Coordinate lagrangiane, dimostrazione
Salve a tutti avrei un problema con una dimostrazione riguardante le coordinate lagrangiane (abbiamo iniziato da poco e non mi sto trovando tanto bene sinceramente perciò perdonatemi se dico sciocchezze):
Abbiamo un sistema di punti $\{ P_1,\cdots, P_n\}$ e il vettore che contiene tutte le loro coordinate dato da:
$\dot \vecX = \oplus_{i = 1}^{n} \dot P_i, \dot \vec X \in \RR^{3n}$
Poi conosciamo le equazioni:
(1)$ f_j (\vec X,t) = 0, j = 1,...,m < 3n$, che rappresentano dei vincoli (credo non scleronomi siccome c'è la dipendenza esplicita da $t$)
(2)$\vec X = \vec X = (\vec q,t), \vec q \in \RR^l, l = 3n-m$, e $\vec q$ è il mio vettore di coordinate lagrangiane
Sappiamo poi che $\frac{\partial \vec X}{\partial q_k}, k = 1,...,l$ formano una base dello spazio tangente $T_{\vec X}V(t)$ poiche indipendenti
e allo stesso modo sappiamo che:
$\grad_{\vec X}f_j, j = 1,...,m$ è una base dello spazio normale
Poi derivando rispetto al tempo la (1) ottengo:
$\grad_{\vec X}f_j \cdot \dot \vec X+ \frac{\partial f_j}{\partial t} = 0, j = 1,...m$
Allo stesso modo prendendo la (2) e scegliendo delle coordinate lagrangiane tali che $\vec q = \vec q(t) \in C^1$ derivo rispetto al tempo e ottengo:
(3)$\dot \vec X = \sum_{k = 1}^{l} \frac{\partial \vec X}{\partial q_k} \dot q_k + \frac{\partial \vec X}{\partial t}$
Fin qui mi tornano i calcoli (usa la derivata composta + fa la derivata rispetto al tempo per via della dipendenza esplicita )
Poi prende la (3) e fa la scomposizione:
$\dot \vec X = \hat V + V^"*"$, e le chiama rispettivamente velocità virtuale e di trascinamento.
Adesso arrivano in problemi: il libro riporta la proposizione:
La proiezione di $V^"*"$ sullo spazio normale è indipendente dal sistema di coordinate lagrangiane e lo dimostra così (non so bene cosa si intende con proiezione sullo spazio normale siccome non ho la minima idea di come visualizzare la velocità di trascinamento e per questo volevo affidarmi alla dimostrazione matematica):
Sia $\vec Q = \vec Q(\vec q,t)$, una trasformazione di coordinate lagrangiane (la notazione non mi è chiara tuttavia) e sia
$\vec q= \vec q(\vec Q,t)$ la sua inversa
Definiamo:
$\vec \bar X(\vec Q,t) = \vec X[\vec q(\vec Q,t),t] $, e qui sinceramente mi son perso totalmente
Poi dice di calcolare
$\frac{\partial \vec \bar X}{\partial t}-\frac{\partial \vec X}{\partial t} = \sum_{k = 1}^{l} \frac{\partial \vec X}{\partial q_k} \frac{\partial q_k}{\partial t}$ cito che prova appunto l'asserto
C'è qualche esperto di meccanica analitica che possa guidarmi attraverso la dimostrazione (sono uno studente alle prime armi con la materia tuttavia il Fasano-Marmi non sembra mostrare pietà), soprattutto come calcolare quelle derivate alla fine, non mi ritrovo con la notazione (in particolare il vettore $\vec Q$, e espressioni come $\vec q(\vec Q ,t)$)
Se qualcuno ha pure voglia di spiegare il concetto espresso da questa dimostrazione in maniera più semplice mi farebbe un favore grandissimo. Ringrazio davvero il dio della fisica che sarà capace di rispondermi, questa materia mi sta mettendo a durissima prova ad esser sincero spero diventerà meno complicata col passare dei giorni altrimenti la vedo nera per l'esame e per l'orale soprattutto
P.S. Ho mantenuto la notazione identica del libro per cui non dovrebbero esserci problemi
Abbiamo un sistema di punti $\{ P_1,\cdots, P_n\}$ e il vettore che contiene tutte le loro coordinate dato da:
$\dot \vecX = \oplus_{i = 1}^{n} \dot P_i, \dot \vec X \in \RR^{3n}$
Poi conosciamo le equazioni:
(1)$ f_j (\vec X,t) = 0, j = 1,...,m < 3n$, che rappresentano dei vincoli (credo non scleronomi siccome c'è la dipendenza esplicita da $t$)
(2)$\vec X = \vec X = (\vec q,t), \vec q \in \RR^l, l = 3n-m$, e $\vec q$ è il mio vettore di coordinate lagrangiane
Sappiamo poi che $\frac{\partial \vec X}{\partial q_k}, k = 1,...,l$ formano una base dello spazio tangente $T_{\vec X}V(t)$ poiche indipendenti
e allo stesso modo sappiamo che:
$\grad_{\vec X}f_j, j = 1,...,m$ è una base dello spazio normale
Poi derivando rispetto al tempo la (1) ottengo:
$\grad_{\vec X}f_j \cdot \dot \vec X+ \frac{\partial f_j}{\partial t} = 0, j = 1,...m$
Allo stesso modo prendendo la (2) e scegliendo delle coordinate lagrangiane tali che $\vec q = \vec q(t) \in C^1$ derivo rispetto al tempo e ottengo:
(3)$\dot \vec X = \sum_{k = 1}^{l} \frac{\partial \vec X}{\partial q_k} \dot q_k + \frac{\partial \vec X}{\partial t}$
Fin qui mi tornano i calcoli (usa la derivata composta + fa la derivata rispetto al tempo per via della dipendenza esplicita )
Poi prende la (3) e fa la scomposizione:
$\dot \vec X = \hat V + V^"*"$, e le chiama rispettivamente velocità virtuale e di trascinamento.
