Conservazione momento angolare
Propongo un esercizio, di cui ho provato a trovare la soluzione ma che non sono sicuro sia giusta. Il problema più grande è che sono incerto sulla conservazione del momento angolare.
"Un disco uniforme di massa M e raggio R si muove verso un altro disco uniforme di massa 2M e raggio R su un tavolo liscio. Il primo disco ha una velocità v0 ed una velocità angolare z come da figura (senso antiorario), mentre il secondo disco è inizialmente fermo. I due dischi vengono in contatto in modo radente e istantaneamente si attaccano insieme ed iniziano a muoversi come un unico oggetto".
a) quali sono le velocità lineari e angolari del sistema formato dai due dischi, dopo la collisione?"
Essendo nulla la risultante delle forze esterne, L si conserva per qualsiasi polo per cui il prodotto vettoriale fra v, vcm sia zero.
Ho deciso di usare il cm del secondo disco, giusto per complicarmi le cose per vedere se tutto veniva corretto:
-I*z+M*v*2R=I'*z(2)+3M*v(2)*R
Dove I è momento di inerzia del primo disco rispetto al centro del secondo e I' è momento di inerzia del nuovo corpo formato da due dischi rispetto al cm del secondo disco.
E per la conservazione della quantità di moto:
Mv=3Mv(2)
Poi risolvo il sistema.
"b) per quale valore di z il sistema formato dai due dischi non ruota?"
Io ho pensato di eguagliare
-I*z+M*v*2R=3M*v(2)*R
Mv=3Mv(2)
e trovare il risultato.
Sono sicuro che ci sia un errore concettuale da qualche parte, non mi fido molto di me stesso. Scusatemi per le formule scritte male ma non so usare bene il latex.
"Un disco uniforme di massa M e raggio R si muove verso un altro disco uniforme di massa 2M e raggio R su un tavolo liscio. Il primo disco ha una velocità v0 ed una velocità angolare z come da figura (senso antiorario), mentre il secondo disco è inizialmente fermo. I due dischi vengono in contatto in modo radente e istantaneamente si attaccano insieme ed iniziano a muoversi come un unico oggetto".
a) quali sono le velocità lineari e angolari del sistema formato dai due dischi, dopo la collisione?"
Essendo nulla la risultante delle forze esterne, L si conserva per qualsiasi polo per cui il prodotto vettoriale fra v, vcm sia zero.
Ho deciso di usare il cm del secondo disco, giusto per complicarmi le cose per vedere se tutto veniva corretto:
-I*z+M*v*2R=I'*z(2)+3M*v(2)*R
Dove I è momento di inerzia del primo disco rispetto al centro del secondo e I' è momento di inerzia del nuovo corpo formato da due dischi rispetto al cm del secondo disco.
E per la conservazione della quantità di moto:
Mv=3Mv(2)
Poi risolvo il sistema.
"b) per quale valore di z il sistema formato dai due dischi non ruota?"
Io ho pensato di eguagliare
-I*z+M*v*2R=3M*v(2)*R
Mv=3Mv(2)
e trovare il risultato.
Sono sicuro che ci sia un errore concettuale da qualche parte, non mi fido molto di me stesso. Scusatemi per le formule scritte male ma non so usare bene il latex.
Risposte
Vediamo se riesco a dirti qualcosa.
Il primo disco, che chiamo $A$ , è dotato di moto rototraslatorio piano; il secondo, che chiamo $B$ , è inizialmente fermo.
Quando $A$ traslando con velocità del suo CM uguale a $v_0$ urta $B$, innanzitutto si può dire che avviene un urto anelastico, visto che poi i due dischi continuano a muoversi di moto traslatorio, con la velocità che si ricava per l'urto anelastico dalla conservazione della quantità di moto totale.
Poi, c'è inevitabilmente un brevissimo periodo di strisciamento tra i due dischi, perché A deve trasferire a B un impulso angolare, e lo può fare solo se nel contatto nasce uno strisciamento e quindi una forza di attrito tangenziale $F_t$. L'impulso angolare deve uguagliare la variazione del momento angolare del volano B . Pertanto, sul volano A si ha :
$R\int_0^tF_tdt = I_A(\omega_(A2) - \omega_(A1)) = 1/2 m_AR^2* (\omega_(A2) - \omega_(A1)) $
dove ovviamente la velocità angolare finale del disco $A$ è inferiore a quella iniziale. Sul volano B si ha la stessa relazione, ma la velocità angolare iniziale di $B$ è zero : :
$R\int_0^tF_tdt = I_B\omega_(B2) = 1/2 m_BR^2 *\omega_(B2) $
il pedice $2$ si riferisce a "dopo l'urto" e il pedice $1$ a "prima dell'urto" , e il raggio$R$ è uguale per entrambi i dischi.
