Corpi rigidi: accelerazione centro di massa
Data una sbarra omogenea di massa m e lunghezza l vincolata nel suo estermo, attorno al quale può ruotare senza attrito. Se essa è in posizione verticale di equilibrio instabile, se viene spostata dal medesimo, si deve trovare la rezione vincolare quando la sbarra è nella posizione opposta a quella di partenza.
Siccome sull vincolo non c'è attrito possiamo affermare che l'energia meccanica è conservativa.
$ \mgl = (m\ l^2 )/6 \omega^2 $ $ - >$ $\omega = ((6g)/l)^(1/2)$
Ora per trovare la reazione vincolare userei $F^(e) = ma_c$
Come faccio a trovare l'accelerazione del centro di massa? Che verso ha?
Grazie mille
Siccome sull vincolo non c'è attrito possiamo affermare che l'energia meccanica è conservativa.
$ \mgl = (m\ l^2 )/6 \omega^2 $ $ - >$ $\omega = ((6g)/l)^(1/2)$
Ora per trovare la reazione vincolare userei $F^(e) = ma_c$
Come faccio a trovare l'accelerazione del centro di massa? Che verso ha?
Grazie mille
Risposte
up
"smaug":
.......Siccome sull vincolo non c'è attrito possiamo affermare che l'energia meccanica è conservativa.
È il sistema di forze, ad essere conservativo! Puoi affermare che l'energia meccanica si conserva.
"smaug":
per trovare la reazione vincolare userei $F^(e) = ma_c$
Io no. Io direi che la reazione vincolare deve equilibrare il peso e la forza centrifuga.
Certo ruota a causa della forza peso che è conservativa, per cui l'energia meccanica si conserva. Tu non lo faresti semplicemente per scelta o perchè non si puà fare?
Vorresti dire questo? $R_N = mg\ + \m\ \omega^2 l/2$
La reazione vincolare essendo sempre opposta al peso è diretta nel momento in cui essa è verticale, verso l'alto.
$R_N = m (4g) = 11.8 N$
Grazie
Vorresti dire questo? $R_N = mg\ + \m\ \omega^2 l/2$
La reazione vincolare essendo sempre opposta al peso è diretta nel momento in cui essa è verticale, verso l'alto.
$R_N = m (4g) = 11.8 N$
Grazie
LA soluzione è giusta: la reazione vincolare vale 4 volte il peso, nella posizione richiesta.
Però non è vero che la reazione vincolare è sempre opposta al peso: la reazione vincolare equilibria in ogni istante la risultante tra peso e forza centrifuga. LA forza centrifuga ruota con l'asta, no? In una posizione intermedia qualsiasi, devi comporre vettorialmente peso e forza centrifuga, e questa risultante è verticale solo nella posizione richiesta dall'esercizio.
Però non è vero che la reazione vincolare è sempre opposta al peso: la reazione vincolare equilibria in ogni istante la risultante tra peso e forza centrifuga. LA forza centrifuga ruota con l'asta, no? In una posizione intermedia qualsiasi, devi comporre vettorialmente peso e forza centrifuga, e questa risultante è verticale solo nella posizione richiesta dall'esercizio.
Giusto proprio come la spinta di archimede che è opposta alla risultante delle forze di volume!
Se uno volesse facendo i conti, dimostrare che l'unica forza fittizia è quella centrifuga, come può fare? Mi spiego meglio:
Dalla legge dei moto relativi, preso un sistema fisso e uno solidale con la sbarra, abbiamo che (omettendo il simbolo di vettori)
$a_a = a_r + a_t + a_c = a_r + a_o' + \omega xx (\omega xx r') + \dot \omega xx r' + 2 \omega xx v_r$
Sarebbe come dicevo io, nel senso $F = ma$ dove $a$ è l'accelerazione relativa della massa della sbarra rispetto ad un sistema ad essa solidale...ma sarebbe nulla! so che sbaglio ma vorrei capirci qualcosa
Grazie ancora
proprio come la spinta di archimede che è opposta alla risultante delle forze di volume!Se uno volesse facendo i conti, dimostrare che l'unica forza fittizia è quella centrifuga, come può fare? Mi spiego meglio:
Dalla legge dei moto relativi, preso un sistema fisso e uno solidale con la sbarra, abbiamo che (omettendo il simbolo di vettori)
$a_a = a_r + a_t + a_c = a_r + a_o' + \omega xx (\omega xx r') + \dot \omega xx r' + 2 \omega xx v_r$
Sarebbe come dicevo io, nel senso $F = ma$ dove $a$ è l'accelerazione relativa della massa della sbarra rispetto ad un sistema ad essa solidale...ma sarebbe nulla! so che sbaglio ma vorrei capirci qualcosa
Grazie ancora
Hai un riferimento rotante in un piano verticale, non inerziale, rispetto ad un riferimento fisso inerziale : uno degli assi è il perno di sospensione, un asse rotante è la barra.
Considera un punto rappresentativo della barra, cioè il centro di massa $C$ . Esso è ad $l/2$ dall'origine. Tale punto è solidale al riferimento rotante, perché tutta la barra è in quiete in questo riferimento.