Adesso arrivano in problemi: il libro riporta la proposizione:
La proiezione di $V^"*"$ sullo spazio normale è indipendente dal sistema di coordinate lagrangiane e lo dimostra così (non so bene cosa si intende con proiezione sullo spazio normale siccome non ho la minima idea di come visualizzare la velocità di trascinamento e per questo volevo affidarmi alla dimostrazione matematica):
Sia $\vec Q = \vec Q(\vec q,t)$, una trasformazione di coordinate lagrangiane (la notazione non mi è chiara tuttavia) e sia
$\vec q= \vec q(\vec Q,t)$ la sua inversa
Definiamo:
$\vec \bar X(\vec Q,t) = \vec X[\vec q(\vec Q,t),t] $, e qui sinceramente mi son perso totalmente
Poi dice di calcolare
$\frac{\partial \vec \bar X}{\partial t}-\frac{\partial \vec X}{\partial t} = \sum_{k = 1}^{l} \frac{\partial \vec X}{\partial q_k} \frac{\partial q_k}{\partial t}$ cito che prova appunto l'asserto
C'è qualche esperto di meccanica analitica che possa guidarmi attraverso la dimostrazione (sono uno studente alle prime armi con la materia tuttavia il Fasano-Marmi non sembra mostrare pietà), soprattutto come calcolare quelle derivate alla fine, non mi ritrovo con la notazione (in particolare il vettore $\vec Q$, e espressioni come $\vec q(\vec Q ,t)$)
Se qualcuno ha pure voglia di spiegare il concetto espresso da questa dimostrazione in maniera più semplice mi farebbe un favore grandissimo. Ringrazio davvero il dio della fisica che sarà capace di rispondermi, questa materia mi sta mettendo a durissima prova ad esser sincero spero diventerà meno complicata col passare dei giorni altrimenti la vedo nera per l'esame e per l'orale soprattutto
P.S. Ho mantenuto la notazione identica del libro per cui non dovrebbero esserci problemi
Risposte
Premetto che non sono affatto esperto in questa materia, quindi potrei scrivere cose poco esatte.
Detto questo mi sembra che una trasformazione di coordinate sia semplicemente un insieme di equazioni per definire un nuovo sistema di coordinate.
Ad es. in un sistema in cui ci sono due coordinate lagrangiane, $ q_1$ e $ q_2$,
una trasformazione potrebbe essere, molto banalmente, una trasformazione che ruota gli assi di 45 e modifica le lunghezze;
${ ( Q_1 = q_1 + q_2), ( Q_2 = q_1 - q_2) :}$.
Oppure una rotazione generica:
${ ( Q_1 = \cos \theta \ q_1 - \sin \theta \ q_2), ( Q_2 = \sin \theta \ q_1 + \cos \theta \ q_2) :}$.
Oppure uno scambio delle coordinate:
${ ( Q_1 = q_2), ( Q_2 = q_1 ) :}$.
Eventualmente ci puo' essere anche una scrittura diretta della variabile tempo
${ ( Q_1 = q_1 + \sin (t)), ( Q_2 = q_2 + \cos (t)) :}$
Detto questo mi sembra che una trasformazione di coordinate sia semplicemente un insieme di equazioni per definire un nuovo sistema di coordinate.
Ad es. in un sistema in cui ci sono due coordinate lagrangiane, $ q_1$ e $ q_2$,
una trasformazione potrebbe essere, molto banalmente, una trasformazione che ruota gli assi di 45 e modifica le lunghezze;
${ ( Q_1 = q_1 + q_2), ( Q_2 = q_1 - q_2) :}$.
Oppure una rotazione generica:
${ ( Q_1 = \cos \theta \ q_1 - \sin \theta \ q_2), ( Q_2 = \sin \theta \ q_1 + \cos \theta \ q_2) :}$.
Oppure uno scambio delle coordinate:
${ ( Q_1 = q_2), ( Q_2 = q_1 ) :}$.
