Conservazione energia meccanica
Salve a tutti ragazzi!
Mi sono imbattuto in un esercizio chd non riesco proprio a capire.
In pratica c'è un carrello con sopra un piano inclinato e alla base del piano so trova un disco di raggio e massa dati. Il sistema viaggia con velocità Vo data, e il disco è in quiete rispetto al carrello.
Il problema chiede di calcolare l'altezza che raggiunge il disco dopo che il carrello è andato a sbattere contro il muro senza rimbalzare (ovvero fermandosi) e l'altezza che raggiunge se invece va a sbattere anelasticamente contro un altro carrello. In questo ultimo caso chiede di calcolare anche la velocità del carrello dopo che la massa ha raggiunto il punto più altro del piano inclinato.
Non avendo le soluzioni ho pensato per la prima parye di usare la conservazione dell'energia meccanica non avendo nessuna forza dissipativa, mentre per la seconda parte ho pensato di considerare prima l'urto tra i due carrelli ma poi non saprei come continuare!
Qualcuno così gentile da spazzarmi via ogni dubbio?
Mi sono imbattuto in un esercizio chd non riesco proprio a capire.
In pratica c'è un carrello con sopra un piano inclinato e alla base del piano so trova un disco di raggio e massa dati. Il sistema viaggia con velocità Vo data, e il disco è in quiete rispetto al carrello.
Il problema chiede di calcolare l'altezza che raggiunge il disco dopo che il carrello è andato a sbattere contro il muro senza rimbalzare (ovvero fermandosi) e l'altezza che raggiunge se invece va a sbattere anelasticamente contro un altro carrello. In questo ultimo caso chiede di calcolare anche la velocità del carrello dopo che la massa ha raggiunto il punto più altro del piano inclinato.
Non avendo le soluzioni ho pensato per la prima parye di usare la conservazione dell'energia meccanica non avendo nessuna forza dissipativa, mentre per la seconda parte ho pensato di considerare prima l'urto tra i due carrelli ma poi non saprei come continuare!
Qualcuno così gentile da spazzarmi via ogni dubbio?
Risposte
Nel primo caso, per il disco non si conserva la quantita di moto, perche' all'impatto nasce una forza di attrito impulsiva tra disco e carrello.
Ma rispetto a un polo fisso ortogonale al piano del foglio e posto ad altezza piano carrello, questa forza non fa momento.
Quindi si conserva il momento angolare.
Prima dell'urto, il momento angolare vale $mv_1R$. Dopo l'urto vale $mv_2R+I_comega$ (con $I_c=(mR^2)/2$).
Nell ipotesi di puro rotolamento, vale che $v_2=omegaR$
Da qui si ricava la $omega$ con cui parte il disco dopo l'impatto. Da quel momento in poi, se non ci sono altre forze, l'energia meccanica si conserva e ti permette di calcolare a che altezza arriva il corpo.
Nel secondo si dovrebbe conservare tutto tranne l'energia, perche' le forze di attrito sono interne.
Prova risolvere
Ma rispetto a un polo fisso ortogonale al piano del foglio e posto ad altezza piano carrello, questa forza non fa momento.
Quindi si conserva il momento angolare.
Prima dell'urto, il momento angolare vale $mv_1R$. Dopo l'urto vale $mv_2R+I_comega$ (con $I_c=(mR^2)/2$).
Nell ipotesi di puro rotolamento, vale che $v_2=omegaR$
Da qui si ricava la $omega$ con cui parte il disco dopo l'impatto. Da quel momento in poi, se non ci sono altre forze, l'energia meccanica si conserva e ti permette di calcolare a che altezza arriva il corpo.
Nel secondo si dovrebbe conservare tutto tranne l'energia, perche' le forze di attrito sono interne.
Prova risolvere
Il problema è che non ci sono attriti di nessun genere ne tra piano carrello ne tra sfera e carrello!
