Convergenza nel senso dell'energia

[Kroldar]

Che nesso c'è tra la convergenza puntuale e la convergenza nel senso dell'energia (secondo la consueta norma di $L^2$)?
La convergenza puntuale dovrebbe implicare quella nel senso dell'energia ma non viceversa... o no?

[Luca.Lussardi]

No, la convergenza puntuale non implica mai (da sola) la convergenza $L^p$; caso mai vale il viceversa, a meno di estrazione: se una successione di funzioni converge in $L^p$, allora un'estratta converge puntualmente allo stesso limite.

[Kroldar]

Io avevo ragionato così: $f_n$ converge a $f$ puntualmente... ora consideriamo lo scarto quadratico $||f-f_n||^2$... se $f_n$ converge puntualmente a $f$ posso sostituire $f_n$ con $f$ e quindi lo scarto quadratico risulta $||f-f||^2 = ||0||^2 = 0$
Cosa c'è di errato nel mio ragionamento?

[Luca.Lussardi]

Che quello che tu chiami scarto quadratico è l'integrale del quadrato della differenza: $\int |f_n(x)-f(x)|^2dx$; nessuno ti garantisce che tale integrale vada a $0$, sebbene l'integrando vada puntualmente a $0$.

Ciò che c'è sotto è il passaggio al limite sotto il segno di integrale. Colgo l'occasione per dire che tale operazione è stata forse quella che più di tutte ha spinto all'uso dell'integrale di Lebesgue, invece di quello di Riemann.

[Kroldar]

Verooooooooo!!!
Scrivendo abitualmente la norma con il simbolo $||*||$ non avevo posto attenzione al fatto che in realtà la norma $L^p$ è un integrale