Eventualmente ci puo' essere anche una scrittura diretta della variabile tempo
${ ( Q_1 = q_1 + \sin (t)), ( Q_2 = q_2 + \cos (t)) :}$
Sarò sincero non penso di aver capito Quinzio:
tu intendi per esempio:
$\vec Q(\vec q) = [(q_1+q_2),(q_1-q_2)]$, nel caso dell'assenza della dipendenza esplicita da $t$:
dunque la trasformazione inversa sarebbe per esempio:
$\vec q(\vec Q) = [(q_1 = (Q_2+Q_1)/2), ( q_2 = (Q_1-Q_2)/2 )]$
Tuttavia non ho ancora idea di come calcolare quella derivata:
per esempio avrei:
$\dot \vec X(\vec q) = \sum_{i = 1}^{2} \frac{\partial \vec X}{\partial q_i} \partial_t q_i$
mentre
$\dot \vec X(\vec q(\vecQ)) = \sum_{i =1}^{2} ?$, adesso le componenti del vettore $\vec X$ dipenderebbero non sì dalle coordinate $q_i$ ma queste le abbiamo espresse in funzione delle $Q_i$, quindi dovrei derivare rispetto alle $Q_i$ e poi le $Q_i$ rispetto a $t$. Però non mi convince per niente. Tu Quinzio sei riuscito a completare quella dimostrazione? Se sì potresti dirmi come hai fatto please? Alla fine basta capire come derivare rispetto a $t$ un qualcosa che dipende da $Q$. Ma la vera domanda è perché quel calcolo dovrebbe provare l'asserto?
Sto libro una huge L comunque, chi l'ha scritto potrebbe completarle con i calcoli le dimostrazioni
tu intendi per esempio:
$\vec Q(\vec q) = [(q_1+q_2),(q_1-q_2)]$, nel caso dell'assenza della dipendenza esplicita da $t$:
dunque la trasformazione inversa sarebbe per esempio:
$\vec q(\vec Q) = [(q_1 = (Q_2+Q_1)/2), ( q_2 = (Q_1-Q_2)/2 )]$
Tuttavia non ho ancora idea di come calcolare quella derivata:
per esempio avrei:
$\dot \vec X(\vec q) = \sum_{i = 1}^{2} \frac{\partial \vec X}{\partial q_i} \partial_t q_i$
mentre
$\dot \vec X(\vec q(\vecQ)) = \sum_{i =1}^{2} ?$, adesso le componenti del vettore $\vec X$ dipenderebbero non sì dalle coordinate $q_i$ ma queste le abbiamo espresse in funzione delle $Q_i$, quindi dovrei derivare rispetto alle $Q_i$ e poi le $Q_i$ rispetto a $t$. Però non mi convince per niente. Tu Quinzio sei riuscito a completare quella dimostrazione? Se sì potresti dirmi come hai fatto please? Alla fine basta capire come derivare rispetto a $t$ un qualcosa che dipende da $Q$. Ma la vera domanda è perché quel calcolo dovrebbe provare l'asserto?
Sto libro una huge L comunque, chi l'ha scritto potrebbe completarle con i calcoli le dimostrazioni
Comunque Quinzio volevo mostrarti quest'esempio subito dopo la dimostrazione:
Non specifica nulla però suppongo che l'unica coordinata lagrangiana sia $\gamma$. Penso sia il caso più semplice tuttavia non capisco in questo caso la nostra trasformazione di coord.lagrangiane sarebbe data da
$\vec Q = \vec Q(\gamma, t) ?$
E l'inversa di questa trasformazione? Non ne ho idea sinceramente
Se riuscissi ad applicare quella formula a questo caso semplice forse riuscirei a capire la dimostrazione generale
Non specifica nulla però suppongo che l'unica coordinata lagrangiana sia $\gamma$. Penso sia il caso più semplice tuttavia non capisco in questo caso la nostra trasformazione di coord.lagrangiane sarebbe data da
$\vec Q = \vec Q(\gamma, t) ?$
E l'inversa di questa trasformazione? Non ne ho idea sinceramente
Se riuscissi ad applicare quella formula a questo caso semplice forse riuscirei a capire la dimostrazione generale
Riprendo l'esempio del libro per la coordinata spaziale
$x_1 = R \sin (\varphi + \alpha(t))$
cambio il nome da $\varphi$ a $q_1$, in modo da allinearlo con la teoria.
Metto il pedice 1 in modo da distinguerlo dal vettore, ma si tratta della unica coordinata lagrangiana.
$x_1 = R \sin (q_1 + \alpha(t))$
Trasformazione $\bb Q = \bb Q (\bb q, t)$:
$Q_1 = q_1 + \alpha(t)$
Trasformazione inversa
$q_1 = Q_1 - \alpha(t)$
Definizione dei punti (nei due sistemi di riferimento lagrangiani) in cui ho riportato solo la coordinata $x_1$,
le altre le lascio come esercizio (completare dove ci sono i puntini $...$):
$\bb {\bar X} = (\bar {x_1}, \bar {x_2}, \bar {x_3}) = (R \sin (Q_1), ..., ...)$
$\bb X = (x_1, x_2, x_3) = (R \sin (q_1 + \alpha(t)), ..., ...)$
Ora la famigerata
$(\partial \bb {\bar X}) / (\partial t) - (\partial \bb X) / (\partial t) = \sum_{k=1}^1 (\partial \bb X) /
(\partial q_k) (\partial q_k)/(\partial t) $
$(\partial \bb {\bar X}) / (\partial t) = (0 , ..., ...) $
$(\partial \bb X) / (\partial t) = (R \cos (q_1 + \alpha(t))\ \dot \alpha(t) , ..., ...) $
$(\partial \bb X) / (\partial q_1) = ((R \sin (q_1 + \alpha(t)) , ..., ...) $
$ (\partial q_1)/(\partial t) = (- \dot \alpha(t) , ..., ...) $
$(0 , ..., ...) - (R \cos (q_1 + \alpha(t))\ \dot \alpha(t), ..., ...) = (R \sin (q_1 + \alpha(t)) (- \dot \alpha(t)), ..., ...) $
$(-R \cos (q_1 + \alpha(t))\ \dot \alpha(t), ..., ...) = (-R \cos (q_1 + \alpha(t))\ \dot \alpha(t), ..., ...)$
Come vedi non e' nulla di complicato (si fa per dire), basta mettere in fila per bene le cose e capire chi e' chi, e cosa e' cosa.
