Contrazione delle lunghezze
Ciao,
vorrei porvi una domanda su un fenomeno fisico, ovvero quello della contrazione delle lunghezze nella relatività speciale e non capisco un passaggio fatto dal libro.
La mia idea è avere un osservatore O fermo che misura una L lunghezza e un osservatore in moto O' (sistemi inerziali fra loro).
A questo punto poiché l'osservatore O compie una misura di lunghezza assumerà come differenza di due estremi della sbarra L presi nella sua istantaneità del tempo. cioè $t_1=t_2$ con t1 misura del primo estremo e t2 del secondo (estremi che indicherò come $x_2, x_1$.
Fatto questo applicando la trasformazione di Lorentz:
$x'_1=\gamma(x_1-vt_1)$
$x'_2=\gamma(x_2-vt_2)$
dunque $x'_2-x'_1=\gamma(x_2-vt_1-(x_1-vt_2))=\gamma(x_2-x_1)$ poiché $t_1=t_2$, ma questo parrebbe dire ci sia una dilatazione della lunghezza poiché $x_2-x_1$ è la L a riposo.
Guardando sul libro vedo invece che fa un passaggio opposto (in un esempio):
Prende l'osservatore O' in moto e considera una sbarretta solidale con L'=$x'_2-x'_1$
Applica Lorentz su questi:
$x'_1=\gamma(x_1-vt_1)$
$x'_2=\gamma(x_2-vt_2)$
e dalla differenza consideranto t1=t2 esce proprio
$x'_2-x'_1\gamma(x_2-x_1)$
che questa volta è da intendere come $x_2-x_1$ lunghezza non a riposo.
Ma questo metodo non mi torna molto, non capisco infatti perché se stà misurando la lunghezza di O' vada a prendere la lunghezza nella contemporaeità su O.
Mentre nel mio metodo mi sembra più coerente, infatti misuro nella contemporaneità su O la lunghezza della sbarretta a riposo, applico il boost di Lorentz e solo così troverei cosa vede O', ma viene sbagliato.
vorrei porvi una domanda su un fenomeno fisico, ovvero quello della contrazione delle lunghezze nella relatività speciale e non capisco un passaggio fatto dal libro.
La mia idea è avere un osservatore O fermo che misura una L lunghezza e un osservatore in moto O' (sistemi inerziali fra loro).
A questo punto poiché l'osservatore O compie una misura di lunghezza assumerà come differenza di due estremi della sbarra L presi nella sua istantaneità del tempo. cioè $t_1=t_2$ con t1 misura del primo estremo e t2 del secondo (estremi che indicherò come $x_2, x_1$.
Fatto questo applicando la trasformazione di Lorentz:
$x'_1=\gamma(x_1-vt_1)$
$x'_2=\gamma(x_2-vt_2)$
dunque $x'_2-x'_1=\gamma(x_2-vt_1-(x_1-vt_2))=\gamma(x_2-x_1)$ poiché $t_1=t_2$, ma questo parrebbe dire ci sia una dilatazione della lunghezza poiché $x_2-x_1$ è la L a riposo.
Guardando sul libro vedo invece che fa un passaggio opposto (in un esempio):
Prende l'osservatore O' in moto e considera una sbarretta solidale con L'=$x'_2-x'_1$
Applica Lorentz su questi:
$x'_1=\gamma(x_1-vt_1)$
$x'_2=\gamma(x_2-vt_2)$
e dalla differenza consideranto t1=t2 esce proprio
$x'_2-x'_1\gamma(x_2-x_1)$
che questa volta è da intendere come $x_2-x_1$ lunghezza non a riposo.
Ma questo metodo non mi torna molto, non capisco infatti perché se stà misurando la lunghezza di O' vada a prendere la lunghezza nella contemporaeità su O.
