Conservazione energia per corpi rigidi non puntiformi
Ciao, amici! Conosco la dimostrazione del teorema dell'energia cinetica per corpi puntiformi, formulato come\[\Delta K-\Delta U= W_{\text{non}}\]dove \(\Delta K\) è la variazione dell'energia cinetica, cioè $1/2mv_f^2-1/2mv_i^2$, ovvero il lavoro \(W_{\text{tot}}\) svolto da tutte le forze, \(\Delta U\) la variazione di energia potenziale, cioè l'opposto del lavoro \(W_{\text{con}}\) effettuato dalle forze conservative agenti sulla particella e \(W_{\text{non}}\) è il lavoro compiuto dalle forze non conservative.
Direi che il teorema si generalizzi a corpi non puntiformi sommando le variazioni di ogni particella puntiforme massiccia costituente il corpo discreto o integrando rispetto alla massa per corpi continui.
Svolgendo parecchi esercizi di dinamica (come per esempio questo) noto che, con il solo dire che non agiscono attriti sul corpo rigido non puntiforme preso in considerazione, si dà spesso per scontato che \(\Delta K=\Delta U\), cioè che l'energia meccanica si conservi, anzi, noto addirittura che il lavoro svolto dalla forza esercitata da una parte del corpo sull'altra non viene neanche preso in considerazione, come se fosse nullo. So che si tratta di una semplificazione relativa ad un corpo ideale perfettamente rigido.
Tuttavia, assumendo il modello matematico di un corpo idealmente rigido, com'è giustificabile, ammesso che lo sia, con rigore matematico, che il lavoro svolto dalle forze interne è nullo? Direi che si tratti di dimostrare, per esempio per sistema discreto, che, chiamando \(\mathbf{F}_{ij}\) la forza esercitata dal corpo puntiforme di massa $m_i$ su quello di massa $m_j$ e chiamando \(\mathbf{r}_j:[a_j,b_j]\to\mathbb{R}^3\) la curva percorsa dal corpo di massa $m_j$, la somma dei lavori compiuti dalle forze interne \(\mathbf{F}_{ij}\), cioè $\sum_{i,j}\int_{a_j}^{b_j}\mathbf{F}_{ij}(\mathbf{r}_{j}(t))\cdot\mathbf{r}_{j}'(t)dt$, è nulla. Ora, dalla terza legge di Newton, \(\mathbf{F}_{ij}=-\mathbf{F}_{ji}\), direi che discenda che \[\sum_{i,j}\int_{a_j}^{b_j}\mathbf{F}_{ij}(\mathbf{r}_{j}(t))\cdot\mathbf{r}_{j}'(t)dt=\sum_{i
$\infty$ grazie a tutti!!!
Direi che il teorema si generalizzi a corpi non puntiformi sommando le variazioni di ogni particella puntiforme massiccia costituente il corpo discreto o integrando rispetto alla massa per corpi continui.
Svolgendo parecchi esercizi di dinamica (come per esempio questo) noto che, con il solo dire che non agiscono attriti sul corpo rigido non puntiforme preso in considerazione, si dà spesso per scontato che \(\Delta K=\Delta U\), cioè che l'energia meccanica si conservi, anzi, noto addirittura che il lavoro svolto dalla forza esercitata da una parte del corpo sull'altra non viene neanche preso in considerazione, come se fosse nullo. So che si tratta di una semplificazione relativa ad un corpo ideale perfettamente rigido.