$x_1 = R \sin (\varphi + \alpha(t))$
cambio il nome da $\varphi$ a $q_1$, in modo da allinearlo con la teoria.
Metto il pedice 1 in modo da distinguerlo dal vettore, ma si tratta della unica coordinata lagrangiana.
$x_1 = R \sin (q_1 + \alpha(t))$
Trasformazione $\bb Q = \bb Q (\bb q, t)$:
$Q_1 = q_1 + \alpha(t)$
Trasformazione inversa
$q_1 = Q_1 - \alpha(t)$
Definizione dei punti (nei due sistemi di riferimento lagrangiani) in cui ho riportato solo la coordinata $x_1$,
le altre le lascio come esercizio (completare dove ci sono i puntini $...$):
$\bb {\bar X} = (\bar {x_1}, \bar {x_2}, \bar {x_3}) = (R \sin (Q_1), ..., ...)$
$\bb X = (x_1, x_2, x_3) = (R \sin (q_1 + \alpha(t)), ..., ...)$
Ora la famigerata
$(\partial \bb {\bar X}) / (\partial t) - (\partial \bb X) / (\partial t) = \sum_{k=1}^1 (\partial \bb X) /
(\partial q_k) (\partial q_k)/(\partial t) $
$(\partial \bb {\bar X}) / (\partial t) = (0 , ..., ...) $
$(\partial \bb X) / (\partial t) = (R \cos (q_1 + \alpha(t))\ \dot \alpha(t) , ..., ...) $
$(\partial \bb X) / (\partial q_1) = ((R \sin (q_1 + \alpha(t)) , ..., ...) $
$ (\partial q_1)/(\partial t) = (- \dot \alpha(t) , ..., ...) $
$(0 , ..., ...) - (R \cos (q_1 + \alpha(t))\ \dot \alpha(t), ..., ...) = (R \sin (q_1 + \alpha(t)) (- \dot \alpha(t)), ..., ...) $
$(-R \cos (q_1 + \alpha(t))\ \dot \alpha(t), ..., ...) = (-R \cos (q_1 + \alpha(t))\ \dot \alpha(t), ..., ...)$
Come vedi non e' nulla di complicato (si fa per dire), basta mettere in fila per bene le cose e capire chi e' chi, e cosa e' cosa.
Quinzio posso dire che era meno difficile del previsto? La difficoltà sta nel fatto che la teoria è super generale, mentre gli esercizi e gli esempi molto spesso presentano situazioni molto meno complesse e più specifiche. Cioè in realtà è sì difficile, ma se come ho scritto anche l'altra volta sul forum di matematica, ci si riesce a mettere nella situazione più semplice ammessa dalle ipotesi di partenza e da lì lavorare sulla dimostrazione allora poi tutto risulta più semplice. Comunque adesso scrivo il messaggio con tutti i calcoli così che il thread raggiunga la sua fine
$q_1 = \gamma, Q_1 = q_1+\alpha(t)$. Ogni tanto utilizzerò la sostituzione $\beta = q_1+\alpha t$ e ometterò talvolta la dipendenza dal tempo di $\alpha(t)= \alpha, \dot \alpha(t) = \dot \alpha$. Tenendo a mente tutto ciò si ottiene:
$\bb X(q_1,t) = \{ (x_1 = Rcos(q_1+\alpha(t))),(x_2 = Rsin( q_1+\alpha(t) ) ),(x_3 = \lambda q_1) :}$
$\tilde\bb X(Q_1) = \{ (x_1 = Rcos(Q_1)),(x_2 = Rsin( Q_1 ) ),(x_3 = \lambda (Q_1-\alpha(t))) :}$
calcoliamo tutte le derivate richieste per la dimostrazione:
$\frac{\partial \bb X}{\partial t} = \{ ( -Rsin(\beta)\dot \alpha),( Rcos( \beta )\dot \alpha ),(0) :} , \frac{\partial \tilde \bb X}{\partial t} = \{ ( 0),( 0),(-lambda \dot \alpha(t)) :}, \frac{\partial \bb X}{\partial q_1} = \{ ( -Rsin\beta ),( Rcos\beta ),(\lambda) :},\frac{\partial q_1}{\partial t} = -\dot alpha(t)$
Riscriviamo quindi la:
$\frac{\partial \vec \bar X}{\partial t}-\frac{\partial \vec X}{\partial t} = \sum_{k = 1}^{l} \frac{\partial \vec X}{\partial q_k} \frac{\partial q_k}{\partial t}$, ricordando che la sommatoria a secondo membro per noi ha solo un termine:
$(0,0,-lambda \dot \alpha(t))-(-Rsin\beta \dot \alpha, Rcos\beta \dot \alpha,0) = (Rsin\beta \dot \alpha, -Rcos\beta \dot \alpha,-\lambda \dot \alpha(t)) = -\dot \alpha(t) ( -Rsin\beta , Rcos\beta ,\lambda)$
Q.E.D
$\bb X(q_1,t) = \{ (x_1 = Rcos(q_1+\alpha(t))),(x_2 = Rsin( q_1+\alpha(t) ) ),(x_3 = \lambda q_1) :}$
$\tilde\bb X(Q_1) = \{ (x_1 = Rcos(Q_1)),(x_2 = Rsin( Q_1 ) ),(x_3 = \lambda (Q_1-\alpha(t))) :}$
calcoliamo tutte le derivate richieste per la dimostrazione:
$\frac{\partial \bb X}{\partial t} = \{ ( -Rsin(\beta)\dot \alpha),( Rcos( \beta )\dot \alpha ),(0) :} , \frac{\partial \tilde \bb X}{\partial t} = \{ ( 0),( 0),(-lambda \dot \alpha(t)) :}, \frac{\partial \bb X}{\partial q_1} = \{ ( -Rsin\beta ),( Rcos\beta ),(\lambda) :},\frac{\partial q_1}{\partial t} = -\dot alpha(t)$
