Coordinate, distanze, oggetti
Nelle mie intenzioni, le linee viola e blu, sotto rappresentate in un sistema di coordinate cartesiane, sono rette che corrono alla stessa distanza.
La metrica del piano dovrebbe essere:
\(\displaystyle ds^2= dx^2/y + dy^2 \)
Costruisco in Y=0 delle bacchette uguali che coprono la distanza tra le linee.
Quindi, conscio di vivere su un piano che nulla ha a vedere con la realtà fisica, le sposto altrove, e mi chiedo se posta l'estremità di una bacchetta sulla retta viola, l'altra estremità comunque raggiunge la retta blu.
La metrica del piano dovrebbe essere:
\(\displaystyle ds^2= dx^2/y + dy^2 \)
Costruisco in Y=0 delle bacchette uguali che coprono la distanza tra le linee.
Quindi, conscio di vivere su un piano che nulla ha a vedere con la realtà fisica, le sposto altrove, e mi chiedo se posta l'estremità di una bacchetta sulla retta viola, l'altra estremità comunque raggiunge la retta blu.
Risposte
Per $y=0$ la metrica diverge e questo è un problema.
Un altro problema è usare le "bacchette". Cosa sono? Io rimarrei al concetto di distanza.
Qui hai definito con quella metrica una superficie astratta di tensore metrico [tex]g_{ij}=\begin{pmatrix} \frac{1}{y} &0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}[/tex]. Ma su questa strada, qui, al momento, non è necessario proseguire.
Misuriamo invece la lunghezza, per esempio, del segmento orizzontale di estremi $(0,k)$ e $(a,k)$ (con $a>0$, $k>0$) che riecheggia i segmenti che hai disegnato tu.
Una parametrizzazione di quel segmento è [tex]\left\{\begin{matrix} x=t\\ y=k \end{matrix}\right.[/tex], con $t \in [0,a]$.
La lunghezza del segmento, nella metrica presente, è:
[tex]l=\int _{segmento} ds = \int _{segmento} \sqrt{\frac{1}{y}dx^2+dy^2}=\int _0^a\sqrt{\frac{1}{y}\dot x^2+\dot y^2}dt=\int_0^a \sqrt{\frac{1}{k}}dt=a \sqrt{\frac{1}{k}}[/tex].
Si vede bene che la metrica non è euclidea e, più ti avvicini a $y=0$ (cioè con $k\rightarrow 0$), più la lunghezza aumenta di uno stesso segmento orizzontale.
Io, salvo errori, la questione la vedrei così
Un altro problema è usare le "bacchette". Cosa sono? Io rimarrei al concetto di distanza.
Qui hai definito con quella metrica una superficie astratta di tensore metrico [tex]g_{ij}=\begin{pmatrix} \frac{1}{y} &0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}[/tex]. Ma su questa strada, qui, al momento, non è necessario proseguire.
Misuriamo invece la lunghezza, per esempio, del segmento orizzontale di estremi $(0,k)$ e $(a,k)$ (con $a>0$, $k>0$) che riecheggia i segmenti che hai disegnato tu.
Una parametrizzazione di quel segmento è [tex]\left\{\begin{matrix} x=t\\ y=k \end{matrix}\right.[/tex], con $t \in [0,a]$.
La lunghezza del segmento, nella metrica presente, è:
[tex]l=\int _{segmento} ds = \int _{segmento} \sqrt{\frac{1}{y}dx^2+dy^2}=\int _0^a\sqrt{\frac{1}{y}\dot x^2+\dot y^2}dt=\int_0^a \sqrt{\frac{1}{k}}dt=a \sqrt{\frac{1}{k}}[/tex].
Si vede bene che la metrica non è euclidea e, più ti avvicini a $y=0$ (cioè con $k\rightarrow 0$), più la lunghezza aumenta di uno stesso segmento orizzontale.
Io, salvo errori, la questione la vedrei così
Grazie, ho cose da masticare ora.
Mettermi a fare le bacchette in k=1, e occuparmi solo di k>1 è una strada che mi consigli?
E scusa se insisto con le bacchette, ma ho bisogno di toccare qualcosa!!
Mettermi a fare le bacchette in k=1, e occuparmi solo di k>1 è una strada che mi consigli?
E scusa se insisto con le bacchette, ma ho bisogno di toccare qualcosa!!
Io, le bacchette le lascierei stare...
Per precisare, il valore $l$ che ho calcolato sopra, non è la lunghezza del segmento in questione sul piano euclideo di coordinate $(x,y)$ (che è $a$), ma è la lunghezza della linea mappata dal segmento sulla superficie astratta di cui hai dato la metrica. Questo è il fatto fondamentale.
Per precisare, il valore $l$ che ho calcolato sopra, non è la lunghezza del segmento in questione sul piano euclideo di coordinate $(x,y)$ (che è $a$), ma è la lunghezza della linea mappata dal segmento sulla superficie astratta di cui hai dato la metrica. Questo è il fatto fondamentale.
Non so bene come ci sei riuscito, ma ora sono convinto che fare bacchette e spostarle è una scemenza.
Grazie,
Grazie,
Sì. Non è l'approccio giusto
Sulla superficie in questione, come in tutte le varietà riemanniane a tutte le dimensioni, una cosa fondamentale è definire il concetto di geodetica, cioè di linea di minima (o almeno estremale) lunghezza. L'importanza delle geodetiche è grande perché, per esempio, in RG, un punto materiale in un campo gravitazionale si muove appunto lungo una geodetica dello spaziotempo.
Come potremmo ricavare l'equazione delle geodetiche nella presente metrica? Se sei interessato, proviamo a procedere.
