Corpi Rigidi esercizio Facile
Buon pomeriggio a tutti! L'esercizio che vi propongo è abbastanza banale però necessito di comprenderlo bene a fondo poiché nutro dei dubbi, se qualcuno sarà così gentile da rispondermi:
Allora ho una sbarra di massa M e lunghezza L che è vincolata a ruotare attorno al centro, poi ho due dischi(a,b) di uguale massa m e raggio r alle estremità della sbarra, anch'essi liberi di ruotare attorno al proprio centro, con annessi due motorini, di massa e grandezza trascurabile. Il sistema è inizialmente a riposo successivamente il primo disco inizia a ruotare,grazie al proprio motorino, di velocità angolare ω(a) io devo trovare la velocità angolare del sistema Ω.
Risoluzione:
Uso la conservazione del momento angolare: $ L(a)+ L(b)+L(sistema)=0 $, quindi ho
$ I_{tot} Ω+I_a ω_a+I_b ω_b=0 $
dove ω(b) = 0, I_tot è il momento di inerzia totale pari a $ I_tot= I_{sbarra} + 2 I_(disco) + 2m (L/2)^2 $, Ω è la velocità angolare del sistema, I_a è il momento di inerzia del disco pari a$ (1/2) m r^2 $.
Quindi dalla conservazione del momento angolare esplicito Ω e me lo ricavo, è giusto il procedimento e il momento di inerzia totale? Grazie per l'attenzione e per il tempo dedicato... scusate per le formule!!
spero capiate
Allora ho una sbarra di massa M e lunghezza L che è vincolata a ruotare attorno al centro, poi ho due dischi(a,b) di uguale massa m e raggio r alle estremità della sbarra, anch'essi liberi di ruotare attorno al proprio centro, con annessi due motorini, di massa e grandezza trascurabile. Il sistema è inizialmente a riposo successivamente il primo disco inizia a ruotare,grazie al proprio motorino, di velocità angolare ω(a) io devo trovare la velocità angolare del sistema Ω.
Risoluzione:
Uso la conservazione del momento angolare: $ L(a)+ L(b)+L(sistema)=0 $, quindi ho
$ I_{tot} Ω+I_a ω_a+I_b ω_b=0 $
dove ω(b) = 0, I_tot è il momento di inerzia totale pari a $ I_tot= I_{sbarra} + 2 I_(disco) + 2m (L/2)^2 $, Ω è la velocità angolare del sistema, I_a è il momento di inerzia del disco pari a$ (1/2) m r^2 $.
Quindi dalla conservazione del momento angolare esplicito Ω e me lo ricavo, è giusto il procedimento e il momento di inerzia totale? Grazie per l'attenzione e per il tempo dedicato... scusate per le formule!!
spero capiate
Risposte
Nel caso in cui, per la presenza delle forze di attrito, la rotazione del primo disco si trasmetta prima alla sbarra, quindi al secondo disco:
$[1/2mr^2(d\omega_a)/(dt)=-|F_(sa)|r] rarr [|F_(sa)|=-1/2mr(d\omega_a)/(dt)]$
$[1/12ML^2(d\omega_s)/(dt)=-1/2|F_(as)|L+1/2|F_(bs)|L] rarr [1/12ML^2(d\omega_s)/(dt)=1/4mLr(d\omega_a)/(dt)+1/4mLr(d\omega_b)/(dt)]$
$[1/2mr^2(d\omega_b)/(dt)=|F_(sb)|r] rarr [|F_(sb)|=1/2mr(d\omega_b)/(dt)]$
In definitiva, integrando la relazione sottostante:
$[1/12ML^2(d\omega_s)/(dt)=1/4mLr(d\omega_a)/(dt)+1/4mLr(d\omega_b)/(dt)]$
tra l'istante iniziale e l'istante in cui le tre velocità angolari assumono il valore di regime:
$[bar(\omega)_ar=-1/2bar(\omega)_sL] ^^ [bar(\omega)_br=-1/2bar(\omega)_sL]$
si può ricavare l'equazione risolutiva:
$[1/12ML^2bar(\omega)_s=1/4mLr(bar(\omega)_a-\omega_a)+1/4mLrbar(\omega)_b] rarr [bar(\omega)_s=(-3mr)/(L(M+3m))\omega_a]$
Per comprendere i segni, il disco si trova alla destra della sbarra e inizia a ruotare in senso antiorario. Per questo motivo, a regime, mentre i due dischi ruotano in senso antiorario, la sbarra ruota in senso orario.