Riscriviamo quindi la:
$\frac{\partial \vec \bar X}{\partial t}-\frac{\partial \vec X}{\partial t} = \sum_{k = 1}^{l} \frac{\partial \vec X}{\partial q_k} \frac{\partial q_k}{\partial t}$, ricordando che la sommatoria a secondo membro per noi ha solo un termine:
$(0,0,-lambda \dot \alpha(t))-(-Rsin\beta \dot \alpha, Rcos\beta \dot \alpha,0) = (Rsin\beta \dot \alpha, -Rcos\beta \dot \alpha,-\lambda \dot \alpha(t)) = -\dot \alpha(t) ( -Rsin\beta , Rcos\beta ,\lambda)$
Q.E.D
Ringrazio enormemente Quinzio per l'aiuto datomi su questa dimostrazione. Appreciate it a lot 
"SteezyMenchi":
Ringrazio enormemente Quinzio per l'aiuto datomi su questa dimostrazione. Appreciate it a lot
Mi fa piacere quando qualcuno capisce qualcosa di piu' di matematica o di scienze.
Pero'... scrivi Q.E.D., ma non so se abbiamo davvero finito....
E questo ?
Adesso arrivano in problemi: il libro riporta la proposizione:
La proiezione di $V^"*"$ sullo spazio normale è indipendente dal sistema di coordinate lagrangiane e lo dimostra così (non so bene cosa si intende con proiezione sullo spazio normale siccome non ho la minima idea di come visualizzare la velocità di trascinamento e per questo volevo affidarmi alla dimostrazione matematica):
Nell'esercizio l'autore dimostra questo fatto ? Se si, come lo fa ?
Mi farebbe ancora piu' piacere se tu spiegassi a parole che forma ha il vincolo, e, se prendiamo come esempio $\alpha(t)= t$, mi piacerebbe che spiegassi:
a) cosa fa il vincolo (ovviamente rispetto a quando $\alpha(t) = 0$) nel caso del sistema di coordinate (langrangiane) originale, e
b) cosa fa il vincolo dopo la trasformazione delle coordinate.
A parole, non e' necessario scrivere nessuna formula difficile e oscura.
Stavo studiando la differenziabilità e la relazione con la continuità e la derivabilità tutto tranquillo e mi poni domande così complicate:
Allora sarò sincero non so come rispondere alle tue domande (in particolare quella sulla forma del vincolo mi sembra davvero impossibile): l'unica cosa che riesco a notare e che la differenza tra le velocità di trascinamento relative alle due trasformazioni delle coordinate ci ha restituito un vettore che appartiene allo spazio tangente. Dalla definizione di spazio tangente allora deduco che tale vettore ha proiezione nulla sullo spazio normale. Da questo deduco che le velocità di trascinamento hanno le componenti sullo spazio normale uguali e da qui l'asserto dimostrato credo.
Allora sarò sincero non so come rispondere alle tue domande (in particolare quella sulla forma del vincolo mi sembra davvero impossibile): l'unica cosa che riesco a notare e che la differenza tra le velocità di trascinamento relative alle due trasformazioni delle coordinate ci ha restituito un vettore che appartiene allo spazio tangente. Dalla definizione di spazio tangente allora deduco che tale vettore ha proiezione nulla sullo spazio normale. Da questo deduco che le velocità di trascinamento hanno le componenti sullo spazio normale uguali e da qui l'asserto dimostrato credo.
Per il resto non saprei come risponderti: il vincolo, per esempio nel caso che tu hai definito "b", aumenterebbe, all'aumentare del tempo $t$ il modulo della velocità di trascinamento (la direzione sarebbe da determinare), nel caso $\alpha(t) = t$, tuttavia esso non agirebbe né sulla velocità di trascinamento né su quella virtuale. Tuttavia agirebbe, in entrambi i casi, sulla proiezione della velocità di trascinamento sulla direzione del vettore binormale.
Non penso ci sia un modo per descrivere cosa fa il vincolo: continuo a non capire come si potrebbe determinarne la forma???
Il vincolo agisce sulle due componenti $x_1, x_2$ del punto nel sistema originale, mentre dopo la trasformazione, agisce solamente sulla terza componente del punto. Non so se siano coincidenze o se ci sia qualche motivazione a livello puramente matematico/geometrico?
