Convenzione di Einstein e derivazione

[harperf]

Salve, chiedo aiuto per un passaggio riguardo la derivazione con indici che sottostanno alla notazione di Einstein.

Il passaggio sarebbe di voler arrivare dalla prima alla seconda formula



Cioèsi vuole arrivare dalla lagrangiana relativistica (con tempo proprio) alle relative eq. di Eulero-Lagrange

Svolgo passo passo le derivazioni perché con gli indici ho i miei grossi dubbi (tutti i dubbi sono sul secondo termine e non sul primo dell'uguaglianza riportata)

Devo derivare un termine del tipo $-eA_\mu(x^\lambda)u^\mu$ rispetto a $u^\nu$

arriva al risultato: $-eA_nu(x^\lambda)$

il mio dubbio 1 è qui perché non posso derivare rispetto a $u^\mu$ ottenendo $-eA_mu(x^\lambda)$?
E se avessi scritto così sarebbe stato sbagliato?

Fatto questo derivo $-eA_nu(x^\lambda)$ rispetto al parametro $tau$ (derivata composta):

$-e(\partialA_\nu)/(partialx^\mu)(\partialx_\mu)/(partial\tau)=-e(\partialA_\nu)/(partialx^\mu)u^mu$

Dubbio 2 perché derivo rispetto a un indice $mu$ e non un indice $sigma$?
Inoltre se avessi tenuto $eA_mu(x^\lambda)$ (del dubbio uno) derivando rispetto a $mu$ trovavo $(\partialA_\nu)/(partialx^\mu)u^mu$ è sbagliato? E perché?

Ora eseguo la derivata cambiata di segno su $-eA_\mu(x^\lambda)u^\mu$ rispetto alla x (in questo caso la $x^nu$ anche qui non capisco l'indice)

e da questo processo ottengo: $(\partialA_\mu)/(partialx^\nu)u^\mu$

Ora riassemblando, raccogliendo e portando a secondo membro:

$e((\partialA_\nu)/(partialx^\mu)-(\partialA_\mu)/(partialx^\nu))u^\mu$

però se avessi usato gli indici che volevo io avrei ottenuto:

$e((\partialA_\mu)/(partialx^\mu)-(\partialA_\mu)/(partialx^\sigma))u^\mu$

però così non avrei concordanza tra indici al primo e secondo membro.

Riassumendo non capisco come decidere quando derivare per mu quando per nu quando per lambda a priori (passaggio per passaggio) se non solo arrivando alla fine e vedendo che qualcosa non torna.

[anonymous_0b37e9]

Per quanto riguarda il primo dubbio, la scrittura sottostante:

$-eA_\mux^\lambdau^\mu$

comprende una sommatoria sull'indice ripetuto $\mu$. Insomma, la scrittura ne comprende 4 più estese:

$[\lambda=0] rarr [-eA_\mux^\lambdau^\mu=-eA_0x^0u^0-eA_1x^0u^1-eA_2x^0u^2-eA_3x^0u^3]$

$[\lambda=1] rarr [-eA_\mux^\lambdau^\mu=-eA_0x^1u^0-eA_1x^1u^1-eA_2x^1u^2-eA_3x^1u^3]$

$[\lambda=2] rarr [-eA_\mux^\lambdau^\mu=-eA_0x^2u^0-eA_1x^2u^1-eA_2x^2u^2-eA_3x^2u^3]$

$[\lambda=3] rarr [-eA_\mux^\lambdau^\mu=-eA_0x^3u^0-eA_1x^3u^1-eA_2x^3u^2-eA_3x^3u^3]$

Anche per questo motivo, quando si deriva rispetto a una variabile il cui indice è ripetuto, è necessario utilizzare un altro indice, in questo caso $\nu$:

$(d(-eA_\mux^\lambdau^\mu))/(du^\nu)=-eA_\mux^\lambda\delta_\nu^mu=-eA_\nux^\lambda$

[harperf]

Ciao

Leggo solo ora la tua risposta e vorrei poterti porre alcune domande ancora. Sperando abbia voglia di aiutarmi, perché sei stato molto utile prima.

il mio dubbio ora è su questo passaggio che ho sugli appunti del professore:
(deriva l'energia cinetica)

$(\partialT)/(\partialdotq^\mu)=g_(\mu\nu)\dotq^\nu$

Ove: $T=1/2g_(\mu\nu)\dotq^\mu\dotq^\nu$

Mi confonde un po' quel derivare per lo stesso indice $\mu$, ma a conti fatti sarebbe giusto secondo te svolgerlo così? (se ho capito la tua precedente )

$(\partialT)/(\partialdotq^\lambda)=1/2g_(\mu\nu)\dotq^\mu\delta_\lambda^\nu+1/2g_(\mu\nu)\dotq^\nu\delta_\lambda^\mu=1/2g_(\mu\lambda)\dotq^\mu+1/2g_(\lambda\nu)\dotq^\nu=1/2g_(\nu\lambda)\dotq^\nu+1/2g_(\lambda\nu)\dotq^\nu=g_(\lambda\nu)\dotq^\nu$

D'altra parte posso rinominare il lambda --> nu in modo arbitrario e otterrei: $g_(\mu\nu)\dotq^nu$, qello del prof

E' giusto??
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Seconda parte, per capire meglio espando..

$1/2(g_(00)\dotq^0\dotq^0+g_(01)\dotq^0\dotq^1+g_(10)\dotq^1\dotq^0+g_(11)\dotq^1\dotq^1)$

Mettiamo di derivare $(\partialT)/(\partialdotq^0)$ mi verrebbe qualcosa del tipo:

$1/2(2g_(00)\dotq^0+g_(01)\dotq^1+g_(10)\dotq^0)$
Data la simmetria di g raddoppia poiché quello di indici 01 e 10 si sommano.

Però mi sembra un po' diverso da quello compatto perché mi sparisce il $g_(11)$ che non ha termini con $q^0$
Non capisco dove sbagli qui

Avrei pooi un'ultima considerazione ma aspetto a buttare troppa carne al fuoco, magari nel prossimo post
Grazie mille

[anonymous_0b37e9]

"harperf":
Seconda parte...

Se derivi rispetto a $dotq^0$ allora $\mu=0$. Quindi:

$(delT)/(deldotq^0)=g_(0\nu)\dotq^\nu=g_(00)\dotq^0+g_(01)\dotq^1$

Del resto, anche sviluppando:

$T=1/2(g_(00)dotq^0dotq^0+g_(01)dotq^0dotq^1+g_(10)dotq^1dotq^0+g_(11)dotq^1dotq^1)$

si ottiene lo stesso risultato. Per quanto riguarda la prima parte, proprio quello è il procedimento corretto.

[harperf]

Grazie, grazie davvero. Mi hai chiarito un dubbio che mi stava facendo impazzire.

Vorrei chiederti un ultima cosa che è sempre correlata. Diciamo che risolvendola nel modo corretto mi torna, ma vorrei capire perché il professore scriva:




Le ultime due righe sono lo sviluppo corretto, mentre la prima è quella del Prof che mi confonde, ad esempio non capisco perché compaia come secondo addendo: $(\partialx_A^i)/(\partialq\lambda)$. Non capisco come compaia quel lambda, cioè va a cambiare addirttura l'indice al q mu. non capisco proprio il suo procedimento mah.

PS: scusa se ho postato una immagine ma sono da cellulare in treno e stavo ammattendo, scusami

Grazie ancora per tutto.