Conservazione momento angolare e automobili.
Salve a tutti, ho un dubbio: consideriamo un'automobile di massa m che si muove di moto rettilineo uniforme ad una certa velocità costante v (quindi attrito e forza motrice sono in equilibrio). Ad un certo punto l'automobile inizia a curvare ed il suo diventa un moto circolare uniforme (mentre l'auto percorre la circonferenza la sua distanza dal centro non varia). Ora la nostra automobile possiede un momento angolare L che dipende appunto dalla sua massa, dalla sua velocità e dalla sua distanza dal centro della circonferenza. Ora immaginate che l'automobile allarghi progressivamente la sua traiettoria facendo quindi aumentare sempre di più la sua distanza dal centro. Ora, poichè il momento angolare si conserva, la velocità dell'automobile dovrebbe diminuire ( infatti la massa dell'automobile resta costante mentre aumenta il raggio) tuttavia quando noi viaggiamo in automobile le curve che affrontiamo non sono quasi mai degli archi di circonferenza e quindi dovremmo registrare degli aumenti o diminuzioni della velocità. Quindi vi chiedo: nelle curve che affrontiamo nella realtà in automobile accade lo stesso??? Se l'automobile percorre una traiettoria ellittica rispetto a quale centro si calcola il momento angolare???
Risposte
Ho considerato la macchina come un corpo puntiforme dotato di massa
Da quello che scrivi si deduce che hai poco chiaro il concetto di momento di un vettore (e quindi di momento angolare) e della legge di conservazione del momento angolare.
In realtà non è che l'auto acquisti un momento angolare dopo che inizia a muoversi di moto circolare. Innanzi tutto il momento angolare, come tutti i momenti, va riferito ad un polo. Quindi se il momento angolare è zero o diverso da zero, dipende, oltre che dallo stato di moto del sistema, anche dal polo rispetto al quale lo calcoli. Quando l'auto si muove di moto rettilineo uniforme, se calcoli il momento angolare rispetto ad un polo non appartenente alla retta che contiene il vettore velocità, ottieni un valore diverso da zero e quindi l'auto possiede tranquillamente un momento angolare anche durante il moto rettilineo.
Quindi stai calcolando il momento angolare rispetto al centro della circonferenza
Non è vero. Finché l'auto si muove di moto crircolare uniforme il momento angolare è costante. In questa situazione, l'attrito statico che mantiene l'auto in traiettoria circolare è orientato verso il centro e quindi il suo momento di forza è nullo, il che implica (seconda equazione cardinale) che esso non provoca variazione di momento angolare. Quando inizia, come dici tu, "ad allargare la traiettoria", l'attrito statico non è più orientato verso il centro della vecchia traiettoria (altrimenti l'auto continuerebbe a mantenerla) e quindi il suo momento di forza rispetto al vecchio centro diventa diverso da zero il che genera una variazione (aumento) di momento angolare (sempre rispetto al vecchio centro). E quindi il modulo della velocità può tranquillamente rimanere costante pur con una traiettoria "allargata".
Come dicevo prima, L lo puoi calcolare rispetto ad un punto qualsiasi, indipendentemente dalla forma della traiettoria.
"Tizi":
...Ora la nostra automobile possiede un momento angolare...
In realtà non è che l'auto acquisti un momento angolare dopo che inizia a muoversi di moto circolare. Innanzi tutto il momento angolare, come tutti i momenti, va riferito ad un polo. Quindi se il momento angolare è zero o diverso da zero, dipende, oltre che dallo stato di moto del sistema, anche dal polo rispetto al quale lo calcoli. Quando l'auto si muove di moto rettilineo uniforme, se calcoli il momento angolare rispetto ad un polo non appartenente alla retta che contiene il vettore velocità, ottieni un valore diverso da zero e quindi l'auto possiede tranquillamente un momento angolare anche durante il moto rettilineo.