Non penso ci sia un modo per descrivere cosa fa il vincolo: continuo a non capire come si potrebbe determinarne la forma???
Il vincolo agisce sulle due componenti $x_1, x_2$ del punto nel sistema originale, mentre dopo la trasformazione, agisce solamente sulla terza componente del punto. Non so se siano coincidenze o se ci sia qualche motivazione a livello puramente matematico/geometrico?
Potrei conoscere quali sono le tue conclusioni Quinzio (a parole ovviamente, senza formule oscure e calcoli complessi). Avrei voglia di sapere cosa un individuo con vasta conoscenza matematica affronta argomenti di fisica come questi. Probabilmente avrai già capito come agisce tale vincolo e che forma ha, altrimenti non avresti fatto quelle domande. Sono sicuro che a te sembreranno cose abbastanza evidenti, ma non a me purtroppo.
"SteezyMenchi":
Potrei conoscere quali sono le tue conclusioni Quinzio (a parole ovviamente, senza formule oscure e calcoli complessi).
Forse ti ho messo sotto pressione mentre ti stavi impegnando in altre materie.
Domani ti rispondo, per adesso forse e' meglio fare altro. Tipo andare a dormire.
"SteezyMenchi":
Potrei conoscere quali sono le tue conclusioni Quinzio
Ok, pero' a volte mi impensierisce gia' vedere come vengono usate le parole. Non sono "mie" conclusioni, ci sono le risposte a domande precise, perche' per fortuna in matematica non esistono risposte vaghe. Se la domanda e' "quanto fa 1+1 ?", non ci sono "mie" conclusioni, o tue, c'e' la risposta esatta, e nient'altro.
(a parole ovviamente, senza formule oscure e calcoli complessi).
Anche qui, non e' che adesso diventa una regola quella di dire le cose a parole. Se uno capisce le formule tanto meglio, ma se ci sono delle difficolta' bisogna ricorrere ad altri metodi.
Avrei voglia di sapere cosa un individuo con vasta conoscenza matematica affronta argomenti di fisica come questi.
Purtroppo non so se c'e' una risposta chiara a questa domanda. La risposta e' che si usano le conoscenze pregresse,quelle che uno ha gia' nella sua testa, e quelle che mancano si cerca di recuperarle rapidamente usando libri, testi, appunti, esercizi, tutto quello che puo servire.
La mia sensazione e' che di manchino delle basi solide per affrontare questi argomenti.
Le basi ce le hai, si vede, anche perche' si vede che ci metti dell'impegno, rimanendo anche al Sabato sera a studiare e applicarti, chiedi quello che non capisci.
Forse sono basi non troppo solide, almeno, non sono abbastanza solide per un argomento come questo.
Come vedi l'autore del libro non fa sconti, ne' ti prende per mano e ti fa vedere ogni passo che devi fare, e il libro non e' fatto "per principianti". Per cui per affrontare un libro del genere, servono delle basi solide.
La mia sensazione e' che tu prenda tante formule, o proposizioni, o dimostrazioni come dei dogmi, come degli assiomi, delle verita' che l'autore ha preso chissa dove. In realta' in matematica tutto va dimostrato giustificato e compreso in maniera cristallina.
Ad esempio, quando nel libro si parla di vincolo, non accontentarti di pensare "vabbeh, c'e' un vincolo, chissa' cos'e' o come e' fatto, non lo so tiriamo dritto". Cerca sempre di riportare tutto a dei concetti familiari. Non sempre e' possibile, anzi tante volte e' praticamente impossibile, ma di solito gli esercizi e gli esempi dei libri sono fatti in modo da essere ancora semplici e maneggevoli.
Probabilmente avrai già capito come agisce tale vincolo e che forma ha, altrimenti non avresti fatto quelle domande. Sono sicuro che a te sembreranno cose abbastanza evidenti, ma non a me purtroppo.
Va bene, ora veniamo alle famose risposte che ti avevo fatto.
Che forma ha ? Il vincolo ha la forma di una molla, o una forma elicoidale, se preferisci.
Cosa fa il vincolo ? Si muove. Si sposta nello spazio. Non sta fermo.
Come si muove prima della trasformazione ? Gira su se stesso, gira attorno al suo asse (immagina di prendere in mano una vite (o un bullone) e di ruotarla tra le dita: il filetto della vite e' l'elica, la molla che ruota su se stessa).
Come si muove dopo la trasformazione ? Trasla, si muove lungo il suo asse, senza ruotare piu'. Immagina di muovere la vite avanti e indietro senza ruotarla.
Non penso ci sia un modo per descrivere cosa fa il vincolo: continuo a non capire come si potrebbe determinarne la forma???
Se vuoi ti faccio degli altri esempi semplici, per fare altri esercizi, dimmi tu.
Questo rispecchia quello che ho sempre pensato dall'inizio dopo aver visto l'esempio: a me queste equazioni ricordano esattamente quelle dell'elica cilindrica fatta di recente ad analisi: quindi il vincolo è come avevo già inteso una curva in questo caso: la terza componente iniettiva fa crescere la coordinata dell'asse $z$ costantemente (quindi l'elica avrà un certo passo specifico $2\pi \lambda $ se ricordo bene, potrei sbagliarmi)
l'unica cosa che non mi torna è perché dopo la trasformazione trasli, quale termine è dovuto alla traslazione?