I due impulsi devono essere uguali ed opposti , quindi uguagliando i secondi membri, ma cambiando di segno all'impulso subito dal disco B, e semplificando i fattori uguali, si ha:
$ m_A* (\omega_(A2) - \omega_(A1)) = - m_B *\omega_(B2) $--------(1)
Inoltre quando finisce la fase di strisciamento le velocità angolari dei due dischi devono essere uguali , perché in ogni caso deve valere l'uguaglianza delle velocità tangenziali, per cui sarebbe :
$\omega_(A2)*R_A = \omega_(B2)*R_B$ , e noi abbiamo che $R_A = R_B = R $ . Percio :
$\omega_(A2) = \omega_(B2)$-----------(2)
Le (1) e (2) permettono di ricavare la velocità angolare finale dei due dischi :
$\omega_(A2) = \omega_(B2) =\omega_(A1)/(1 + (m_B/m_A)) $
Naturalmente occorre sostituire i valori delle masse dei due dischi.
Si potrebbe, volendo, anche calcolare la durata della fase di strisciamento, ma non è richiesto.
Il primo disco, che chiamo $A$ , è dotato di moto rototraslatorio piano; il secondo, che chiamo $B$ , è inizialmente fermo.
Quando $A$ traslando con velocità del suo CM uguale a $v_0$ urta $B$, innanzitutto si può dire che avviene un urto anelastico, visto che poi i due dischi continuano a muoversi di moto traslatorio, con la velocità che si ricava per l'urto anelastico dalla conservazione della quantità di moto totale.
Poi, c'è inevitabilmente un brevissimo periodo di strisciamento tra i due dischi, perché A deve trasferire a B un impulso angolare, e lo può fare solo se nel contatto nasce uno strisciamento e quindi una forza di attrito tangenziale $F_t$. L'impulso angolare deve uguagliare la variazione del momento angolare del volano B . Pertanto, sul volano A si ha :
$R\int_0^tF_tdt = I_A(\omega_(A2) - \omega_(A1)) = 1/2 m_AR^2* (\omega_(A2) - \omega_(A1)) $
dove ovviamente la velocità angolare finale del disco $A$ è inferiore a quella iniziale. Sul volano B si ha la stessa relazione, ma la velocità angolare iniziale di $B$ è zero : :
$R\int_0^tF_tdt = I_B\omega_(B2) = 1/2 m_BR^2 *\omega_(B2) $
il pedice $2$ si riferisce a "dopo l'urto" e il pedice $1$ a "prima dell'urto" , e il raggio$R$ è uguale per entrambi i dischi.
I due impulsi devono essere uguali ed opposti , quindi uguagliando i secondi membri, ma cambiando di segno all'impulso subito dal disco B, e semplificando i fattori uguali, si ha:
$ m_A* (\omega_(A2) - \omega_(A1)) = - m_B *\omega_(B2) $--------(1)
Inoltre quando finisce la fase di strisciamento le velocità angolari dei due dischi devono essere uguali , perché in ogni caso deve valere l'uguaglianza delle velocità tangenziali, per cui sarebbe :
$\omega_(A2)*R_A = \omega_(B2)*R_B$ , e noi abbiamo che $R_A = R_B = R $ . Percio :
$\omega_(A2) = \omega_(B2)$-----------(2)
Le (1) e (2) permettono di ricavare la velocità angolare finale dei due dischi :
$\omega_(A2) = \omega_(B2) =\omega_(A1)/(1 + (m_B/m_A)) $
Naturalmente occorre sostituire i valori delle masse dei due dischi.
Si potrebbe, volendo, anche calcolare la durata della fase di strisciamento, ma non è richiesto.