"Tizi":
...un momento angolare L che dipende appunto ... e dalla sua distanza dal centro della circonferenza
Quindi stai calcolando il momento angolare rispetto al centro della circonferenza
"Tizi":
Ora, poichè il momento angolare si conserva
Non è vero. Finché l'auto si muove di moto crircolare uniforme il momento angolare è costante. In questa situazione, l'attrito statico che mantiene l'auto in traiettoria circolare è orientato verso il centro e quindi il suo momento di forza è nullo, il che implica (seconda equazione cardinale) che esso non provoca variazione di momento angolare. Quando inizia, come dici tu, "ad allargare la traiettoria", l'attrito statico non è più orientato verso il centro della vecchia traiettoria (altrimenti l'auto continuerebbe a mantenerla) e quindi il suo momento di forza rispetto al vecchio centro diventa diverso da zero il che genera una variazione (aumento) di momento angolare (sempre rispetto al vecchio centro). E quindi il modulo della velocità può tranquillamente rimanere costante pur con una traiettoria "allargata".
"Tizi":
Se l'automobile percorre una traiettoria ellittica rispetto a quale centro si calcola il momento angolare???
Come dicevo prima, L lo puoi calcolare rispetto ad un punto qualsiasi, indipendentemente dalla forma della traiettoria.
Grazie mille della risposta, quindi nel mio caso il momento angolare aumenta semplicemente perchè quando la traiettoria si allarga l'attrito statico ha un effetto torcente rispetto al polo di rotazione originario. Ma nel caso di un satellite (anche se esso allarga la traiettoria la forza peso è sempre rivolta verso il centro della Terra) la velocità dovrebbe diminuire all'aumentare della distanza dal centro della Terra perchè qui L si conserva, giusto???
"Tizi":
Ma nel caso di un satellite (anche se esso allarga la traiettoria la forza peso è sempre rivolta verso il centro della Terra) la velocità dovrebbe diminuire all'aumentare della distanza dal centro della Terra perchè qui L si conserva, giusto???
In questo caso, per far cambiare orbita al satellite ci vuole la forza di un razzo a bordo del satellite stesso, che viene azionato opportunamente (in direzione, potenza e tempo di accensione). Quindi qui è la forza del razzo ad avere un momento torcente che fa variare L.
Una cosa semi OT: l'aggettivo torcente al sostantivo momento è pressoché privo di significato in questo tipo di argomenti (lo so che molti libri di fisica lo usano, ma è quanto meno ridondante).
Secondo me ha senso solo nell'ambito della scienza delle costruzioni in cui si distingue il momento flettente da quello torcente.
Secondo me ha senso solo nell'ambito della scienza delle costruzioni in cui si distingue il momento flettente da quello torcente.
Grazie delle risposte. Supponiamo quindi di avere un razzo che percorre un'orbita circolare attorno alla terra, come farebbe a "cambiare" orbita e situarsi quindi su un'orbita più esterna??? Se il razzo aziona i motori in direzione e verso della velocità tangenziale questa aumenterebbe ma sull'orbita esterna dovrebbe orbitare più lentamente proprio per conservare il momento angolare. Quindi l'effetto del momento di una forza fa variare il momento angolare, ma (come nel caso dell'auto) questa variazione non corrisponde sempre ad un aumento della velocità e certe volte aumenta solamente il raggio.
"Faussone":
l'aggettivo torcente al sostantivo momento è pressoché privo di significato in questo tipo di argomenti (lo so che molti libri di fisica lo usano, ma è quanto meno ridondante).
Neanche a me piace molto per la verità, ma lo ho usato per "uniformarmi" a Tizi e per rendermi più chiaro a lui. Tuttavia possiamo dire che l'espressione "momento torcente" potrebbe essere utilizzata come sinonimo di "momento di forza", per distinguerlo da altri momenti (come quello angolare ad esempio) in cui le forze non c'entrano nulla. In questo senso, "torcente" da l'idea "visiva" di qualcosa che viene "torto con forza" (anche se in realtà, già l'idea di torsione in generale è implicita nella parola momento...)
Voglio dire: se un satellite deve passare (partendo da un'orbita di raggio r) ad un'orbita con raggio maggiore la sua velocità finale (quella sull'orbita con raggio maggiore) sarà inferiore rispetto a quella che il stellite possedeva nella prima orbita (questo perchè L si conserva) ma allora a cosa serve accendere i propulsori?? Il satellite non deve accelerare.
"Tizi":
Se il razzo aziona i motori in direzione e verso della velocità tangenziale questa aumenterebbe ma sull'orbita esterna dovrebbe orbitare più lentamente proprio per conservare il momento angolare
Inoltre...