Sulla superficie in questione, come in tutte le varietà riemanniane a tutte le dimensioni, una cosa fondamentale è definire il concetto di geodetica, cioè di linea di minima (o almeno estremale) lunghezza. L'importanza delle geodetiche è grande perché, per esempio, in RG, un punto materiale in un campo gravitazionale si muove appunto lungo una geodetica dello spaziotempo.
Come potremmo ricavare l'equazione delle geodetiche nella presente metrica? Se sei interessato, proviamo a procedere.
Se tu sei disposto al rischio di sprecare tempo e parole, io sono interessato.
Bene, ovviamente a grandi linee e per concetti. La nostra varietà a due dimensioni di coordinate $(x,y)$ ha metrica $ds^2=\frac{1}{y}dx^2+dy^2$, con $x,y>0$.
Per geodetica si intende una curva sulla varietà che sia di lunghezza minima (o almeno estremale). Cerchiamo allora una curva sul piano $(x,y)$ che mappi tale geodetica. Questa curva avrà equazione parametrica $(x=x(t),y=y(t))$. Si tratta allora di trovare le funzioni $x(t)$ e $y(t)$.
Si può procedere in due modi: o nell'ambito del calcolo variazionale, o nell'ambito della geometria differenziale.
Fin qui tutto chiaro? Se sì, che metodo preferiresti?
ps. se fin qui non è chiaro qualcosa, è bene chiarirlo subito, perché le cose stanno per complicarsi assai
Per geodetica si intende una curva sulla varietà che sia di lunghezza minima (o almeno estremale). Cerchiamo allora una curva sul piano $(x,y)$ che mappi tale geodetica. Questa curva avrà equazione parametrica $(x=x(t),y=y(t))$. Si tratta allora di trovare le funzioni $x(t)$ e $y(t)$.
Si può procedere in due modi: o nell'ambito del calcolo variazionale, o nell'ambito della geometria differenziale.
Fin qui tutto chiaro? Se sì, che metodo preferiresti?
ps. se fin qui non è chiaro qualcosa, è bene chiarirlo subito, perché le cose stanno per complicarsi assai
Per onorare il mio avatar (Lagrange), posto, per chi è interessato, almeno il calcolo delle geodetiche sulla superficie in questione, che è dotata di metrica $ds^2=\frac{1}{y}dx^2+dy^2$, seguendo il metodo variazionale. Per il metodo di geometria differenziale è tutto un altro paio di maniche, anche se i risultati evidentemente coincidono.
La lunghezza $l$ di una generica curva $\beta$ sulla superficie che sia mappata dalla curva $\alpha=(x(t),y(t))$, con $t \in [t_1,t_1]$, è data da:
$l=\int_{t_1}^{t_2} \sqrt{\frac{1}{y} \dot x^2 + \dot y^2}dt=\int_{t_1}^{t_2} L(x,dot x, y, dot y) dt$,
dove è evidentemente $L(x,dot x, y, dot y)=\sqrt{\frac{1}{y} \dot x^2 + \dot y^2}$.
Il problema è, quindi, quello di minimizzare (o almeno estremizzare) $l$, cioè trovare $\alpha$ che minimizzi (o estremizzi) $l$. Questo problema di calcolo delle variazioni va sotto il nome di "problema di Euler-Lagrange". Tale problema ha vastissime applicazioni. Per esempio, costituisce il supporto matematico del "principio di minima azione" (o di Hamilton) dentro cui si ritrova l'intera Fisica, da Newton alla teoria delle stringhe.
Il problema di Euler-Lagrange è risolubile risolvendo (in questo caso) le seguenti equazioni:
[tex]\left\{\begin{matrix} \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot x}= \frac{\partial L}{\partial x}\\ \\ \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot y}= \frac{\partial L}{\partial y}\\ \end{matrix}\right.[/tex].
Queste sono le equazioni differenziali delle geodetiche della superficie. Purtroppo, in questo caso, come quasi sempre, si perviene ad equazioni che non sono risolubili analiticamente, ma solo numericamente
La lunghezza $l$ di una generica curva $\beta$ sulla superficie che sia mappata dalla curva $\alpha=(x(t),y(t))$, con $t \in [t_1,t_1]$, è data da:
$l=\int_{t_1}^{t_2} \sqrt{\frac{1}{y} \dot x^2 + \dot y^2}dt=\int_{t_1}^{t_2} L(x,dot x, y, dot y) dt$,
dove è evidentemente $L(x,dot x, y, dot y)=\sqrt{\frac{1}{y} \dot x^2 + \dot y^2}$.
Il problema è, quindi, quello di minimizzare (o almeno estremizzare) $l$, cioè trovare $\alpha$ che minimizzi (o estremizzi) $l$. Questo problema di calcolo delle variazioni va sotto il nome di "problema di Euler-Lagrange". Tale problema ha vastissime applicazioni. Per esempio, costituisce il supporto matematico del "principio di minima azione" (o di Hamilton) dentro cui si ritrova l'intera Fisica, da Newton alla teoria delle stringhe.
Il problema di Euler-Lagrange è risolubile risolvendo (in questo caso) le seguenti equazioni:
[tex]\left\{\begin{matrix} \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot x}= \frac{\partial L}{\partial x}\\ \\ \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot y}= \frac{\partial L}{\partial y}\\ \end{matrix}\right.[/tex].
Queste sono le equazioni differenziali delle geodetiche della superficie. Purtroppo, in questo caso, come quasi sempre, si perviene ad equazioni che non sono risolubili analiticamente, ma solo numericamente
Qui c'è una elaborazione numerica per due geodetiche di punti iniziali $(0,2)$ e $(0,5)$:
https://drive.google.com/open?id=0B93bnHiXNlz6LWYyaXQzT29Iclk.
https://drive.google.com/open?id=0B93bnHiXNlz6LWYyaXQzT29Iclk.
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