Mi pare strano che non ci siano attriti. Non avrebbe senso mettere un disco.
Comunque, se non ci sono attriti, si semplifica tutto.
Nel primo caso, il disco, non essendo soggetto a forze esterne, conserva la sua quantita di moto $mv_0$.
Quindi parte con velocita $v_1=v_0$. Da quel momento l'energia meccanica si conserva, e il disco risale il piano inclinato soddisfando l'equazione $1/2mv_0^2=mgh$ da cui si ricava h facilmente.
Nel secondo caso di nuovo si conserva la qdm. La quantita di moto disco+carrello prima dell'impatto e' $(m+m_1)v_0$
Immediatamente dopo l'impatto, la quantita di moto e' $(m_1+m_2)v_1 + mv_2$.
dove il primo addendo rappresenta la qdm dei due carrelli appiccicati e il secondo addendo rappresenta la qdm del disco.
Ma di nuovo, il disco non e' sottoposto a forze esterne, quindi non risente dell'urto che, dal suo punto di vista, e' come se non accadesse. Quindi continua imperterrito, immediatamente dopo l'impatto, con velocita' $v_2=v_0$
Quindi
$(m_1+m_2)v_1 + mv_0=(m+m_1)v_0$
da cui $v_1=m_1/(m_1+m_2)v_0$
Dopo l'impatto si conserva l'energia meccanica.
Immediatamente dopo l'impatto, l'energia potenziale e' nulla, la cinetica e'composta da
$1/2(m_1+m_2)v_1^2$ (carrelli)
$1/2mv_0^2$ (disco)
Quando il disco ha raggiunto la quota massima h, l'energia meccanica e' composta da
$1/2(m+m_1+m_2)v_f^2+mgh$
cioe' semplicemente
$1/2(m_1+m_2)*[m_1/(m_1+m_2)]^2v_0^2+1/2mv_0^2=1/2(m+m_1+m_2)v_f^2+mgh$ da cui ricavi la $v_f$
Comunque, se non ci sono attriti, si semplifica tutto.
Nel primo caso, il disco, non essendo soggetto a forze esterne, conserva la sua quantita di moto $mv_0$.
Quindi parte con velocita $v_1=v_0$. Da quel momento l'energia meccanica si conserva, e il disco risale il piano inclinato soddisfando l'equazione $1/2mv_0^2=mgh$ da cui si ricava h facilmente.
Nel secondo caso di nuovo si conserva la qdm. La quantita di moto disco+carrello prima dell'impatto e' $(m+m_1)v_0$
Immediatamente dopo l'impatto, la quantita di moto e' $(m_1+m_2)v_1 + mv_2$.
dove il primo addendo rappresenta la qdm dei due carrelli appiccicati e il secondo addendo rappresenta la qdm del disco.
Ma di nuovo, il disco non e' sottoposto a forze esterne, quindi non risente dell'urto che, dal suo punto di vista, e' come se non accadesse. Quindi continua imperterrito, immediatamente dopo l'impatto, con velocita' $v_2=v_0$
Quindi
$(m_1+m_2)v_1 + mv_0=(m+m_1)v_0$
da cui $v_1=m_1/(m_1+m_2)v_0$
Dopo l'impatto si conserva l'energia meccanica.
Immediatamente dopo l'impatto, l'energia potenziale e' nulla, la cinetica e'composta da
$1/2(m_1+m_2)v_1^2$ (carrelli)
$1/2mv_0^2$ (disco)
Quando il disco ha raggiunto la quota massima h, l'energia meccanica e' composta da
$1/2(m+m_1+m_2)v_f^2+mgh$
cioe' semplicemente
$1/2(m_1+m_2)*[m_1/(m_1+m_2)]^2v_0^2+1/2mv_0^2=1/2(m+m_1+m_2)v_f^2+mgh$ da cui ricavi la $v_f$
Perfetto grazie mille!
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