"Tizi":
Voglio dire: se un satellite deve passare (partendo da un'orbita di raggio r) ad un'orbita con raggio maggiore la sua velocità finale (quella sull'orbita con raggio maggiore) sarà inferiore rispetto a quella che il stellite possedeva nella prima orbita (questo perchè L si conserva)
Non capisco perché ti ostini a dire che L si conserva
Quando intervengono forze esterne che hanno un momento diverso da zero, L non si conserva, fattene una ragione 
. Per quanto riguarda il satellite, (consideriamo orbite circolari per semplicità) la velocità su una data orbita è determinata non dalla condizione che si deve conservare L, ma dalla condizione che la forza centripeta sia uguale alla forza gravitazionale. Se \(\displaystyle M \) è la massa del pianeta, \(\displaystyle m \) è la massa del satellite, \(\displaystyle R \) il raggio dell'orbita e \(\displaystyle v \) la velocità del satellite, si ha:\(\displaystyle G\frac{Mm}{R^2}=m\frac{v^2}{R} \)
da cui si ricava che
\(\displaystyle v=\sqrt{\frac{GM}{R}} \)
Quindi è vero che v diminuisce al crescere del raggio dell'orbita, ma non c'entra nulla la conservazione di L. A riprova di ciò, se calcoliamo L sulle varie orbite, si trova:
\(\displaystyle L=Rmv=m\sqrt{GMR} \)
e come vedi L aumenta (e quindi varia...) proporzionalmente alla radice quadrata del raggio
Ok per quel che riguarda i satelliti ho capito, ma allora se io ho una palla di massa 3Kg che si muove di moto circolare uniforme con raggio= 2m e velocità di 3 m/s, c'è un modo per farla passare a raggio=1m conservando L???(Come si deve applicare la forza affinchè non abbia effetto torcente???). Inoltre con r=2m si ha che L è pari a 18 mentre con r=1m (se si conserva L) la velocità deve diventare 6 m/s. Ora se noi smettiamo di applicare la forza centripeta la palla si muoverà in direzione della tangente alla circonferenza con v= 6 m/s; l'energia cinetica traslazionale della palla quindi è aumentata infatti se avessimo smesso di applicare la forza centripeta quando r valeva 2 la palla si sarebbe allontanata con v=3 m/s. Dato che L si è conservato e quindi nessuna forza ha avuto effetto torcente, quale forza ha compiuto il lavoro che ha fatto aumentare l'energia cinetica traslazionale??? Grazie.
Non sono sicuro questa palla che ruota disegnando una circonferenza di raggio 2m, che poi passa a raggio 1m, come la immagini.
Io immaginerei una palla legata ad un filo teso fissato in un punto. Se la palla gira attorno al punto fisso disegnando la circonferenza di raggio 2m per farla passare a raggio 1m mi metto nel punto centrale e tiro il filo.
La forza che applico attraverso il filo è sempre normale alla velocità della palla quindi non dà momento rispetto al punto fisso e il momento angolare si conserva.
In queste condizioni l'energia cinetica della palla, che gira ora su una circonferenza di raggio 1m, è aumentata. L'aumento di energia è dovuto al lavoro che ho compiuto io tirando il filo.
[PS: ti consiglio di non usare il termine torcente, ma semplicemente il termine momento o momento di una forza].
Io immaginerei una palla legata ad un filo teso fissato in un punto. Se la palla gira attorno al punto fisso disegnando la circonferenza di raggio 2m per farla passare a raggio 1m mi metto nel punto centrale e tiro il filo.
La forza che applico attraverso il filo è sempre normale alla velocità della palla quindi non dà momento rispetto al punto fisso e il momento angolare si conserva.
In queste condizioni l'energia cinetica della palla, che gira ora su una circonferenza di raggio 1m, è aumentata. L'aumento di energia è dovuto al lavoro che ho compiuto io tirando il filo.
[PS: ti consiglio di non usare il termine torcente, ma semplicemente il termine momento o momento di una forza].