Intendi tipo così (è un sito per rappresentare curve, superfici, ecc ecc). Quando parli di elica che possiede un moto di pura traslazione intendi un qualcosa del genere:
https://www.math3d.org/IjIcuNVTY
Se la mia intuizione è corretta è proprio il termine $\alpha(t)$ in $Q_1-\alpha(t)$ che mi da la traslazione dopo il cambio di coordinate.
Domanda: se non ci fosse quel termine mi troverei di fronte ad un'elica che ruota su se stessa oppure no?
Come sappiamo che nel caso del sistema originale (quando il termine \alpha(t) è nullo) l'elica sta ruotando su se stessa? A me non sembra che ruoti. Forse intendi quando $\alpha(t) \ne 0$
In sintesi non capisco da dove hai capito che l'elica ruota se stessa. Al di là dei casi specifici, intendo. Se potessi mettere un link come il mio dove riesci a far ruotare l'elica (io non ci riesco) così riesco a vedere l'equazione che hai inserito
l'unica cosa che non mi torna è perché dopo la trasformazione trasli, quale termine è dovuto alla traslazione?
Intendi tipo così (è un sito per rappresentare curve, superfici, ecc ecc). Quando parli di elica che possiede un moto di pura traslazione intendi un qualcosa del genere:
https://www.math3d.org/IjIcuNVTY
Se la mia intuizione è corretta è proprio il termine $\alpha(t)$ in $Q_1-\alpha(t)$ che mi da la traslazione dopo il cambio di coordinate.
Domanda: se non ci fosse quel termine mi troverei di fronte ad un'elica che ruota su se stessa oppure no?
Come sappiamo che nel caso del sistema originale (quando il termine \alpha(t) è nullo) l'elica sta ruotando su se stessa? A me non sembra che ruoti. Forse intendi quando $\alpha(t) \ne 0$
In sintesi non capisco da dove hai capito che l'elica ruota se stessa. Al di là dei casi specifici, intendo. Se potessi mettere un link come il mio dove riesci a far ruotare l'elica (io non ci riesco) così riesco a vedere l'equazione che hai inserito
Avevamo 4 casi
1-) Sistema di coord. originale con termine $\alpha(t) = 0$
2-) Sistema di coord. originale con termine $\alpha(t) = t$
3-) Sistema di coord. trasformate con termine $\alpha(t) = 0$
4-)Sistema di coord. trasformate con termine $\alpha(t) = t$
Tu me ne hai descritti solo due però, avrei bisogno che distinguessi così in maniera da capire precisamente cosa accade in ognuno di essi se hai tempo di farlo.
E se hai voglia chiaramente . Comunque ho intenzione di mostrare questo esempio al professore insieme alla tue spiegazioni finali se sei d'accordo. In ogni caso, direi che mi hai aiutato enormemente e ti ringrazio anche per tutti gli altri feedback nel messaggio 
Arigatou gozaimasu
La cosa veramente triste è che il prof ha completamente ignorato questa dimostrazione e anche l'esempio. Continua ad andare avanti spedito senza fermarsi su molte cose, io invece sto cercando di vedere (nel poco tempo che mi rimane a disposizione al di fuori dei 4 corsi) più o meno tutti gli esempi e le dimostrazioni che a me sembrano importanti. E per questo che ultimamente sto molto sul forum in generale
1-) Sistema di coord. originale con termine $\alpha(t) = 0$
2-) Sistema di coord. originale con termine $\alpha(t) = t$
3-) Sistema di coord. trasformate con termine $\alpha(t) = 0$
4-)Sistema di coord. trasformate con termine $\alpha(t) = t$
Tu me ne hai descritti solo due però, avrei bisogno che distinguessi così in maniera da capire precisamente cosa accade in ognuno di essi se hai tempo di farlo.
E se hai voglia chiaramente
. Comunque ho intenzione di mostrare questo esempio al professore insieme alla tue spiegazioni finali se sei d'accordo. In ogni caso, direi che mi hai aiutato enormemente e ti ringrazio anche per tutti gli altri feedback nel messaggio Arigatou gozaimasu
La cosa veramente triste è che il prof ha completamente ignorato questa dimostrazione e anche l'esempio. Continua ad andare avanti spedito senza fermarsi su molte cose, io invece sto cercando di vedere (nel poco tempo che mi rimane a disposizione al di fuori dei 4 corsi) più o meno tutti gli esempi e le dimostrazioni che a me sembrano importanti. E per questo che ultimamente sto molto sul forum in generale
"SteezyMenchi":
Avevamo 4 casi
1-) Sistema di coord. originale con termine $\alpha(t) = 0$
2-) Sistema di coord. originale con termine $\alpha(t) = t$
3-) Sistema di coord. trasformate con termine $\alpha(t) = 0$
4-)Sistema di coord. trasformate con termine $\alpha(t) = t$
Tu me ne hai descritti solo due però, avrei bisogno che distinguessi così in maniera da capire precisamente cosa accade in ognuno di essi se hai tempo di farlo.
Beh, non e' molto difficile. Nell' 1) e nel 3) il vincolo e' fermo.
Nel 3) ruota attorno all'asse e nel 4) trasla lungo l'asse $x_3$.