Perciò $C$ non ha moto relativo nel riferimento rotante, giusto? Sono nulle la velocità relativa e l'accelerazione relativa.
Per questo motivo, i tre termini a secondo membro dell'accelerazione assoluta di $C$ che hai scritto diventano :
- accelerazione relativa = 0 .
-accelerazione complementare = 0 .
Rimane solo l'accelerazione di trascinamento, che rispetto al riferimento assoluto è l'accelerazione centripeta.
E questo significa che nel riferimento rotante nasce la forza apparente centrifuga.
Considera un punto rappresentativo della barra, cioè il centro di massa $C$ . Esso è ad $l/2$ dall'origine. Tale punto è solidale al riferimento rotante, perché tutta la barra è in quiete in questo riferimento.
Perciò $C$ non ha moto relativo nel riferimento rotante, giusto? Sono nulle la velocità relativa e l'accelerazione relativa.
Per questo motivo, i tre termini a secondo membro dell'accelerazione assoluta di $C$ che hai scritto diventano :
- accelerazione relativa = 0 .
-accelerazione complementare = 0 .
Rimane solo l'accelerazione di trascinamento, che rispetto al riferimento assoluto è l'accelerazione centripeta.
E questo significa che nel riferimento rotante nasce la forza apparente centrifuga.
Capito l'unico dilemma è perchè $\dot \omega xx l/2$ è nullo? la sbarra quando ruota a causa del momento della forza peso, non ha accelerazione angolare? Da come dici:
$m\ a_a = F = m\ \omega^2 l/2$ dove $F$ sono tutte le forze presenti nel sistema di riferimento inerziale, cioè la forza peso applicata nel centro di massa, e la reazione vincolare, pertanto volendole proiettare lungo un asse verticale verso l'alto $F = R_N - mg$
Ora devo scrivere:
$R_N - mg\ = m\ \omega^2 l/2$ oppure $R_N - mg\ = - m\ \omega^2 l/2$
Per quanto tempo qualche giorno fa so che è la prima, ma vorrei capire come stabilire il segno della forza apparente
chiedevo perchè la forza centrifuga sarebbe rivolta verso il basso, verso l'esterno della curva nell'istante da considerare...
Grazie come sempre!
l'unico dilemma è perchè $\dot \omega xx l/2$ è nullo? la sbarra quando ruota a causa del momento della forza peso, non ha accelerazione angolare? Da come dici:$m\ a_a = F = m\ \omega^2 l/2$ dove $F$ sono tutte le forze presenti nel sistema di riferimento inerziale, cioè la forza peso applicata nel centro di massa, e la reazione vincolare, pertanto volendole proiettare lungo un asse verticale verso l'alto $F = R_N - mg$
Ora devo scrivere:
$R_N - mg\ = m\ \omega^2 l/2$ oppure $R_N - mg\ = - m\ \omega^2 l/2$
Per quanto tempo qualche giorno fa so che è la prima, ma vorrei capire come stabilire il segno della forza apparente
chiedevo perchè la forza centrifuga sarebbe rivolta verso il basso, verso l'esterno della curva nell'istante da considerare...
Grazie come sempre!
"smaug":
Capito
Giusta osservazione, che ha colto una mia imprecisione! La velocità angolare non è costante, quindi c'è anche l'accelerazione tangenziale, oltre a quella centripeta, a determinare l'accelerazione di trascinamento. Essendo tangenziale, tale accelerazione è un vettore perpendicolare alla accelerazione centripeta.
La velocità angolare ha un massimo nel punto più basso della traiettoria, per cui in questo punto l'accelerazione di trascinamento è costituita dalla sola accelerazione centripeta, la tangenziale è nulla.
$m\ a_a = F = m\ \omega^2 l/2$ dove $F$ sono tutte le forze presenti nel sistema di riferimento inerziale, cioè la forza peso applicata nel centro di massa, e la reazione vincolare, pertanto volendole proiettare lungo un asse verticale verso l'alto $F = R_N - mg$
Ora devo scrivere:
$R_N - mg\ = m\ \omega^2 l/2$ oppure $R_N - mg\ = - m\ \omega^2 l/2$
Per quanto tempo qualche giorno fa so che è la prima, ma vorrei capire come stabilire il segno della forza apparente
chiedevo perchè la forza centrifuga sarebbe rivolta verso il basso, verso l'esterno della curva nell'istante da considerare...
Grazie come sempre!
Sono sempre queste (benedette...) forze apparenti, ad essere poco comprese!
L'accelerazione centripeta (e la forza centripeta), lo dice lo stesso nome, è sempre diretta radialmente verso il centro : "centri...peta".
Per converso, la forza centrifuga che "appare" ( di qui qualche autore fa derivare l'attributo "forza apparente" ) nel riferimento rotante è diretta sempre dal centro verso l'esterno: lo dice anche il nome : " centri...fuga" .
Nel caso in esame, si ha equilibrio, nel sistema rotante, tra tre forze (considero il punto più basso della traiettoria, come dice l'esercizio) :
$vecR + vecP + vec F_c = 0 $ , dove la prima è la reazione del perno, la seconda il peso, la terza è la forza centrifuga.
