Convenzione di Einstein
Ciao, ho un problema con la ocnvenzione di einstein usata in questo passaggio
Perquale motivo nella metrica inversa non si tengono rho e thetama si vaa mettere sigma. Non riesco a figurarmi bene cosa accada in modo "espanso"
Grazie per l'aiuto
Perquale motivo nella metrica inversa non si tengono rho e thetama si vaa mettere sigma. Non riesco a figurarmi bene cosa accada in modo "espanso"
Grazie per l'aiuto
Risposte
Adesso sono fuori casa, ho solo il cellulare, e sono in una coda. Ricordo che tempo fa avevo risposto ad analogo quesito, pubblicando un foglio di appunti scritti a mano. Quando torno a casa, lo cerco e ti do il link. Comunque è una semplice questione di calcolo tensoriale, si tratta di fare la somma rispetto a indici uguali in alto e in basso, come dice E. , e quindi l’indice su cui sommare varia da zero a tre.
Abbi pazienza.
Abbi pazienza.
Il link di cui ti parlavo è questo , nel quale trovi sotto spoiler del mio primo messaggio la procedura per ricavare i simboli di Christoffel dalla combinazione delle derivate prime dei coefficienti della metrica .
Il tuo dubbio è più semplice da rispondere, avevo letto in fretta . Hai scritto :
a parte il lapsus su $theta$ che non c'è , ma c'è, al primo membro del primo rigo, $A_(lambdarho) $ che moltiplica $Gamma_(munu)^rho $ , sviluppiamo questo termine secondo la convenzione di Einstein . Si ha :
$A_(lambdarho)Gamma_(munu)^rho =A_(lambda0)Gamma_(munu)^0 +A_(lambda1)Gamma_(munu)^1 +A_(lambda2)Gamma_(munu)^2 +A_(lambda3)Gamma_(munu)^3 $
come vedi , ho applicato la convenzione all'indice $rho$ ripetuto in alto e in basso, che si dice indice saturo o muto , e l'operazione si chiama anche "saturazione" o "contrazione" .
Ma esaminiamo ancora il primo rigo; vogliamo isolare il simbolo di Christoffel al primo membro, cioè vogliamo liberarci di $A_(lambdarho)$ ; come possiamo fare ? Se esistesse la divisione tra tensori, che non è definita (ma c'è qualcosa che le somiglia , si chiama "legge del quoziente": lasciamola da parte) , divideremmo primo e secondo membro per questo fattore . ( A parte il fatto che i simboli di Christoffel non sono tensori, ma ora questo non ci interessa ) . Però esiste la possibilità di moltiplicare primo e secondo membro per la metrica inversa $A^(lambdasigma)$: vediamo dove ci conduce questa scelta. Uno dei due indici alti lo devi mettere uguale a uno degli indici bassi, nel nostro caso è stato scelto $lambda$. Perchè questi due indici devono essere uguali? Perchè uno dei modi per liberarsi di alcuni fattori tensoriali è quello di contrarre : lí dobbiamo arrivare.
Ma il secondo indice alto lo devi scrivere diverso, non puoi lasciare anche questo uguale al secondo in basso , cioè non puoi moltiplicare per $A^(lambdarho)$ , altrimenti satureremmo due indici ottenendo uno scalare, e non ce ne facciamo nulla.
Per saturare un solo indice abbiamo bisogno, in questo caso, di un indice libero e un “ indice muto” su cui sommare. Allora, procedendo nel modo giusto, al primo membro avremo:
$A^(lambdasigma)A_(lambdarho) $
e questo non è altro che il simbolo $delta_(rho)^(sigma) $ di Kronecker , che vale zero per gli elementi fuori diagonale , e vale $1$ per gli elementi della diagonale principale . Questo succede perché la matrice $A^(lambdasigma)$ è la matrice inversa di $A_(lambdarho)$ ; il loro prodotto è la matrice identica. Allora , quel primo membro del primo rigo diventa :
$A^(lambdasigma)A_(lambdarho) * Gamma_(munu)^rho = delta_(rho)^(sigma) Gamma_(munu)^rho $
adesso, fai la saturazione (cioè sviluppa la somma) rispetto all'indice $rho$ : ti rimane solo il termine $Gamma_(munu)^sigma $ . Gli altri termini sono nulli, per la proprietà prima detta circa il $delta_(rho)^(sigma) $ di Kronecker.