Mentre nel mio metodo mi sembra più coerente, infatti misuro nella contemporaneità su O la lunghezza della sbarretta a riposo, applico il boost di Lorentz e solo così troverei cosa vede O', ma viene sbagliato.
Risposte
La differenza sta nel chi fa la misura e nel "quando" viene fatta. Tu dici che misuri nella contemporaneità di O e dopo applichi la trasformazione. Quindi la domanda spontanea è: sei sicuro che ciò che per O è contemporaneo lo è anche per O'?
No certo, ciò che è contemporaneo per O non lo è per O' in tal caso. Però nelle formule (nel primo metodo di svolgimento) io sto misurando L in O, quindi prendo la sua (di O) contemporaneità. Fatto questo faccio il boost di Lorentz, quindi vado semplicemente a sostituire quando richiede la formula e dato che t1=t2 per ipotesi si elidono i due termini.
Peccato però che così facendo mi si dilati la lunghezza per O', infatti ho applicato il boost ai dati "rilevati" da O (che ha la lunghezza propria o a riposo) e non trovo il problema
Peccato però che così facendo mi si dilati la lunghezza per O', infatti ho applicato il boost ai dati "rilevati" da O (che ha la lunghezza propria o a riposo) e non trovo il problema
Se O' non concorda su quando fare la misura, non puoi procedere in quel modo. Se vuoi mantenere quella configurazione devi (per semplicità poni un estremo dell'asta nell'origine, così hai un punto a zero e possiamo valutare solo un estremo $x$) ricavare la traiettoria oraria dell' estremo come osservata da O' e trovare la sua intersezione con $t'=0$. Cioè per O $x(t)=L$ e allora trasformando con l'inversa $x(t)= \gamma (x'+vt')$ ottieni che la curva oraria in O' è $x'(t')= L/\gamma - vt'$ ed ora puoi sì porre $t'=0$ e vedere che l'estremo appare contratto.
Ti ringrazio.
Non riesco però a capire perché nell'altro metodo risolutivo non giunga a questo inghippo.
Inoltre quando faccio la dilatazione dei tempi prendo proprio:
$t_2-t_1$ misurati in O nello stesso punto spaziale, faccio la trasformazione dei tempi e scrivo $t'_1,t'_2$ in funzione di t2 e t1 e vado a sostituirli senza pormi problemi, giungo alla soluzione partendo dall'ipotesi che x1=x2 ma nessuno dei due deve concordare, prendo solo il dato in O e lo introduco nella formula.
Non riesco a vedere l'inghippo devi perdonarmi
Non riesco però a capire perché nell'altro metodo risolutivo non giunga a questo inghippo.
Inoltre quando faccio la dilatazione dei tempi prendo proprio:
$t_2-t_1$ misurati in O nello stesso punto spaziale, faccio la trasformazione dei tempi e scrivo $t'_1,t'_2$ in funzione di t2 e t1 e vado a sostituirli senza pormi problemi, giungo alla soluzione partendo dall'ipotesi che x1=x2 ma nessuno dei due deve concordare, prendo solo il dato in O e lo introduco nella formula.
Non riesco a vedere l'inghippo
devi perdonarmi
Nell'altro metodo cambia il soggetto che impone la contemporaneità. Solo l'osservatore O può porre $t_1=t_2$ perché quel tempo è il suo, cosa che succede nel secondo caso. Nel tuo caso ad aver misurato l'asta è O ma poi hai voluto che fosse O' a porre la simultaneità cosa però che non gli è consentita perché quello non è il suo tempo.
OK credo di aver capito con i tuoi suggerimenti: nel secondo caso, a fissata L' (che è misurata direttamente da O' e quindi ha la sua contemporaneità) , mi chiedo sotto quella data trasformazione di Lorentz mantenendo l'intervallo temporale nullo in O a quale differenza di x2-x1 coincide in O.
Ne esce il rapporto tra le due lunghezze.
Grazie.
Ne esce il rapporto tra le due lunghezze.
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