In tale punto, la prima forza è orientata verticalmente verso l'alto, le altre due verticalmente verso il basso.
Quindi se ora proietti su un asse orientato verso l'alto , hai : $ R - mg - mv^2/r = 0 $ .
Se vuoi considerare la forza centripeta nel riferimento inerziale, la sua proiezione sullo stesso asse orientato verso l'alto è data da $ mv^2/r = R - mg $ .
"navigatore":
La velocità angolare ha un massimo nel punto più basso della traiettoria, per cui in questo punto l'accelerazione di trascinamento è costituita dalla sola accelerazione centripeta, la tangenziale è nulla.
Wow me lo stavo chiedendo ma non ci avevo pensato, sei un grande!
"navigatore":
$vecR + vecP + vec F_c = 0$
Ok. Quindi occorre porre vettorialmente la somma di tutte le forze apparenti e reali uguali a zero, perchè c'è equilibrio nel sistema non inerziale, perchè in quello assoluto l'equilibrio non c'è!
Ti voglio fare un esempio se me lo concedi per vedere se ho capito.
Prendiamo un pendolo di massa e lunghezza noti, appeso dentro un treno che si muove con accelerazione $a_t$ verso l'asse della ascisse.
$\vec a_a = \vec a_t$ per cui $\vec F = m \vec \a_t$
Devo quindi imporre l'equilibrio $M \vec g + \vec T + m \vec a_t = 0$
Però in questo caso questa equazione sarà da proiettare lungo la tangente della traiettoria e lungo la normale, così per trovarmi l'angolo e la tensione.
Mentre in quello fisso abbiamo come sempre $\vec T + \vec P = m \vec a$
Grazie
Dobbiamo essere precisi, smaug, e quando ci accorgiamo di inesattezze dobbiamo correggerle.La tua osservazione circa l'accelerazione tangenziale, a cui ho già risposto notando che avevo scritto una imprecisione e osservando che essa è nulla nel punto più basso della traiettoria, laddove la velocità angolare è massima, mi ha spinto a rivedere tutte le domande e risposte scritte, ed ho notato che ce n'è un'altra, che vale la pena di evidenziare e correggere.
Ho scritto questo:
Ebbene, anche qui c'è una cosa che non va, questo : "la reazione vincolare equilibria in ogni istante la risultante tra peso e forza centrifuga" . In realtà, la reazione vincolare del perno non può che avere la direzione dell'asse dell'asta, quindi equilibria in ogni istante la risultante tra forza centrifuga e componente assiale del peso, mentre la componente tangenziale del peso rimane non equilibrata.
In altri termini, in una posizione intermedia qualsiasi, devi scomporre la forza peso in una componente assiale ed una componente tangenziale. È la componente assiale quella che, sommata vettorialmente alla forza centrifuga, è equilibrata dalla reazione del perno. La componente tangenziale invece è quella che determina l'accelerazione tangenziale, evidentemente, come avevi intuito tu, e quindi il moto accelerato.
È comunque vero che nella posizione più bassa della traiettoria le tre forze sono tutte e tre verticali, e non c'è componente tangenziale della forza peso, il che significa che non c'è accelerazione tangenziale.LA reazione vincolare qui ha il suo massimo valore.
Ho scritto questo:
"navigatore":
LA soluzione è giusta: la reazione vincolare vale 4 volte il peso, nella posizione richiesta.
Però non è vero che la reazione vincolare è sempre opposta al peso: la reazione vincolare equilibria in ogni istante la risultante tra peso e forza centrifuga. LA forza centrifuga ruota con l'asta, no? In una posizione intermedia qualsiasi, devi comporre vettorialmente peso e forza centrifuga, e questa risultante è verticale solo nella posizione richiesta dall'esercizio.
Ebbene, anche qui c'è una cosa che non va, questo : "la reazione vincolare equilibria in ogni istante la risultante tra peso e forza centrifuga" . In realtà, la reazione vincolare del perno non può che avere la direzione dell'asse dell'asta, quindi equilibria in ogni istante la risultante tra forza centrifuga e componente assiale del peso, mentre la componente tangenziale del peso rimane non equilibrata.
In altri termini, in una posizione intermedia qualsiasi, devi scomporre la forza peso in una componente assiale ed una componente tangenziale. È la componente assiale quella che, sommata vettorialmente alla forza centrifuga, è equilibrata dalla reazione del perno. La componente tangenziale invece è quella che determina l'accelerazione tangenziale, evidentemente, come avevi intuito tu, e quindi il moto accelerato.
È comunque vero che nella posizione più bassa della traiettoria le tre forze sono tutte e tre verticali, e non c'è componente tangenziale della forza peso, il che significa che non c'è accelerazione tangenziale.LA reazione vincolare qui ha il suo massimo valore.
Ti giuro prima che leggessi la correzione ho cercato di trovare l'errore ma non ci sono riuscito 
Comunque grazie per l'attenzione
Comunque grazie per l'attenzione
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