Spero sia chiaro.
Il tuo dubbio è più semplice da rispondere, avevo letto in fretta . Hai scritto :
Per quale motivo nella metrica inversa non si tengono rho e theta ma si va a mettere sigma. Non riesco a figurarmi bene cosa accada in modo "espanso"
a parte il lapsus su $theta$ che non c'è , ma c'è, al primo membro del primo rigo, $A_(lambdarho) $ che moltiplica $Gamma_(munu)^rho $ , sviluppiamo questo termine secondo la convenzione di Einstein . Si ha :
$A_(lambdarho)Gamma_(munu)^rho =A_(lambda0)Gamma_(munu)^0 +A_(lambda1)Gamma_(munu)^1 +A_(lambda2)Gamma_(munu)^2 +A_(lambda3)Gamma_(munu)^3 $
come vedi , ho applicato la convenzione all'indice $rho$ ripetuto in alto e in basso, che si dice indice saturo o muto , e l'operazione si chiama anche "saturazione" o "contrazione" .
Ma esaminiamo ancora il primo rigo; vogliamo isolare il simbolo di Christoffel al primo membro, cioè vogliamo liberarci di $A_(lambdarho)$ ; come possiamo fare ? Se esistesse la divisione tra tensori, che non è definita (ma c'è qualcosa che le somiglia , si chiama "legge del quoziente": lasciamola da parte) , divideremmo primo e secondo membro per questo fattore . ( A parte il fatto che i simboli di Christoffel non sono tensori, ma ora questo non ci interessa ) . Però esiste la possibilità di moltiplicare primo e secondo membro per la metrica inversa $A^(lambdasigma)$: vediamo dove ci conduce questa scelta. Uno dei due indici alti lo devi mettere uguale a uno degli indici bassi, nel nostro caso è stato scelto $lambda$. Perchè questi due indici devono essere uguali? Perchè uno dei modi per liberarsi di alcuni fattori tensoriali è quello di contrarre : lí dobbiamo arrivare.
Ma il secondo indice alto lo devi scrivere diverso, non puoi lasciare anche questo uguale al secondo in basso , cioè non puoi moltiplicare per $A^(lambdarho)$ , altrimenti satureremmo due indici ottenendo uno scalare, e non ce ne facciamo nulla.
Per saturare un solo indice abbiamo bisogno, in questo caso, di un indice libero e un “ indice muto” su cui sommare. Allora, procedendo nel modo giusto, al primo membro avremo:
$A^(lambdasigma)A_(lambdarho) $
e questo non è altro che il simbolo $delta_(rho)^(sigma) $ di Kronecker , che vale zero per gli elementi fuori diagonale , e vale $1$ per gli elementi della diagonale principale . Questo succede perché la matrice $A^(lambdasigma)$ è la matrice inversa di $A_(lambdarho)$ ; il loro prodotto è la matrice identica. Allora , quel primo membro del primo rigo diventa :
$A^(lambdasigma)A_(lambdarho) * Gamma_(munu)^rho = delta_(rho)^(sigma) Gamma_(munu)^rho $
adesso, fai la saturazione (cioè sviluppa la somma) rispetto all'indice $rho$ : ti rimane solo il termine $Gamma_(munu)^sigma $ . Gli altri termini sono nulli, per la proprietà prima detta circa il $delta_(rho)^(sigma) $ di Kronecker.
Spero sia chiaro.
Ciao Shackle, si diciamo che è chiaro. In realtà direi che il dubbio si riduce al non capire perché nell'invertire la matrice si passi a scrivere il rho sigma e si lasci invariato il lambda. Perché non potrei tenere anche in quellainversa il rho?
E' solo per rispettare la convenzione di Einstein se no ne avrei due che si contraggono o c'è qualcosa di più profondo?
E' solo per rispettare la convenzione di Einstein se no ne avrei due che si contraggono o c'è qualcosa di più profondo?
"vastità":
Ciao Shackle, si diciamo che è chiaro. In realtà direi che il dubbio si riduce al non capire perché nell'invertire la matrice si passi a scrivere il rho sigma e si lasci invariato il lambda. Perché non potrei tenere anche in quellainversa il rho?