P.S.
Poiché il testo dell'esercizio non è del tutto comprensibile, la soluzione di cui sopra, pur essendo un classico in questo ambito, ne è solo un'interpretazione.
$[1/2mr^2(d\omega_a)/(dt)=-|F_(sa)|r] rarr [|F_(sa)|=-1/2mr(d\omega_a)/(dt)]$
$[1/12ML^2(d\omega_s)/(dt)=-1/2|F_(as)|L+1/2|F_(bs)|L] rarr [1/12ML^2(d\omega_s)/(dt)=1/4mLr(d\omega_a)/(dt)+1/4mLr(d\omega_b)/(dt)]$
$[1/2mr^2(d\omega_b)/(dt)=|F_(sb)|r] rarr [|F_(sb)|=1/2mr(d\omega_b)/(dt)]$
In definitiva, integrando la relazione sottostante:
$[1/12ML^2(d\omega_s)/(dt)=1/4mLr(d\omega_a)/(dt)+1/4mLr(d\omega_b)/(dt)]$
tra l'istante iniziale e l'istante in cui le tre velocità angolari assumono il valore di regime:
$[bar(\omega)_ar=-1/2bar(\omega)_sL] ^^ [bar(\omega)_br=-1/2bar(\omega)_sL]$
si può ricavare l'equazione risolutiva:
$[1/12ML^2bar(\omega)_s=1/4mLr(bar(\omega)_a-\omega_a)+1/4mLrbar(\omega)_b] rarr [bar(\omega)_s=(-3mr)/(L(M+3m))\omega_a]$
Per comprendere i segni, il disco si trova alla destra della sbarra e inizia a ruotare in senso antiorario. Per questo motivo, a regime, mentre i due dischi ruotano in senso antiorario, la sbarra ruota in senso orario.
P.S.
Poiché il testo dell'esercizio non è del tutto comprensibile, la soluzione di cui sopra, pur essendo un classico in questo ambito, ne è solo un'interpretazione.
Scusami è senza forze di attrito....tuttavia grazie vale sempre come esercitazione una domanda:
Nella seconda formula
$ [1/12ML^2(d\omega_s)/(dt)=-1/2|F_(as)|L+1/2|F_(bs)|L] $
non avrei dovuto mettere a primo termine il momento di inerzia della sbarra più quello relativo alle masse dei dischi rispetto al CM poichè il momento di inerzia è un momento di un corpo composto da più elementi: infatti i dischi oltre a ruotare su sè stessi ruotano anche rispetto al CM totale insieme alla sbarra e quindi avrei
$ [(1/12ML^2+2m(L/2)^2)(d\omega_s)/(dt)=-1/2|F_(as)|L+1/2|F_(bs)|L] $
Nella seconda formula
$ [1/12ML^2(d\omega_s)/(dt)=-1/2|F_(as)|L+1/2|F_(bs)|L] $
non avrei dovuto mettere a primo termine il momento di inerzia della sbarra più quello relativo alle masse dei dischi rispetto al CM poichè il momento di inerzia è un momento di un corpo composto da più elementi: infatti i dischi oltre a ruotare su sè stessi ruotano anche rispetto al CM totale insieme alla sbarra e quindi avrei
$ [(1/12ML^2+2m(L/2)^2)(d\omega_s)/(dt)=-1/2|F_(as)|L+1/2|F_(bs)|L] $
La mia interpretazione prevede che i due dischi e la sbarra non siano solidali. Piuttosto, ciascuno è vincolato a ruotare attorno al proprio centro di massa. Del resto:
Insomma, non sembra che i due dischi siano solidali alla sbarra. Sarebbe meglio chiarire il contesto.
