alla faccia inclinata del cuneo, per il moto relativo di $m$.
Il blocchetto ha, rispetto al cuneo, accelerazione relativa : $veca_r$, che è tangente alla faccia inclinata del cuneo, quindi ha solo componente su tale faccia , e componente nulla in direzione normale.
Scrivi la 2º equazione della dinamica di P , in forma vettoriale, tenendo conto di tutte le forze agenti in tale riferimento, e poi proiettala sugli assi detti. Ottieni due equazioni scalari.
Scrivi poi la 2º equazione della dinamica per il cuneo che scivola sul piano orizzontale. In verità l'hai già scritta : $MA = Nsentheta$ (Qui basta un solo asse $X$ orizzontale orientato come il verso del moto del cuneo).

Le tre equazioni dette ti consentono di determinare sia $A$ che $a_r$ e $N$ .