Tuttavia, assumendo il modello matematico di un corpo idealmente rigido, com'è giustificabile, ammesso che lo sia, con rigore matematico, che il lavoro svolto dalle forze interne è nullo? Direi che si tratti di dimostrare, per esempio per sistema discreto, che, chiamando \(\mathbf{F}_{ij}\) la forza esercitata dal corpo puntiforme di massa $m_i$ su quello di massa $m_j$ e chiamando \(\mathbf{r}_j:[a_j,b_j]\to\mathbb{R}^3\) la curva percorsa dal corpo di massa $m_j$, la somma dei lavori compiuti dalle forze interne \(\mathbf{F}_{ij}\), cioè $\sum_{i,j}\int_{a_j}^{b_j}\mathbf{F}_{ij}(\mathbf{r}_{j}(t))\cdot\mathbf{r}_{j}'(t)dt$, è nulla. Ora, dalla terza legge di Newton, \(\mathbf{F}_{ij}=-\mathbf{F}_{ji}\), direi che discenda che \[\sum_{i,j}\int_{a_j}^{b_j}\mathbf{F}_{ij}(\mathbf{r}_{j}(t))\cdot\mathbf{r}_{j}'(t)dt=\sum_{i
$\infty$ grazie a tutti!!!
Risposte
Forse non capisco bene cosa vuoi dire con quegli integrali, però una cosa è certa: se un corpo è davvero rigido il lavoro interno è nullo semplicemente perché non c'è spostamento reciproco tra le parti del corpo stesso, dunque anche se ci fossero delle forze interne di attrazione o repulsione tra le parti, queste non muoverebbero le parti stesse, le reciproche distanze tra le parti resterebbero inalterate, dunque il lavoro sarebbe nullo. Diverso sarebbe se le parti fossero mobili. Ad esempio se il corpo potesse essere schematizzato come tante palline collegate l'una all'altra da molle, allora secondo certe condizioni iniziali di non riposo per le molle il corpo lasciato andare a sé stesso vibrerebbe conservando la propria energia totale (sempre nell'ipotesi che non ci fossero attriti interni). Il CM non si sposterebbe rispetto alla posizione iniziale, essendo le forze interne, ma l'energia interna sarebbe in tal modo diversa da zero. Questo però non è il caso dei corpi rigidi.
"Falco5x":Ogni punto materiale puntiforme $j$ di massa $m_j$ percorre una curva \(\mathbf{r}_j:[t_0,t_f]\to\mathbb{R}^3\) -avevo sbagliato ad introdurre un dominio diverso per le varie curve, dato che comunque una curva regolare a tratti si può riparametrizzare su qualunque intervallo e scegliere un un unico intervallo, temporale, per tutte le curve è comodo e intuitivo- subendo l'azione delle forze interne \(\mathbf{F}_{ij}\), \(i=1,...,n\), perciò il lavoro compiuto dalle forze interne sul punto $j$ è\[\sum_{i=1}^n \int_{t_0}^{t_f}\mathbf{F}_{ij}\cdot\mathbf{r}_j'(t)dt\]e il lavoro compiuto su tutti i punti è perciò\[\sum_{i,j} \int_{t_0}^{t_f}\mathbf{F}_{ij}\cdot\mathbf{r}_j'(t)dt.\]Per la terza legge di Newton \(\mathbf{F}_{ij}=-\mathbf{F}_{ji}\) quindi, ordinando al secondo membro della catena di uguaglianze i termini in modo che appaiano insieme la forza che esercita $i$ su $j$ e quella che esercita $j$ su $i$ (escludendo ogni \(\mathbf{F}_{ii}\), che è nulla),\[\sum_{i,j} \int_{t_0}^{t_f}\mathbf{F}_{ij}\cdot\mathbf{r}_j'(t)dt=\sum_{i
Forse non capisco bene cosa vuoi dire con quegli integrali
"Falco5x":Bene, il punto è questo. Come si può dimostrare matematicamente la cosa?
se un corpo è davvero rigido il lavoro interno è nullo semplicemente perché non c'è spostamento reciproco tra le parti del corpo stesso, dunque anche se ci fossero delle forze interne di attrazione o repulsione tra le parti, queste non muoverebbero le parti stesse, le reciproche distanze tra le parti resterebbero inalterate, dunque il lavoro sarebbe nullo.
$\infty$ grazie ancora!
DavideGenova, la parentesi nella tua ultima espressione è esattamente la differenza vettoriale delle velocità di due punti i, j del corpo, cioè la derivata rispetto al tempo del vettore che congiunge i due punti.