Qui sembrano solidali. Non si comprende se i dischi e la sbarra siano coassiali. Nella mia interpretazione giacciono su un piano orizzontale e ruotano attorno ad assi paralleli.
"Rico11":
... ho una sbarra di massa M e lunghezza L che è vincolata a ruotare attorno al centro ...
"Rico11":
... ho due dischi di uguale massa m e raggio r alle estremità della sbarra, anch'essi liberi di ruotare attorno al proprio centro ...
Insomma, non sembra che i due dischi siano solidali alla sbarra. Sarebbe meglio chiarire il contesto.
"Rico11":
... io devo trovare la velocità angolare del sistema Ω ...
Qui sembrano solidali. Non si comprende se i dischi e la sbarra siano coassiali. Nella mia interpretazione giacciono su un piano orizzontale e ruotano attorno ad assi paralleli.
Scusami, sono molto poco preciso e chiaro i dischi erano in pratica ancorati alle estremità della sbarra e liberi di girare attorno al proprio centro, e non vi è presenza di alcuna forza di attrito
Non mi dire che si tratta del classico esercizio "ballerina che chiude oppure apre le braccia"? Se così fosse, la rotazione sarebbe comunque trasmessa mediante le forze di attrito. Ad ogni modo, adesso comprendo perché l'esercizio avrebbe dovuto essere facile.
Riassumendo, i dischi e la sbarra sono coassiali e i dischi non sono solidali alla sbarra. La rotazione del primo disco, per la presenza delle forze di attrito, si trasmette prima alla sbarra, quindi al secondo disco. Si conserva il momento angolare e la velocità angolare finale è la stessa per i dischi e la sbarra:
$[1/2mr^2\omega_a=mr^2\Omega] rarr [\Omega=\omega_a/2]$
dato che il momento d'inerzia della sbarra rispetto al proprio asse è nullo.
A giudicare da quanto sopra riportato, temo che nemmeno questa sia l'interpretazione corretta. Se non chiarisci meglio, sono costretto ad arrendermi.
P.S.
Tra l'altro, solo adesso mi rendo conto che la mia prima interpretazione si applica più comunemente se il sistema è costituito da tre dischi.
"Rico11":
... i dischi erano in pratica ancorati alle estremità della sbarra e liberi di girare attorno al proprio centro, e non vi è presenza di alcuna forza di attrito ...
Riassumendo, i dischi e la sbarra sono coassiali e i dischi non sono solidali alla sbarra. La rotazione del primo disco, per la presenza delle forze di attrito, si trasmette prima alla sbarra, quindi al secondo disco. Si conserva il momento angolare e la velocità angolare finale è la stessa per i dischi e la sbarra:
$[1/2mr^2\omega_a=mr^2\Omega] rarr [\Omega=\omega_a/2]$
dato che il momento d'inerzia della sbarra rispetto al proprio asse è nullo.
"Rico11":
... ho una sbarra di massa M e lunghezza L che è vincolata a ruotare attorno al centro ...
A giudicare da quanto sopra riportato, temo che nemmeno questa sia l'interpretazione corretta. Se non chiarisci meglio, sono costretto ad arrendermi.
P.S.
Tra l'altro, solo adesso mi rendo conto che la mia prima interpretazione si applica più comunemente se il sistema è costituito da tre dischi.
La questione delle forze d'attrito non mi convince tanto 
secondo me è una questione di azione-reazione, il motorino è interno al sistema, e fa si che tra il disco e l'asta incernierati (con cerniera ideale senza attrito) si sviluppi un momento azione-reazione.
secondo me è una questione di azione-reazione, il motorino è interno al sistema, e fa si che tra il disco e l'asta incernierati (con cerniera ideale senza attrito) si sviluppi un momento azione-reazione.