La soluzione di navigatore non è corretta. Più precisamente, navigatore ha scomposto il problema in due sottoproblemi: per il calcolo della velocità finale del centro di massa ha supposto i dischi puntiformi, cosa lecita, per il calcolo della velocità angolare finale ha supposto che il contatto avvenisse come se ogni disco fosse vincolato ad un asse passante per il suo centro, cosa non lecita. Il secondo sottoproblema è un classico in questo ambito. Bisogna stare attenti a ridurre un problema più complesso in due sottoproblemi più semplici, a meno che non si spieghi scrupolosamente il motivo per cui una tale riduzione sia possibile. Che la soluzione non sia corretta lo testimonia il risultato di una velocità angolare finale che non dipende dalla velocità traslazionale iniziale. Scusate se mi sono intromesso.
"gordnbrn":
La soluzione di navigatore non è corretta. …….
Che la soluzione non sia corretta lo testimonia il risultato di una velocità angolare finale che non dipende dalla velocità traslazionale iniziale. Scusate se mi sono intromesso.
Non devi scusarti di nulla. Se pensi che la soluzione non sia corretta, proponi tu la soluzione corretta.
Come da dottrina, bisogna conservare il momento angolare del sistema, per semplicità, rispetto al centro di massa dello stesso nel momento dell'urto:
$4/3MV_0R-1/2MR^2\Omega_0=(1/2MR^2+16/9MR^2+MR^2+8/9MR^2)\Omega_f$
Non vedendo la figura, ho supposto che il disco inizialmente in moto abbia un senso di rotazione tale che il punto urtante abbia velocità maggiore di quella del centro e nello stesso verso.
$4/3MV_0R-1/2MR^2\Omega_0=(1/2MR^2+16/9MR^2+MR^2+8/9MR^2)\Omega_f$
Non vedendo la figura, ho supposto che il disco inizialmente in moto abbia un senso di rotazione tale che il punto urtante abbia velocità maggiore di quella del centro e nello stesso verso.
Sarebbe opportuno che scrivessi i passaggi e il ragionamento, giustificando i vari termini. Ad esempio, che cosa rappresenta $4/3MV_0R$ ?
L'unico momento angolare iniziale che vedo è quello del disco di massa $M$, dotato di moto rototraslatorio. Il suo momento angolare iniziale, rispetto al proprio asse, è $L= I\Omega_0 = 1/2MR^2\Omega_0$ .
Inoltre, qual è la velocità finale traslatoria dei due dischi ?
L'unico momento angolare iniziale che vedo è quello del disco di massa $M$, dotato di moto rototraslatorio. Il suo momento angolare iniziale, rispetto al proprio asse, è $L= I\Omega_0 = 1/2MR^2\Omega_0$ .
Inoltre, qual è la velocità finale traslatoria dei due dischi ?
La velocità di traslazione finale si ottiene conservando la quantità di moto totale: $V_0/3$. Non l'ho scritto perchè mi sembrava ovvio. Per quanto riguarda l'equazione scritta, a primo membro si ha il momento angolare del solo disco mobile rispetto al centro di massa del sistema che dista $4/3R$ dal centro dello stesso, calcolato mediante il terzo teorema del centro di massa, a secondo membro il momento angolare del sistema complessivo dopo l'urto avendo cura di calcolare i momenti d'inerzia corretti con il teorema del trasporto e ricordando che, rispetto al centro di massa, il momento angolare del sistema nel riferimento fisso è uguale a quello nel riferimento mobile che trasla con il centro di massa, aspetto fondamentale per poter comprendere la semplicità del secondo membro e che giustifica l'opportunità della scelta del centro di massa del sistema complessivo come polo.
Ho riletto il testo proposto da Tanatofobico, perché mi è sorto il dubbio di averlo male interpretato, e penso che sia proprio così. Infatti il testo dice :
non avevo fatto caso a quanto ho evidenziato in rosso : i due dischi vengono in contatto in modo radente!!!
Avevo interpretato invece che la velocità di traslazione $vecv_0$ del primo disco fosse diretta in direzione del centro del secondo disco, e quindi ho sbagliato la soluzione.
Se i dischi vengono in contatto in modo radente, vuol dire che il centro del primo disco passa a distanza minima $2R$ dal centro del secondo disco, e allora sì che c'è un ulteriore termine di momento angolare iniziale del primo disco rispetto al CM del sistema ! Inoltre, la traccia dice che il secondo disco "si attacca" al primo, invece avevo interpretato che ci fosse moto di rotolamento relativo tra i due dopo il contatto. E invece non è così, a quanto pare. I due dischi diventano un corpo unico, saldati nel punto di contatto iniziale.