Nel caso di corpo rigido il vettore che congiunge i due punti è per definizione di modulo costante quindi la sua derivata è ortogonale al vettore stesso, mentre invece la forza Fij è diretta lungo il vettore (per il terzo principio di Newton), quindi il prodotto scalare si annulla. Insomma è nullo l'integrando, istante per istante, per ogni i, j
Nel caso di corpo rigido il vettore che congiunge i due punti è per definizione di modulo costante quindi la sua derivata è ortogonale al vettore stesso, mentre invece la forza Fij è diretta lungo il vettore (per il terzo principio di Newton), quindi il prodotto scalare si annulla. Insomma è nullo l'integrando, istante per istante, per ogni i, j
@ralf86
Ti ringrazio per l'accoglienza!
La tua ultima risposta è perfetta. Non so però se la retta d'azione delle forze interne tra due punti debba essere sempre ipotizzata sulla congiungente tra i punti stessi. Forse la dimostrazione del lavoro nullo si può generalizzare al caso in cui non lo sia, però le forze siano comunque uguali e contrarie, e poi ci siano anche momenti interni uguali e contrari sui due punti per bilanciare i momenti non nulli delle forze?
Non mi viane in mente un esempio, però in linea generale forse un caso del genere potrebbe essere immaginato...
(puoi anche mandarmi a quel paese se vuoi, così bilanci il benvenuto, tale e quale come si bilanciano le forze interne
)
Ti ringrazio per l'accoglienza!
La tua ultima risposta è perfetta. Non so però se la retta d'azione delle forze interne tra due punti debba essere sempre ipotizzata sulla congiungente tra i punti stessi. Forse la dimostrazione del lavoro nullo si può generalizzare al caso in cui non lo sia, però le forze siano comunque uguali e contrarie, e poi ci siano anche momenti interni uguali e contrari sui due punti per bilanciare i momenti non nulli delle forze?
Non mi viane in mente un esempio, però in linea generale forse un caso del genere potrebbe essere immaginato...
(puoi anche mandarmi a quel paese se vuoi, così bilanci il benvenuto, tale e quale come si bilanciano le forze interne
)
Ciao falco, ogni commento critico è sempre benvenuto! Stiamo qui considerando il corpo esteso come formato da tanti punti materiali.
La forza interna che agisce sul punto materiale i è per definizione la somma vettoriale delle forze che ognuno degli altri punti materiali del corpo esercita sul punto materiale i.
Chiamiamo j uno di questi punti materiali (diverso da i).
E' chiaro che allora la forza che j esercita su i è diretta lungo la congiungere ai punti i j (terzo principio).
PS se si schematizza il corpo esteso come un continuo anzi che come tante palline (meccanica dei continui) si riesce a dimostrare che il lavoro delle forze interne è proporzionale alla deformazione del corpo, nulla per corpi rigidi.
La forza interna che agisce sul punto materiale i è per definizione la somma vettoriale delle forze che ognuno degli altri punti materiali del corpo esercita sul punto materiale i.
Chiamiamo j uno di questi punti materiali (diverso da i).
E' chiaro che allora la forza che j esercita su i è diretta lungo la congiungere ai punti i j (terzo principio).
PS se si schematizza il corpo esteso come un continuo anzi che come tante palline (meccanica dei continui) si riesce a dimostrare che il lavoro delle forze interne è proporzionale alla deformazione del corpo, nulla per corpi rigidi.
"ralf86":Grande! È proprio ciò che mi mancava! $\aleph_1$ grazie!
Nel caso di corpo rigido il vettore che congiunge i due punti ha per definizione il modulo costante quindi la sua derivata è ortogonale al vettore stesso, mentre invece la forza Fij è diretta lungo il vettore (per il terzo principio di Newton), quindi il prodotto scalare si annulla. Insomma è nullo l'integrando, istante per istante, per ogni i, j
Figurati Davidegenova.
Personalmente ho sempre trovato l'argomento "lavoro delle forze interne in corpi estesi" molto intrigante e spesso sfuggente.
