Conservazione quantità di moto per massa variabile

[AnalisiZero]

Ciao,

Nel libro c'è scritto che nei casi in cui la massa varia col tempo si dovrebbe usare la conservazione della quantità di moto anziché $sumvecF=mveca$. Però provando a dimostrare la conservazione della q.d.m. ci riesco solo se considero costante la massa, ma vale anche se non lo è?

[mgrau]

Non so se ho capito bene il tuo dubbio, ma per es. un caso può essere il funzionamento di un razzo. Qui si ha che la QM è costantemente zero, se parte da fermo, tenendo conto sia del razzo che dei gas espulsi, mentre la massa del razzo diminuisce man mano che brucia il carburante.

[AnalisiZero]

In pratica io riesco a dimostrare la conservazione della q.d.m. solo se la massa è costante nel tempo. Vorrei capire come si dimostra quando la massa varia nel tempo.

[mgrau]

"AnalisiZero":In pratica io riesco a dimostrare la conservazione della q.d.m. solo se la massa è costante nel tempo. Vorrei capire come si dimostra quando la massa varia nel tempo.

Un qualche esempio concreto?
Perchè, detto così, suona un po' strano, dopo tutto la massa è una quantità che si conserva, che vuol dire "varia col tempo"?

[AnalisiZero]

Non saprei..
Copio letteralmente dal libro:
"Nei casi in cui la massa varia col tempo, si dovrebbe usare una forma alternativa della seconda legge di Newton: la variazione dell'unità di tempo della quantità di moto di una particella è uguale alla forza risultante sulla particella.
$sumvecF=(dvecp)/dt$ "
Sulla massa che varia dice solo questo.
Per esempio, nel caso del razzo la massa varia col tempo, e quindi si dovrebbe dimostrare la conservazione della q.d.m. anche se la massa è una funzione del tempo, no?

[mgrau]

"AnalisiZero":
Copio letteralmente dal libro:
"Nei casi in cui la massa varia col tempo, si dovrebbe usare una forma alternativa della seconda legge di Newton: la variazione dell'unità di tempo della quantità di moto di una particella è uguale alla forza risultante sulla particella.
$sumvecF=(dvecp)/dt$ "

Forse si riferisce alla versione relativistica delle leggi di Newton...

[AnalisiZero]

"mgrau":[quote="AnalisiZero"]
Copio letteralmente dal libro:
"Nei casi in cui la massa varia col tempo, si dovrebbe usare una forma alternativa della seconda legge di Newton: la variazione dell'unità di tempo della quantità di moto di una particella è uguale alla forza risultante sulla particella.
$sumvecF=(dvecp)/dt$ "

Forse si riferisce alla versione relativistica delle leggi di Newton...[/quote]
Ho trovato qualcosa su Wikipedia. In pratica la conservazione della quantità di moto è una legge più generale di $vecf=mveca$ che si riduce a quest' ultima nel caso di massa costante. Ora è più chiaro anche se non ho capito come si dimostra

[donald_zeka]

Non esistono le leggi di Newton, la meccanica si basa su Eulero, l'equazione fondamentale è $F=(dp)/dt$, essendo p la quantita di moto di un sistema, niente relativismi e sofismi, è cosí perché é cosí.

[Shackle]

@ AnalisiZero

In passato ci sono state parecchie discussioni sui sistemi a massa variabile, basta usare "cerca" . Cito questa, eliminando i nomi degli autori poiché non fanno più parte del forum, e apportando qualche lieve modifica formale.

Questa è la domanda :

Il mio libro dice questo : supponiamo che un corpo di massa $M$ si muova all’istante $t$, con velocità $V$ rispetto ad un riferimento inerziale $S$. Nell’intervallo di tempo $deltat$, il corpo espelle una quantità di massa $deltaM$ (se la massa viene persa : $ -deltaM$ ; se invece viene acquistata : $+ deltaM$) con velocità $v_g$ , rispetto ad un sistema solidale con il corpo stesso. In questo intervallo di tempo la velocità del corpo sarà passata a $V + deltaV$. Rispetto al riferimento inerziale $S$, la velocità di espulsione della massa $deltaM$ sarà
$v_(g,T) = v_(g) + V$
Confrontando le quantità di moto al tempo $t$ ed al tempo $t+deltat$ si ottiene
$MV = (M + deltaM)(V + deltaV) - deltaM (v_(g) + V)$
dove il segno meno al secondo membro è dovuto alla diversa orientazione della quantità di materia $(M+deltaM)$ e $deltaM$.

Da : $MV = (M + deltaM)(V + deltaV) - deltaM (v_(g) + V)$

arriva poi a :

$M * frac{dV}{dt} - v_g * frac{dM}{dt}=0$

Ma non capisco come arriva a questa formula. Potete chiarirmi le idee? Grazie

E questa è la risposta :

Si tratta di applicare il teorema della conservazione della Quantità di moto : non essendoci , nel tuo caso , risultante di forze esterne, la quantità di moto del sistema "corpo più massa espulsa" si deve conservare . Quindi la q.d.m. prima dell'espulsione della massa , data da $MV$ , deve essere uguale a quella dopo l'espulsione della massa : $(M + \deltaM)(V + \deltaV) - \deltaM (v_(g) + V)$
Sviluppa il secondo membro, e trascura il prodotto : $\deltaM*\deltaV$ , (perchè prodotto di due quantità molto piccole , trascurabile rispetto agli altri termini se l'intervallo di tempo è abbastanza piccolo) . Ti rimane : $M*\deltaV-\deltaM*v_g=0$.
Dividendo per il tempo $\deltat$ , e passando al limite per $\deltat\rarr0$, ottieni proprio la relazione finale da te scritta, dove $frac{dV}{dt}$ è l'accelerazione, e il termine $frac{dM}{dt}$ è la variazione della massa nel tempo.

Nota che una particella materiale ha una massa $m$ definita, altrimenti non sarebbe una particella. Per cui, non può perdere massa . Si parla di massa variabile nel caso dei sistemi, o corpi estesi , come il razzo che espelle gas combusti.
E lasciamo stare la relatività , anche se pure in relatività la massa è un invariante . Rimaniamo in meccanica classica .

[AnalisiZero]

Grazie a tutti