Conservazione momento angolare
Ho questo problema:
Un'asta di lunghezza $L$ e massa $M$, è vincolata a ruotare in un piano verticale intorno ad un asse orizzontale normale all'asta e passante per il suo centro di massa; inoltre un estremo dell'asta è appoggiato su un piano orizzontale ed ha, a sua volta, appoggiato un corpo puntiforme di massa $m(1)$. Non è presente alcun attrito. Ad un certo istante un piccolo sacchetto di sabbia di massa $m(2)$ viene lasciato cadere, verticalmente, da un'altezza $h$, sull'altro estremo dell'asta e vi rimane appoggiato. Si calcoli a quale altezza massima risale il corpo di massa $m(1)$.
Un disegnino illustrativo:
Considero intanto che, date le leggi del moto, la distanza percorsa dalla massa $m(1)$ prima di perdere definitivamente velocità verticale (verso l'alto) è semplicemente data da: $d = v^2/(2g)$, con $v$ velocità di partenza della massa $m(1)$.
Inoltre la velocità di impatto della massa $m(2)$, per le stesse leggi, è data da: $v(i) = sqrt(2gh)$.
Allora ho pensato di utilizzare la conservazione del momento angolare:
$Iw + m(1)vL/2 = m(2)sqrt(2gh)L/2$
E la conservazione dell'energia cinetica:
$Iw^2/2 + m(1)v^2/2 = ghm(2)$
Con $I$ nuova inerzia della sbarra conseguente all'urto anelastico, cioè: $I = ML^2/12 + m(2)L^2/4$.
Tuttavia i calcoli sono deprimenti (esce fuori una equazione di secondo grado non semplice da risolvere, considerando la quantità di variabili), ed ho pensato che esistesse un modo più facile per risolverlo rapidamente.
Qualche idea?
Un'asta di lunghezza $L$ e massa $M$, è vincolata a ruotare in un piano verticale intorno ad un asse orizzontale normale all'asta e passante per il suo centro di massa; inoltre un estremo dell'asta è appoggiato su un piano orizzontale ed ha, a sua volta, appoggiato un corpo puntiforme di massa $m(1)$. Non è presente alcun attrito. Ad un certo istante un piccolo sacchetto di sabbia di massa $m(2)$ viene lasciato cadere, verticalmente, da un'altezza $h$, sull'altro estremo dell'asta e vi rimane appoggiato. Si calcoli a quale altezza massima risale il corpo di massa $m(1)$.
Un disegnino illustrativo:
Considero intanto che, date le leggi del moto, la distanza percorsa dalla massa $m(1)$ prima di perdere definitivamente velocità verticale (verso l'alto) è semplicemente data da: $d = v^2/(2g)$, con $v$ velocità di partenza della massa $m(1)$.
Inoltre la velocità di impatto della massa $m(2)$, per le stesse leggi, è data da: $v(i) = sqrt(2gh)$.
Allora ho pensato di utilizzare la conservazione del momento angolare:
$Iw + m(1)vL/2 = m(2)sqrt(2gh)L/2$
E la conservazione dell'energia cinetica:
$Iw^2/2 + m(1)v^2/2 = ghm(2)$
Con $I$ nuova inerzia della sbarra conseguente all'urto anelastico, cioè: $I = ML^2/12 + m(2)L^2/4$.
Tuttavia i calcoli sono deprimenti (esce fuori una equazione di secondo grado non semplice da risolvere, considerando la quantità di variabili), ed ho pensato che esistesse un modo più facile per risolverlo rapidamente.
Qualche idea?
Risposte
Il procedimento almeno è corretto?
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