Perchè se tieni anche nell'inversa gli stessi due indici , ma entrambi controvarianti , e quindi scrivi il prodotto delle due matrici cosi :
$A^(lambdarho)A_(lambdarho) $
questo significa, dal punto di vista del calcolo tensoriale , una doppia contrazione , che ti porta ad avere infine uno scalare , come avevo già accennato. E a noi non occorre uno scalare , a noi occorre che, in questo preciso caso, il prodotto di una matrice per la sua inversa ( sai bene che i tensori del 2º ordine sono assimilabili a matrici) dia luogo alla matrice identità. Questo ce l'hai solo se scrivi :
$A^(lambdasigma)A_(lambdarho) = delta_rho^sigma$
tenendo ben presente che, nel caso in oggetto, queste quantità $A_(lambdarho)$ sono in realtà i coefficienti della metrica (in forma covariante), che generalmente si indicano con $g_(lambdarho)$ : chissà perchè all'autore del libro che usi è venuto il ghiribizzo di usare la lettera $A$ anziché $g$ !
Con questo, non voglio dire che le doppie contrazioni non esistono o non si possono fare! Ma non è questo il caso.
E' solo per rispettare la convenzione di Einstein se no ne avrei due che si contraggono o c'è qualcosa di più profondo?
Sulla faccenda della doppia contrazione, di un tensore qualsiasi, ho detto prima. Anche se andiamo un po' fuori tema, voglio dirti questo. Prendi due tensori qualsiasi, scritti in componenti[nota]so bene che è un modo un po' antico di trattare i tensori, ma c'è poco da fare : quando vai a trattare questi oggetti per farci dei calcoli , sempre sulle componenti finisci per ragionare![/nota] , ad es. $ B^(\alpha\beta) $ e $ C_(munu)$ , definiti in $T_p(M)$ , con $M$ = varietà di dimensione 4 (è solo un esempio) , e considera il loro prodotto tensoriale per componenti :
$B^(\alpha\beta)C_(munu) = D_(munu)^(alphabeta)$
ho scritto il prodotto come componenti di un tensore due volte covariante e due volte controvariante. Il rango è 4 , se la dimensione di M è pure 4 hai la bellezza di $4^4 = 256 $ componenti
! Ora contrai $mu$ con $alpha$ : il risultato è un tensore di rango 2 , (che non scrivo, tanto hai capito il meccanismo) , cioè la contrazione abbassa il rango di 2 , ogni volta . In questo nuovo tensore , hai ancora gli indici liberi $nu$ e $beta$ . Contrai anche questi , alla fine ottieni uno scalare perché il rango diventa zero. Che te ne fai ? Dipende. Se ti serviva arrivare a uno scalare, hai fatto bene. Se non ti serviva , non te ne fai nulla. Per fortuna , in RG incontri solo una volta un tensore di rango 4, ed è il tensore di curvatura di Riemann ; per fortuna, ha tante simmetrie che le 256 componenti si riducono di molto . Per fortuna , non è questo il nostro argomento !
Anche da Riemann si arriva , mediante doppia contrazione , allo scalare di curvatura di Ricci, che studierai più in avanti . Ma torniamo a noi.
Di più profondo , posso aggiungere che il primo membro del primo rigo a stampa :
$A_(lambdarho)Gamma_(munu)^rho $
che io scriverei meglio cosi : $g_(lambdarho)Gamma_(munu)^rho $
non è altro che il simbolo di Christoffel di prima specie . Infatti i coefficienti della metrica hanno la "prerogativa" di alzare o abbassare gli indici di co-controvarianza , per cui questa scritta equivale a :
$g_(lambdarho)Gamma_(munu)^rho = Gamma_(munulambda)$
che è il simbolo di Christoffel di prima specie , simmetrico in $(mu, nu)$ . Da un punto di vista fisico, cambia il fatto che si può dare una interpretazione fisica abbastanza naturale del simbolo di Christoffel di seconda specie , e cioè di $ Gamma_(munu)^rho $ : però a questo punto dovremmo parlare di derivazione covariante dei tensori...Non altrettanto succede con quello di prima specie , che in generale non si adopera quasi mai .
Sei sempre molto chiaro, grazie mille per il tuo aiuto. Sei stato fondamentale 
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