Non avevo proprio capito la traccia. Mi scuso per la svista, e chiedo conferma a Tanatofobico, e nel frattempo voglio rifare i conti da me.
Però l'utente dovrebbe postare anche il disegno che cita, altrimenti non si capisce bene come stanno le cose.
"Un disco uniforme di massa M e raggio R si muove verso un altro disco uniforme di massa 2M e raggio R su un tavolo liscio. Il primo disco ha una velocità v0 ed una velocità angolare z come da figura (senso antiorario), mentre il secondo disco è inizialmente fermo. I due dischi vengono in contatto in modo radente e istantaneamente si attaccano insieme ed iniziano a muoversi come un unico oggetto".
non avevo fatto caso a quanto ho evidenziato in rosso : i due dischi vengono in contatto in modo radente!!!
Avevo interpretato invece che la velocità di traslazione $vecv_0$ del primo disco fosse diretta in direzione del centro del secondo disco, e quindi ho sbagliato la soluzione.
Se i dischi vengono in contatto in modo radente, vuol dire che il centro del primo disco passa a distanza minima $2R$ dal centro del secondo disco, e allora sì che c'è un ulteriore termine di momento angolare iniziale del primo disco rispetto al CM del sistema ! Inoltre, la traccia dice che il secondo disco "si attacca" al primo, invece avevo interpretato che ci fosse moto di rotolamento relativo tra i due dopo il contatto. E invece non è così, a quanto pare. I due dischi diventano un corpo unico, saldati nel punto di contatto iniziale.
Non avevo proprio capito la traccia. Mi scuso per la svista, e chiedo conferma a Tanatofobico, e nel frattempo voglio rifare i conti da me.
Però l'utente dovrebbe postare anche il disegno che cita, altrimenti non si capisce bene come stanno le cose.
"navigatore":
Ho riletto il testo proposto da Tanatofobico, perché mi è sorto il dubbio di averlo male interpretato.
Adesso si spiega tutto. Non riuscivo a capire per quale motivo ti facevi tutti quei problemi. L'esercizio, pur essendo di notevole valore didattico, non mi sembrava impossibile. E io a dare spiegazioni come un pirla. Pazienza, serviranno a chi ha proposto l'esercizio.
P.S.
Spero sia chiaro come ho interpretato il testo.
Ti ripeto, ho interpretato il testo nella maniera errata che ho descritto, la mancanza di una figura ha contribuito a non farmi capire. Sono stato superficiale nella lettura del testo. In effetti, letto nella maniera giusta, è abbastanza semplice. Però il momento angolare iniziale potrebbe essere uguale anche alla somma dei due termini, non alla differenza, se i sensi di rotazione fossero entrambi antiorari ; supponiamo per esempio che il primo disco, che ruota in verso antiorario, passi "di sotto" al secondo disco, da sinistra a destra, radente come detto, e non di sopra : allora i due termini a primo membro andrebbero sommati.
Ecco che la figura diventa essenziale, in un caso del genere.
Comunque le spiegazioni non sono mai "da pirla" . Per esempio, in questo caso sono servite a farmi venire il dubbio e capire dove avevo sbagliato.
Ecco che la figura diventa essenziale, in un caso del genere.
Comunque le spiegazioni non sono mai "da pirla" . Per esempio, in questo caso sono servite a farmi venire il dubbio e capire dove avevo sbagliato.
"navigatore":
Però il momento angolare iniziale potrebbe essere uguale anche alla somma dei due termini, non alla differenza.
Concordo pienamente. Se vai a vedere uno dei miei messaggi precedenti, la mia interpretazione prevedeva una differenza.
Se però prendiamo in considerazione il quesito b) dell'utente, allora la situazione diventa univoca: il momento angolare finale deve essere nullo, quindi deve esserlo anche quello iniziale.
Quella domanda mi era scappata. A questo punto siamo a cavallo.
Adesso mi farebbe piacere se ci fosse un feedback da Tanatofobico.
Non vorrei che oltre alla fobia per la morte avesse anche quella per la fisica.
Non vorrei che oltre alla fobia per la morte avesse anche quella per la fisica.
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