Se ti interessa approfondire la questione ti consiglio di cercare "potenza dello stress" o "stress power". Si tratta essenzialmente dell'espressione matematica (quantitativa) dell' opposto della derivata rispetto al tempo del lavoro (potenza appunto) delle forze interne in un corpo, per unità di volume. È quindi una quantità definibile punto per punto,istante per istante, che può essere integrata su tutto il volume del corpo, e nell'intervallo di tempo per avere il Lavoro in Joule delle forze interne nel corpo.
L'espressione nasce naturalmente applicando il bilancio di'energia cinetica (lavoro di tutte forze=differenza energia cinetica) in meccanica dei continui ad un corpo genericamente deformable (fluido, plastico, elastico, viscoso...).
ciao
Personalmente ho sempre trovato l'argomento "lavoro delle forze interne in corpi estesi" molto intrigante e spesso sfuggente.
Se ti interessa approfondire la questione ti consiglio di cercare "potenza dello stress" o "stress power". Si tratta essenzialmente dell'espressione matematica (quantitativa) dell' opposto della derivata rispetto al tempo del lavoro (potenza appunto) delle forze interne in un corpo, per unità di volume. È quindi una quantità definibile punto per punto,istante per istante, che può essere integrata su tutto il volume del corpo, e nell'intervallo di tempo per avere il Lavoro in Joule delle forze interne nel corpo.
L'espressione nasce naturalmente applicando il bilancio di'energia cinetica (lavoro di tutte forze=differenza energia cinetica) in meccanica dei continui ad un corpo genericamente deformable (fluido, plastico, elastico, viscoso...).
ciao
Grazie ancora!
@ralf86
Insisto proprio perché ti intendi di questi problemi. La mia osservazione di prima voleva porre la questione se le forze interne fossero tutte con retta d'azione sulla congiungente dei punti interessati, perché quello mi pare solo il caso più semplice. Prendi ad esempio una trave incastrata e caricata all'estremo, ogni particella di quel corpo esercita su quella vicina una forza di taglio e un momento flettente, se non ricordo male, e probabilmente sforzi diversi (compresa trazione e compressione) in funzione della reciproca posizione delle particelle limitrofe. In questo caso il problema mi pare più complesso, questo volevo dire, ma forse non ero stato chiaro. Tu che ne pensi?
Insisto proprio perché ti intendi di questi problemi. La mia osservazione di prima voleva porre la questione se le forze interne fossero tutte con retta d'azione sulla congiungente dei punti interessati, perché quello mi pare solo il caso più semplice. Prendi ad esempio una trave incastrata e caricata all'estremo, ogni particella di quel corpo esercita su quella vicina una forza di taglio e un momento flettente, se non ricordo male, e probabilmente sforzi diversi (compresa trazione e compressione) in funzione della reciproca posizione delle particelle limitrofe. In questo caso il problema mi pare più complesso, questo volevo dire, ma forse non ero stato chiaro. Tu che ne pensi?
Falco non sono sicuro di aver ben capito la tua osservazione. cosa intendi per particella? un concio di trave o un punto materiale?
"ralf86":
Falco non sono sicuro di aver ben capito la tua osservazione. cosa intendi per particella? un concio di trave o un punto materiale?
Siccome si è finora parlato di punti materiali tra i quali agiscono forze mutue, a questi mi riferivo.
Ok, allora ti pongo una domanda. Come fa un punto materiale ad applicare un momento flettente su un altro punto materiale? ti ricordo che i momenti "in se" non esistono (a meno forse del caso dei materiali cosiddetti polari come i cristalli liquidi che qui possiamo escludere perché rappresentano un caso molto particolare).
Un momento è fisicamente sempre dato da forza per braccio.
Un momento è fisicamente sempre dato da forza per braccio.
