Contrazione dei Tensori
Sono uno studente appassionato di fisica e da poco ho iniziato lo studio della relatività generale; in particolare stavo studiando la contrazione dei tensori e volevo sapere se in questo forum qualcuno poteva aiutarmi nel dimostrare che un tensore X di tipo (1, 2) si contrae in un vettore covariante Y di tipo (0, 1).
Risposte
Intendi una cosa del genere $X_i^{ij} = Y^j$ ?
Esattamente questo intendevo. Anche se ancora non ho ben chiaro il perché gli indici ripetuti se ne vanno.
È semplice.
Innanzitutto sai che secondo la convenzione di Einstein si omette il simbolo di sommatoria per evitare di appesantire la scrittura.
Quando uno stesso indice compare sia come indice di controvarianza che di covarianza, la "contrazione" non è altro che la sommatoria rispetto a quell'indice, effettuata facendo variare quell'indice ripetuto su tutte le dimensioni dello spazio ambiente.
Mi spiego meglio. Nell'esempio di Arrigo:
$ X_i^{ij} = Y^j $
se supponiamo che le dimensioni siano 4 , come quelle dello spaziotempo della Relatività, il primo membro non è altro che :
$ X_i^{ij} = X_0^{0j} + X_1^{1j} + X_2^{2j} + X_3^{3j} $
Quando hai fatto la somma, rimane il solo indice $j$ non saturato.
Spero ti possa andar bene come "dimostrazione" . In realtà è una semplice somma algebrica.
Innanzitutto sai che secondo la convenzione di Einstein si omette il simbolo di sommatoria per evitare di appesantire la scrittura.
Quando uno stesso indice compare sia come indice di controvarianza che di covarianza, la "contrazione" non è altro che la sommatoria rispetto a quell'indice, effettuata facendo variare quell'indice ripetuto su tutte le dimensioni dello spazio ambiente.
Mi spiego meglio. Nell'esempio di Arrigo:
$ X_i^{ij} = Y^j $
se supponiamo che le dimensioni siano 4 , come quelle dello spaziotempo della Relatività, il primo membro non è altro che :
$ X_i^{ij} = X_0^{0j} + X_1^{1j} + X_2^{2j} + X_3^{3j} $
Quando hai fatto la somma, rimane il solo indice $j$ non saturato.
Spero ti possa andar bene come "dimostrazione" . In realtà è una semplice somma algebrica.
Se ho capito bene, il tutto si riduce ad una semplice moltiplicazione del tensore $X^j$ per uno scalare; e lo scalare si ottiene dalla traccia della matrice associata $X^ii$.
"Voyager":
Se ho capito bene, il tutto si riduce ad una semplice moltiplicazione del tensore $ X^j $ per uno scalare; e lo scalare si ottiene dalla traccia della matrice associata $ X^ii $.
No Voyager. La contrazione è una operazione tensoriale, che consiste nella somma che ti ho detto. Per contrarre, devi avere almeno un indice di controvarianza e almeno un indice di covarianza.
Quando scrivi $ X^j $ , questo è in realtà quello che comunemente chiamiamo " vettore" , ovvero è un " tensore controvariante del primo ordine" , e non lo puoi contrarre evidentemente.
Un tensore di tipo (m,n) diventa, dopo contrazione di tipo (m-1 , n-1) , perché diminuisce di 1 sia l'ordine di controvarianza che quello di covarianza. E questo è quello che tu hai espresso con le parole : " gli indici ripetuti se ne vanno" .
Forse mi sono spiegato male. Io intendevo dire che il tensore X di ordine (1, 2) può essere visto come moltiplicazione di un tensore Y di ordine (1, 1), che con la contrazione diviene uno scalare, e un tensore Z di ordine (1, 0).
Facendola così la dimostrazione è analoga alla tua o no?? Questo intendevo dire io.
Scusami se non riesco ancora a scrivere bene le formule.
Facendola così la dimostrazione è analoga alla tua o no?? Questo intendevo dire io.
Scusami se non riesco ancora a scrivere bene le formule.
No Voyager.
Ora non ho tempo. Oggi spero di poter scannerizzare un esercizio, che dovrebbe farti capire come stanno le cose, in algebra tensoriale .
L'importante è dimostrare che quello che si ottiene facendo la contrazione è ancora un tensore. E lo si fa applicando le regole per la trasformazione di tensori tra riferimenti diversi : le componenti cambiano, ma l'oggetto geometrico TENSORE non cambia, come i vettori cui siamo abituati.
Per ora devo chiudere. Guardati questo nel frattempo.
http://mathworld.wolfram.com/TensorContraction.html
Ora non ho tempo. Oggi spero di poter scannerizzare un esercizio, che dovrebbe farti capire come stanno le cose, in algebra tensoriale .
L'importante è dimostrare che quello che si ottiene facendo la contrazione è ancora un tensore. E lo si fa applicando le regole per la trasformazione di tensori tra riferimenti diversi : le componenti cambiano, ma l'oggetto geometrico TENSORE non cambia, come i vettori cui siamo abituati.
Per ora devo chiudere. Guardati questo nel frattempo.
http://mathworld.wolfram.com/TensorContraction.html
Voyager, guarda l'allegato.
Spero sia chiaro, ora.
Spero sia chiaro, ora.
Adesso si che è chiaro.
Gentilissimo. Grazie mille.
Gentilissimo. Grazie mille.
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