Corpi in equilibrio - Problema 37 pag 276 edizione 2010 Gian

[danielsan81]

Quattro mattoni sono appoggiati all'estremità di un tavolo e sporgenti uno sopra l'altro in modo che il mattone più in alto sporga il più possibile oltre il bordo del tavolo stesso.
a) Mostrate che, perchè ciò accada, i mattoni non possono sporgere (a partire da quello più in alto) più di 1/2, 1/4, 1/6 e 1/8 della loro lunghezza oltre il mattone sottostante.
b) Il mattone più in alto è completamente fuori dal limite del tavolo?
c) Determinate una formula generale per trovare la massima distanza di cui possono sporgere n mattoni rimanendo stabili.
d) Un costruttore vuole costruire un arco di volta a cesto basato sul principio di stabilità discusso in a) e in c). Qual'è il minimo numero di mattoni, ognuno di lunghezza 0.30 m, necessario per costruire un arco che abbia un'apertura di 1.0 m?

Chi mi può aiutare?
vedendo i miei risultati, direi che sono abbastanza fuori percorso.. chi mi può aiutare?
grazie
Daniele

[texas971]

I mattoni sono tutti in equilibrio; significa che, preso un mattone, il cdm di tutti i mattoni sopra di lui (come se fossero tutti incollati, per capirci) deve stare entro il suo limite. Questa condizione significa che il mattone più in alto sporge L/2 dal secondo. Poi consideriamo il sistema di questi due mattoni.
a) Se troviamo la distanza dall'estremo del terzo mattone del cdm dei primi tre mattoni vediamo che sitrova a L/4 e così via (basta fare i conti) L/6, L/8
b) Se il quarto mattone (se) è posizionato in modo che sporga il più possibile dal limite del tavolo, allora sì (basta vedere che $1/2+1/4+1/6+1/8>1$)
c)Supponiamo che ci sia una costruzione di mattoni siffatta. Prendo l'n-esimo mattone (quello più in basso). Sull'estremità di questo mattone grava una massa di $m(n-1)$. La massa dell'n-esimo è ovviamente $m$ e sta al centro del mattone. Piazzo gli assi cartesiani con origine dove grava $m(n-1)$ e la direzione positiva la prendo verso $m$. Vedo subito che il centro di massa di tutto il sistema si trova a $x_{cdm}=L/{2n}$.Questo risultato fornisce la sporgenza dell'n mattone rispetto all' n+1-esimo. Poi, poichè l'ultimo mattone sporge dal tavolo, la situazione è equivalente a n+1 mattoni. Dunque la distanza massima non è altro che la sommatoria di tutte le distanze n (per il motivo che ho detto) $d=\sum_{i=1}^{n} \frac{L}{2i}=\frac{L}{2} \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{i}$.
d) Questo punto mi lascia perplesso e chiedo lumi ai matematici xd . Se per apertura di arco si intende "metà arco", bisogna risolvere la seguente roba $\frac{L}{2} \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{i}=k$ (boh, non sapevo come chiamarla sta distanza...). Abbiamo tutti i dati, ci manca n. Ora vi chiedo: come è possibile trasformare quella sommatoria in formula analitica (se così si dice) io proprio non lo so ... non mi pare nè serie geometrica o affini...