Il grafico animato che hai fatto va benissimo, ma va migliorato.
Te ne lascio un altro:
https://www.math3d.org/WhJnv9f5s
Ci sono 4 "oggetti": i primi 2 di colore blu sono prima della trasformazione e sono il vincolo (la molla) e l'origine della coordinata lagrangiana (il pallino blu).
Gli altri due di colore rosso sono dopo la trasformazione.
Quello che dovresti fare e':
1- accendere solo i blu, prima della trasformazione e vedere che tutto ruota, sia la molla che il pallino.
2- accendere solo i rossi e vedere che gli stessi oggetti traslano, sia la molla che il pallino.
3- poi accendere tutto e vedere che il vincolo (la molla) non viene modificato dalla trasformazione, e lo vedi perche' sono esattamente sovrapposti. Chiaramente devi immaginare che la molla ha lunghezza infinita, mentre nel grafico se ne vede solo un pezzo. Se la molla fosse effettivamente infinita, non vedresti alcuna differenza.
Invece i due pallini si spostano tra di loro.
E questo e' coerente con quello che abbiamo fatto !
Siccome abbiamo fatto una trasformazione della coordinata lagrangiana vediamo l'origine della coordinata che si sposta (i due pallini). Il vincolo non deve modificarsi perche' non abbiamo fatto una trasformazione delle coordinate cartesiane dello spazio $\RR^3$.
Se si vedessero le due molle che si sdoppiano ci sarebbe qualcosa che non va.
Questi concetti dovresti averli molto chiari in mente.
E se hai voglia chiaramente
Arigatou gozaimasu
La cosa veramente triste è che il prof ha completamente ignorato questa dimostrazione e anche l'esempio. Continua ad andare avanti spedito senza fermarsi su molte cose, io invece sto cercando di vedere (nel poco tempo che mi rimane a disposizione al di fuori dei 4 corsi) più o meno tutti gli esempi e le dimostrazioni che a me sembrano importanti. E per questo che ultimamente sto molto sul forum in generale
Si capisco che questi argomenti non sono dei piu' semplici. Pero' e' anche vero che sei all'universita' e non alle elementari. Sta a te capire quello che stai facendo e cercare soluzioni e risposte. Molti argomenti vengono dati per scontati, tipo quelli di analisi I e II, anche se sono stati fatti solo di sfuggita durante i corsi. Tieni presente che con questo esercizio stiamo coprendo 3 pagine del libro, ma il libro ne ha 700 di pagine in tutto.
Grazie per la precisazione sulla staticità o meno del vincolo (ora è chiaro). Davvero ottimi i grafici che hai fatto (io non lo so usare ancora bene il sito purtroppo). Usare una superficie parametrizzata per la coordinata è una grande idea
Per il resto non so come ringraziarti per tutto quello che hai fatto per questo thread.
Ho parlato col professore e ha detto (nei 5-6 minuti che mi ha concesso) che le cose scritte da te sulla forma del vincolo (senza andare nel dettaglio dei 4 casi) sono perfettamente corrette e per quanto riguarda la dimostrazione ha detto che i calcoli son giusti. E ha detto infine che per moltissima parte i vincoli che incontreremo(incontrerò per meglio dire) non presenteranno dipendenza esplicita dal tempo (vincoli fissi) e che questo esempio è solo per far apprezzare la teoria. Mi aspettavo una reazione migliore, se solo avessi potuto mostrargli i grafici che hai creato hahaha, sappi che io ho apprezzato molto di più i tuoi sforzi
Per il resto non so come ringraziarti per tutto quello che hai fatto per questo thread.
Ho parlato col professore e ha detto (nei 5-6 minuti che mi ha concesso) che le cose scritte da te sulla forma del vincolo (senza andare nel dettaglio dei 4 casi) sono perfettamente corrette e per quanto riguarda la dimostrazione ha detto che i calcoli son giusti. E ha detto infine che per moltissima parte i vincoli che incontreremo(incontrerò per meglio dire) non presenteranno dipendenza esplicita dal tempo (vincoli fissi) e che questo esempio è solo per far apprezzare la teoria. Mi aspettavo una reazione migliore, se solo avessi potuto mostrargli i grafici che hai creato hahaha, sappi che io ho apprezzato molto di più i tuoi sforzi
Bene, abbiamo avuto anche la conferma del prof. e la rassicurazione che i vincoli mobili non saranno trattati, quindi puoi dormire sonni meno agitati.
In generale non aspettarti troppo dai prof., purtroppo la maggior parte non apprezza quando lo studente va oltre quello che dovrebbe fare perche' si sentono sminuiti nella loro autorita' e altri discordi ameni di questo genere.
In generale, abituati a vederli come dei dottori (dei medici). Vai da loro quando hai davvero bisogno, altrimenti fanne a meno, e non andarci anche con la soluzione al tuo problema.
In generale non aspettarti troppo dai prof., purtroppo la maggior parte non apprezza quando lo studente va oltre quello che dovrebbe fare perche' si sentono sminuiti nella loro autorita' e altri discordi ameni di questo genere.
In generale, abituati a vederli come dei dottori (dei medici). Vai da loro quando hai davvero bisogno, altrimenti fanne a meno, e non andarci anche con la soluzione al tuo problema.
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