Conservazione vettore di Lenz
Ho cercato di dimostrare da solo la conservazione del vettore di Lenz in un sistema orbitale, senza tuttavia riuscirci: per questo motivo mi sono affidato alla dimostrazione presente su Wikipedia. Nonostante abbia ben capito quest'ultima, rimane il problema che dai miei calcoli (sicuramente errati) risulta che il vettore non si conservi affatto e non riesco assolutamente a comprendere dove sbaglio.
Poiché la formula del vettore è
$ \vec A=\vec p \wedge \vec L - mk\hat r $
decido di ricavarmi $ \vec p \wedge \vec L $: io so che
$ \vec p=m(dotr\hat r + rdot\varphi\hat \varphi) $
$ \vec L=mr^2dot\varphi\hat \theta $
quindi
$ \vec p \wedge \vec L=m^2r^2dot\varphi[dotr(\hat r \wedge \hat \theta) + rdot\varphi(\hat\varphi \wedge \hat\theta)] =m^2r^2dot\varphi(rdot\varphi\hat r - r\hat\varphi) $
Il termine $r\hat\varphi$ non è però costante e non può essere annullato in alcun modo, in quanto unica componente su $\hat\varphi$. Dov'è dunque l'errore?
Poiché la formula del vettore è
$ \vec A=\vec p \wedge \vec L - mk\hat r $
decido di ricavarmi $ \vec p \wedge \vec L $: io so che
$ \vec p=m(dotr\hat r + rdot\varphi\hat \varphi) $
$ \vec L=mr^2dot\varphi\hat \theta $
quindi
$ \vec p \wedge \vec L=m^2r^2dot\varphi[dotr(\hat r \wedge \hat \theta) + rdot\varphi(\hat\varphi \wedge \hat\theta)] =m^2r^2dot\varphi(rdot\varphi\hat r - r\hat\varphi) $
Il termine $r\hat\varphi$ non è però costante e non può essere annullato in alcun modo, in quanto unica componente su $\hat\varphi$. Dov'è dunque l'errore?
Risposte
Credo di aver capito da solo dove ho sbagliato: non ho considerato che anche i versori variano nel tempo...
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