Conservazione energia campo elettrico
Si consideri un sistema di assi cartesiani ortogonali $xyz$. In una regione di spazio vuoto, fra i piani
$x=0$ e $x=D$, è presente un campo elettrico non uniforme $ E=Ax^2\vec u_x $ ed un campo magnetico uniforme
$B=B_0\vec u_x$. Una carica puntiforme $Q$ di massa $M$ all’istante $t=0$ si trova nell’origine $O=(0,0,0)$ con
velocità diretta lungo $y: \vec v=v_0(0,1,0)$. Sapendo che la carica emerge dal piano $x=D$ nel punto $(D,0,0)$
con velocità raddoppiata in modulo e considerato che D, $v_0$ sono dati noti, mentre $A$ e $B_0$ sono da
determinare, calcolare
a) La velocità che ha la carica all’uscita;
b) il valore della costante $A$;
c) i possibili valori della costante $B_0$ in funzione del tempo di transito (si assuma cioè noto
l’istante d’uscita $t1$)
d) Infine, discutere se il campo elettrico considerato sopra può realmente esistere in una
regione di spazio vuoto (chiarire perché non può esistere o descrivere qualitativamente una
configurazione che lo realizzi)
La carica $Q$ viene spostato in direzione x, e quindi varia la sua velocità in tale direzione, dalla sola forza generata da campo elettrico $E$. Le altre due componenti saranno le stesse dell'inizio.
Quindi dalla conservazione dell'energia ho che $\Delta E = Q \DeltaV$ e dunque $\Delta E = Q \int_{0}^{D} Ax^2 dx = (AQ/3)D^3$. A questo punto io farei $(AQ/3)D^3 = 1/2MV_(xf)^2-1/2MV_0^2$ e da qui mi trovo quanto vale la componente $V_(xf)$. Nelle soluzioni il prof scrive $(1/2)MV_0^2+(AQ/3)D^3=(1/2)MV_0^2+1/2MV_(xf)^2$. Sapreste dirmi il perchè?
Per la seconda considerando che Q deve compiere orbite complete intorno a $B_0$ affinchè si trovi nel punto di uscita in quell'istante. Il periodo è $T=2\piM/QB_0$ e dunque i valori possibili per $B_0$ sono quelli che verificano $nT=t_1$.
Per la terza domanda credo che la risposta sia no perché il campo non ha divergenza nulla.
Il dubbio è quindi sulla prima domanda, sarà una sciocchezza ma non riesco a capire!
Grazie a chi mi aiuterà!
$x=0$ e $x=D$, è presente un campo elettrico non uniforme $ E=Ax^2\vec u_x $ ed un campo magnetico uniforme
$B=B_0\vec u_x$. Una carica puntiforme $Q$ di massa $M$ all’istante $t=0$ si trova nell’origine $O=(0,0,0)$ con
velocità diretta lungo $y: \vec v=v_0(0,1,0)$. Sapendo che la carica emerge dal piano $x=D$ nel punto $(D,0,0)$
con velocità raddoppiata in modulo e considerato che D, $v_0$ sono dati noti, mentre $A$ e $B_0$ sono da
determinare, calcolare
a) La velocità che ha la carica all’uscita;
b) il valore della costante $A$;
c) i possibili valori della costante $B_0$ in funzione del tempo di transito (si assuma cioè noto
l’istante d’uscita $t1$)
d) Infine, discutere se il campo elettrico considerato sopra può realmente esistere in una
regione di spazio vuoto (chiarire perché non può esistere o descrivere qualitativamente una
configurazione che lo realizzi)
La carica $Q$ viene spostato in direzione x, e quindi varia la sua velocità in tale direzione, dalla sola forza generata da campo elettrico $E$. Le altre due componenti saranno le stesse dell'inizio.
Quindi dalla conservazione dell'energia ho che $\Delta E = Q \DeltaV$ e dunque $\Delta E = Q \int_{0}^{D} Ax^2 dx = (AQ/3)D^3$. A questo punto io farei $(AQ/3)D^3 = 1/2MV_(xf)^2-1/2MV_0^2$ e da qui mi trovo quanto vale la componente $V_(xf)$. Nelle soluzioni il prof scrive $(1/2)MV_0^2+(AQ/3)D^3=(1/2)MV_0^2+1/2MV_(xf)^2$. Sapreste dirmi il perchè?
Per la seconda considerando che Q deve compiere orbite complete intorno a $B_0$ affinchè si trovi nel punto di uscita in quell'istante. Il periodo è $T=2\piM/QB_0$ e dunque i valori possibili per $B_0$ sono quelli che verificano $nT=t_1$.
Per la terza domanda credo che la risposta sia no perché il campo non ha divergenza nulla.
Il dubbio è quindi sulla prima domanda, sarà una sciocchezza ma non riesco a capire!
Grazie a chi mi aiuterà!
Risposte
Ciao. Intanto complimenti per l'uso del corretto formalismo per scrivere le formule, al terzo messaggio sono davvero in pochi ad essere così scrupolosi.
Sei sicuro/a dei dati che riporti? Posso sbagliarmi, ma se la velocità $vec(v)$ è nel piano $x=0$ ed il campo magnetico è parallelo all'asse $x$, la forza di Lorentz è contenuta nel piano $x=0$, ove il campo elettrico è costantemente nullo, quindi non c'è nessun motivo per cui la carica debba staccarsi dal piano $yz$ ; direi invece che è destinata a percorrere indefinitamente una stessa circonferenza contenuta in tale piano. Salvo miei errori.
Sei sicuro/a dei dati che riporti? Posso sbagliarmi, ma se la velocità $vec(v)$ è nel piano $x=0$ ed il campo magnetico è parallelo all'asse $x$, la forza di Lorentz è contenuta nel piano $x=0$, ove il campo elettrico è costantemente nullo, quindi non c'è nessun motivo per cui la carica debba staccarsi dal piano $yz$ ; direi invece che è destinata a percorrere indefinitamente una stessa circonferenza contenuta in tale piano. Salvo miei errori.
Ciao e grazie per la risposta! Effettivamente quello che dici mi parrebbe corretto dato che effettivamente il campo in $x=0$ è nullo, non ci avevo fatto caso.Il testo è proprio questo e nelle soluzioni il professore svolge l'esercizio come se esistesse $E$ in $0$ che mi va a variare la velocità lungo $x$. Probabilmente, alle volte accade, fa degli errori nei testi degli esercizi che corregge poi a voce al momento dell'esame.
Tuttavia, facendo finto che l campo esista esista in $x=0$, ho capito il motivo per cui non mi tornava. Sbagliavo a considerare la $V_x$ iniziale assegnandole valore $V_0$ anzichè $0$.
Grazie ancora
Tuttavia, facendo finto che l campo esista esista in $x=0$, ho capito il motivo per cui non mi tornava. Sbagliavo a considerare la $V_x$ iniziale assegnandole valore $V_0$ anzichè $0$.
Grazie ancora
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