Un' ultima cosa ragazzi. Consideriamo due cilindri vuoti di uguali masse ma raggio diverso. (Facciamo che il raggio del "cilindro 1" è maggiore del raggio del "cilindro2"). Tali cilindri si trovano sulla sommità di un piano inclinato di altezza h. Quando i due cilindri avranno completato la discesa si muoveranno con la stessa velocità ma allora ci sono delle cose che non mi spiego: poichè i due cilindri si muovono con uguale velocità, se noi consideriamo una particella che si trova sul bordo del cilindro 1 noteremo che tale particella avrà la stessa velocità periferica di una particella sul bordo del cilindro 2. Ma allora questo vuol dire che il cilindro 1 (completata la discesa) avrà momento angolare superiore rispetto al cilindro 2,ma se ciò fosse vero significherebbe che sul cilindro 1 ha agito una forza con momento superiore al cilindro 2, come si spiega??? Se sul cilindro 1 ha agito una forza con momento superiore, come fanno i due cilindri al termine della discesa ad avere la stessa energia cinetica rotazionale???
"Faussone":
La forza che applico attraverso il filo è sempre normale alla velocità della palla quindi non dà momento rispetto al punto fisso e il momento angolare si conserva.
Bè, quello che è certo è che la forza non dà momento rispetto al centro (e quindi L si conserva), tuttavia non credo che la forza sia normale alla velocità. Infatti essendo la traiettoria essenzialmente una spirale, la velocità non può essere normale al filo (come nel caso di traiettoria circolare). Del resto, se la forza fosse sempre normale alla velocità, non ci sarebbe lavoro, e senza lavoro l'energia cinetica non aumenterebbe mai. L'energia cinetica, invece, aumenta, come giustamente hai detto poco dopo, e proprio citando il lavoro fatto dal filo
"Tizi":
Quando i due cilindri avranno completato la discesa si muoveranno con la stessa velocità
Questo non è vero. Infatti, per la conservazione dell'energia, l'energia cinetica dei due cilindri è uguale ma tieni presente che un cilindro che rotola ha una energia cinetica rotazionale ed una traslazionale (che sono legate dal vincolo di rotolamento). Per un cilindro vuoto, l'energia cinetica totale è data da:
\(\displaystyle E_{C}= mR^2\omega^2\)
Poiché i due cilindri hanno raggio diverso, anche la loro velocità angolare sarà diversa (e quindi anche quella traslazionale).
Il fatto che i due cilindri abbiano velocità angolare differente non esclude che abbiano velocità di traslazione uguali. Considera due automobili che si muovono con stessa velocità periferica in due circonferenze concentriche: è ovvio che quella sulla circonferenza interna(pur avendo la stessa velocità periferica) avrà una velocità angolare maggiore. Inoltre la velocità tangenziale di una particella può essere calcolata come il prodotto tra la velocità angolare e il raggio. Nel cilindro 1 avremo che la velocità angolare è inferiore mentre il raggio è superiore mentre nel cilindro 2 avremo raggio inferiore ma velocità angolare superiore. Quindi se è cosi il prodotto tra raggio del cilindro 1 e la sua velocità angolare può anche essere (non ne sono sicuro) uguale a quello tra il raggio del cilindro 2 e la sua velocità angolare.
"Tizi":
Il fatto che i due cilindri abbiano velocità angolare differente non esclude che abbiano velocità di traslazione uguali
Sì hai ragione, scusami. La mia affermazione del post precedente scritta tra parentesi, in cui deducevo che anche la velocità traslazionale fosse diversa, è sbagliata. Dalla espressione dell'energia cinetica che ho scritto sopra, imponendone la conservazione, si trova infatti:
\(\displaystyle mR_{1}^2\omega_{1}^2=mR_{2}^2\omega_{2}^2 \)
da cui
\(\displaystyle R_{1}\omega_{1}=R_{2}\omega_{2} \)
che significa
\(\displaystyle v_{1}=v_{2} \)
Quindi i due cilindri traslano con la stessa velocità. Non è vero invece che hanno la stessa velocità angolare. Infatti:
\(\displaystyle \omega_{1}=\frac{R_{2}}{R_{1}}\omega_{2} \)
Per quanto riguarda il momento angolare alla fine della discesa, si ha:
\(\displaystyle L_{1}=I_{1}\omega_{1}=mR_{1}^2\omega_{1}=mR_{1}R_{2}\omega_{2} \)
\(\displaystyle L_{2}=I_{2}\omega_{2}=mR_{2}^2\omega_{2} \)
Poiché \(\displaystyle R_{1}>R_{2} \)
allora è vero, come tu dici, che \(\displaystyle L_{1}>L_{2} \)
Poi ti chiedi come ciò sia possibile, perché ciò significherebbe che ha agito un momento superiore. Bè, questo è vero. Infatti, se prendiamo ad esempio come polo il punto di contatto dei cilindri con il suolo, la forza peso, che è applicata al centro dei cilindri ed è la stessa per entrambi, ha un momento superiore per il cilindro 1 poiché, avendo il raggio maggiore, il braccio del peso risulta maggiore.