Certo, i momenti sono gli integrali delle forze di taglio (mi pare). E qui volevo arrivare, perché gli sforzi di taglio non sono forse forze ortogonali alla superficie che separa i due elementi considerati? (come fossero degli attriti). Dunque le forze mutue tra due elementi non è detto che agiscano lungo l'asse che congiunge i due elementi, o almeno così mi pare di poter concludere. Da cui il dubbio che fin dall'inizio ti avevo posto. Non sto facendo finta, eh, davvero sono domande che ti/mi pongo.
perdonami ma non riesco a visualizzare la situazione fisica a cui fai riferimento. Credo che un tuo disegno possa aiutare.
Ci provo, anche se sono io per primo ad avere dubbi:
Schematizzo solo una riga di punti materiali componenti la trave, per semplicità ma il caso si può estendere.
Prendendo in esame il corpo b, in nero sono le forze elementari che agiscono su di lui: il corpo c lo tira verso il basso, il corpo a lo tira verso l'alto. Si tratta di sforzi di taglio che sono quindi ortogonali alla congiungente dei corpi, e che danno luogo a un momento. Questo momento viene poi compensato da un momento opposto fornito da una compressione sul lato inferiore e da una trazione sul lato superiore. Le frecce rosse sono invece le forze che il corpo b trasmette ai corpi limitrofi. Come vedi su ogni sezione di confine ci sono coppie di forze uguali e contrarie, le forze interne appunto, che però non sono semplicemente assiali rispetto alle congiungenti centrate sui cm dei singoli elementi.
Non so se è chiaro da questo esempio ciò che intendevo.
Schematizzo solo una riga di punti materiali componenti la trave, per semplicità ma il caso si può estendere.
Prendendo in esame il corpo b, in nero sono le forze elementari che agiscono su di lui: il corpo c lo tira verso il basso, il corpo a lo tira verso l'alto. Si tratta di sforzi di taglio che sono quindi ortogonali alla congiungente dei corpi, e che danno luogo a un momento. Questo momento viene poi compensato da un momento opposto fornito da una compressione sul lato inferiore e da una trazione sul lato superiore. Le frecce rosse sono invece le forze che il corpo b trasmette ai corpi limitrofi. Come vedi su ogni sezione di confine ci sono coppie di forze uguali e contrarie, le forze interne appunto, che però non sono semplicemente assiali rispetto alle congiungenti centrate sui cm dei singoli elementi.
Non so se è chiaro da questo esempio ciò che intendevo.
Con riferimento alla figura
La forza che il cubetto b esercita sul cubetto a è rappresentata dalla freccia rossa verso il basso applicata su a.
La freccia verso l'alto su b e freccia verso il basso su a, appartengono a due facce della stessa sezione di trave, I cubetti sono rappresentati staccati per esigenze rappresentative ma in realtà non lo sono. Sono quindi forze allineate, uguali ed opposte (terzo principio).
Le frecce orizzontali sono le reazioni dovute ad cubetti (non rappresentati) presenti in altre righe.
Il lavoro delle forze interne in questa schematizzazione (tipica della meccanica dei continui) si calcola considerando gli sforzi e deformazione del singolo cubetto
La forza che il cubetto b esercita sul cubetto a è rappresentata dalla freccia rossa verso il basso applicata su a.
La freccia verso l'alto su b e freccia verso il basso su a, appartengono a due facce della stessa sezione di trave, I cubetti sono rappresentati staccati per esigenze rappresentative ma in realtà non lo sono. Sono quindi forze allineate, uguali ed opposte (terzo principio).
Le frecce orizzontali sono le reazioni dovute ad cubetti (non rappresentati) presenti in altre righe.
Il lavoro delle forze interne in questa schematizzazione (tipica della meccanica dei continui) si calcola considerando gli sforzi e deformazione del singolo cubetto
No, non solo direi; senza pensare ad altre righe le frecce orizzontali sono la compressione e la trazione esercitata da a su b e viceversa per equilibrare i momenti delle frecce nere verticali su facce opposte dello stesso cubetto.