Può senz'altro essere considerata una forzatura. Del resto, nel corso della mia seconda interpretazione, il motorino servirebbe solo a mettere in rotazione il primo disco con una determinata velocità angolare. Non sapendo che pesci prendere e interpretando alla lettera il testo sottostante:
nel quale sembra che, almeno inizialmente, il moto del disco sia indipendente da quello del resto del sistema, ho cercato di risolvere interpretando il problema nel modo più semplice possibile, per non dire semplicistico. Ad ogni modo, ritengo che la tua osservazione, se da un lato contribuisce a rendere molto più realistico il problema, dall'altro introduce alcuni aspetti che, almeno per quanto mi riguarda, mi sentirei di trattare con cautela. Insomma, vorrei evitare di dire delle sciocchezze. Soprattutto perché non sarei più sicuro del ruolo del motorino nel corso dell'intera evoluzione temporale.
"Rico11":
Il sistema è inizialmente a riposo successivamente il primo disco inizia a ruotare, grazie al proprio motorino, di velocità angolare ω(a) ...
nel quale sembra che, almeno inizialmente, il moto del disco sia indipendente da quello del resto del sistema, ho cercato di risolvere interpretando il problema nel modo più semplice possibile, per non dire semplicistico. Ad ogni modo, ritengo che la tua osservazione, se da un lato contribuisce a rendere molto più realistico il problema, dall'altro introduce alcuni aspetti che, almeno per quanto mi riguarda, mi sentirei di trattare con cautela. Insomma, vorrei evitare di dire delle sciocchezze. Soprattutto perché non sarei più sicuro del ruolo del motorino nel corso dell'intera evoluzione temporale.
Ma, Rico11, è così difficile mettere un disegnetto? I due volonterosi che ti rispondono si stanno rompendo la testa per capire quello che intendi...
Si forse il problema è un po' mal posto, neanche io sono molto sicuro a riguardo, per esempio qualche anno fa Falco5x riguardo a una questione molto simile mi aveva dato una ottima spiegazione:
viewtopic.php?f=19&t=155208&hilit=asta+si+solleva
viewtopic.php?f=19&t=155208&hilit=asta+si+solleva
Concordo sulla bontà della spiegazione. Tra l'altro, non ho certamente la padronanza di Falco5x nel trattare certi argomenti. Ad ogni modo, interpretando a fatica il tentativo di soluzione proposto nel messaggio di apertura, si potrebbe trattare di qualcosa del genere:
dove la messa in rotazione di uno dei due dischi rispetto all'asse orizzontale è attuata in modo tale da far ruotare l'intero sistema anche attorno all'asse verticale passante per il centro della sbarra. Insomma, nulla a che vedere con le mie interpretazioni precedenti. Mi riferisco soprattutto alla seguente considerazione:
che, evidentemente, non avevo letto con sufficiente attenzione. A questo punto, si potrebbe modellizzare pensando di mettere in rotazione il disco mediante una forza tangenziale, tirando una fune avvolta sul disco stando seduti sulla sbarra. In effetti, secondo questo modello, si tratterebbe di azione e reazione senza coinvolgimento di alcuna forza di attrito.
dove la messa in rotazione di uno dei due dischi rispetto all'asse orizzontale è attuata in modo tale da far ruotare l'intero sistema anche attorno all'asse verticale passante per il centro della sbarra. Insomma, nulla a che vedere con le mie interpretazioni precedenti. Mi riferisco soprattutto alla seguente considerazione:
"Rico11":
... i dischi oltre a ruotare su se stessi ruotano anche rispetto al CM totale insieme alla sbarra ...
che, evidentemente, non avevo letto con sufficiente attenzione. A questo punto, si potrebbe modellizzare pensando di mettere in rotazione il disco mediante una forza tangenziale, tirando una fune avvolta sul disco stando seduti sulla sbarra. In effetti, secondo questo modello, si tratterebbe di azione e reazione senza coinvolgimento di alcuna forza di attrito.
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