"Tizi":
Se sul cilindro 1 ha agito una forza con momento superiore, come fanno i due cilindri al termine della discesa ad avere la stessa energia cinetica rotazionale???
Questo è possibile perché il fatto che i due cilindri abbiano momenti angolari diversi, non implica che debbano avere energie rotazionali diverse. Infatti, utilizzando la relazione tra le velocità angolari data sopra, si ha:
\(\displaystyle E_{rot,1}=\frac{1}{2}I_{1}\omega_{1}^2= \frac{1}{2}mR_{1}^2(\frac{R_{2}}{R_{1}}\omega_{2})^2=\frac{1}{2}mR_{2}^2\omega_{2}^2=E_{rot,2}\)
Grazie mathbell, mi hai charito notevolmente i concetti e spero che potrai aiutare un grande inesperto come me in futuri dubbi
"mathbells":
[quote="Faussone"]La forza che applico attraverso il filo è sempre normale alla velocità della palla quindi non dà momento rispetto al punto fisso e il momento angolare si conserva.
Bè, quello che è certo è che la forza non dà momento rispetto al centro (e quindi L si conserva), tuttavia non credo che la forza sia normale alla velocità. [...]
[/quote]
Non ci credo che ho scritto una bestialità del genere....
Intendevo dire che la forza non dà momento rispetto al centro, e non mi ero proprio reso conto di aver scritto tutt'altro! Devo aver assunto il tutto molto ovvio quindi non ho prestato attenzione nella risposta e soprattutto non ho riletto con attenzione ciò che avevo scritto. Mi scuso (è la seconda volta che sono costretto a scusarmi in poco tempo, non sto attraversando un periodo di forma a quanto pare
)Grazie mathbells per aver notato e corretto la cosa!
PS: In questo vecchio post in un caso identico spiegavo proprio il fatto che il moto a spirale fa sì che la forza non sia ortogonale alla velocità e quindi che il lavoro compiuto tirando il filo non può essere nullo.
"Faussone":
Non ci credo che ho scritto una bestialità del genere...
Tranquillo, capita a tutti!
Per ironia della sorte, proprio nello stesso post in cui ti ho corretto, proprio nella riga dopo, ho rilasciato la mia "perla di saggezza", e poi nel post qui sopra mi sono scusato con Tizi per aver tratto frettolosamente quella conclusione sbagliata, tra l'altro smentita dai miei stessi calcoli fatti poco prima. A volte la lingua (o meglio...le dita sulla tastiera) mi si disconnettono dal cervello 
Ragazzi mi è venuto un altro dubbio: tornando all'esempio della palla e del filo, quando io tiro la palla verso di me la velocità della palla non è più normale al filo perchè essa compie un movimento "a spirale" (come avete scritto) ma allora anche la forza che applico non è più normale alla velocità. E quindi se io proietto il vettore della forza che applico in direzione del vettore velocità avrò che tale proiezione di vettore forza darà un momento rispetto al polo di rotazione ed allora la domanda diventa: come mai L si conserva??? Mi sa proprio che con questa questione non riuscirò a venirne a capo...Mah
Il momento angolare si conserva perché l'unica forza che agisce è applicata dal filo ed è diretta pertanto lungo il filo stesso, per cui non dà contributo al momento rispetto al punto centrale.
Quella forza comunque compie lavoro (appunto perché forza e spostamento non sono ortogonali) tanto è vero che l'energia cinetica non si conserva.
Diverso è il caso di un una massa legata ad un filo che si avvolge su di un palo di diametro finito (senza l'intervento di alcuna forza esterna).
Quella forza comunque compie lavoro (appunto perché forza e spostamento non sono ortogonali) tanto è vero che l'energia cinetica non si conserva.
Diverso è il caso di un una massa legata ad un filo che si avvolge su di un palo di diametro finito (senza l'intervento di alcuna forza esterna).
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