Ma a parte ciò il disegno dice che le forze tra cubetti limitrofi non sono assiali lungo l'asse sei CM, dunque... la faccenda è più complicata con riferimento al lavoro nullo delle forze interne di un corpo rigido (mi pare), che era l'argomento del thread, perché qui le velocità del corpo pensato in movimento non sono necessariamente ortogonali alle forze interne, se il corpo è rigido. Anche nel caso di forze assiali le forze limitrofe si annullano, però se l'elemento è deformabile il lavoro interno è diverso da zero, mentre se è indeformabile come hai detto tu ciascuna forza agisce su spostamenti ortogonali alla congiungente. In questo caso dico solo che è più complicato, ma qui mi fermo perché non saprei procedere.
Ma a parte ciò il disegno dice che le forze tra cubetti limitrofi non sono assiali lungo l'asse sei CM, dunque... la faccenda è più complicata con riferimento al lavoro nullo delle forze interne di un corpo rigido (mi pare), che era l'argomento del thread, perché qui le velocità del corpo pensato in movimento non sono necessariamente ortogonali alle forze interne, se il corpo è rigido. Anche nel caso di forze assiali le forze limitrofe si annullano, però se l'elemento è deformabile il lavoro interno è diverso da zero, mentre se è indeformabile come hai detto tu ciascuna forza agisce su spostamenti ortogonali alla congiungente. In questo caso dico solo che è più complicato, ma qui mi fermo perché non saprei procedere.
Falco, se si vuole mettere in ballo la meccanica dei continui, occorre fare attenzione: distinguere forze da tensioni, cubetti infinitesimi da sezioni di area finita della trave, ecc.
Le tensioni orizzontali rappresentate agiscono parallelamente alle superficie quindi non sono di compressione/trazione ma sempre di taglio come quelle verticali.
Le forze di cubetti adiacenti sono applicate su facce opposte della stessa sezione, quindi sono applicate esattamente nello . Siccome i punti di aplicazione coincidono e' impossibile definire una congiungente. Infine non ha senso chiedersi se le due forze sonio dirette lungo la congiungetne o meno.
L'ambito dei continui richiederebbe argomentazioni più sofisticate e precise di questi discussioni "alla buona" tuttavia spero di essere riuscito a rispondere almeno in parte alla tua osservazione.
Le tensioni orizzontali rappresentate agiscono parallelamente alle superficie quindi non sono di compressione/trazione ma sempre di taglio come quelle verticali.
Le forze di cubetti adiacenti sono applicate su facce opposte della stessa sezione, quindi sono applicate esattamente nello . Siccome i punti di aplicazione coincidono e' impossibile definire una congiungente. Infine non ha senso chiedersi se le due forze sonio dirette lungo la congiungetne o meno.
L'ambito dei continui richiederebbe argomentazioni più sofisticate e precise di questi discussioni "alla buona" tuttavia spero di essere riuscito a rispondere almeno in parte alla tua osservazione.
"ralf86":
Le tensioni orizzontali rappresentate agiscono parallelamente alle superficie quindi non sono di compressione/trazione ma sempre di taglio come quelle verticali.
Le forze di cubetti adiacenti sono applicate su facce opposte della stessa sezione, quindi sono applicate esattamente nello . Siccome i punti di applicazione coincidono e' impossibile definire una congiungente. Infine non ha senso chiedersi se le due forze sonio dirette lungo la congiungente o meno.
L'ambito dei continui richiederebbe argomentazioni più sofisticate e precise di questi discussioni "alla buona" tuttavia spero di essere riuscito a rispondere almeno in parte alla tua osservazione.
Sull'ultima frase sono completamente d'accordo.
Sulla penultima frase la cosa mi pare poco intuitiva, perché se la trave fosse fatta solo di quei cubetti, sono certo che sopra si fessurerebbe, cioè i cubetti si separerebbero ulteriormente (trazione) e sotto si sbriciolerebbe perché i cubetti si avvicinerebbero (compressione). Ma l'intuizione inganna a volte, quindi mi rimetto alle tue conoscenze.
Sulla prima frase si rafforza la mia idea che il modello inizialmente utilizzato in questo thread per dire che il lavoro interno dei corpi rigidi è nullo, sia troppo semplificato.
E con ciò per quanto mi riguarda non trovo altro da dire.
Ciao.
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