Conservazione E tra dielettrico e vuoto
Salve a tutti, avrei bisogno di una spiegazione per un esercizio che sto facendo.
Il testo dell'esercizio è il seguente:
"Una sfera conduttrice di raggio R è caricata con una carica totale Q e sconnessa dal generatore. Tale sfera è per metà immersa in un dielettrico omogeneo ed isotropo di costante dielettrica relativa $ /epsilon_r $, come mostrato in figura. All'esterno c'è il vuoto. Si calcoli:
I) il potenziale della sfera
II) la densità superficiale di carica libera nella sfera conduttrice
III) la densità superficiale di carica di polarizzazione nel dielettrico
La soluzione dice che si conserva la componente tangenziale del campo elettrico e che $ E_v=E_d = E $, ma perchè accade questo? ( $ E_v $ è il campo elettrico nel vuoto, $ E_d $ nel dielettrico)
Io avevo pensato che ciò accade perchè il campo elettrico in questo caso è radiale, e l'interfaccia tra il dielettrico e il vuoto è perpendicolare al campo in quel punto.
La mia intuizione è giusta o sono fuori strada?
Il testo dell'esercizio è il seguente:
"Una sfera conduttrice di raggio R è caricata con una carica totale Q e sconnessa dal generatore. Tale sfera è per metà immersa in un dielettrico omogeneo ed isotropo di costante dielettrica relativa $ /epsilon_r $, come mostrato in figura. All'esterno c'è il vuoto. Si calcoli:
I) il potenziale della sfera
II) la densità superficiale di carica libera nella sfera conduttrice
III) la densità superficiale di carica di polarizzazione nel dielettrico
La soluzione dice che si conserva la componente tangenziale del campo elettrico e che $ E_v=E_d = E $, ma perchè accade questo? ( $ E_v $ è il campo elettrico nel vuoto, $ E_d $ nel dielettrico)
Io avevo pensato che ciò accade perchè il campo elettrico in questo caso è radiale, e l'interfaccia tra il dielettrico e il vuoto è perpendicolare al campo in quel punto.
La mia intuizione è giusta o sono fuori strada?
Risposte
La componente tangenziale di E si conserva perchè il campo elettrostatico è conservativo e la sua circuitazione lungo una qualsiasi linea chiusa è nulla.
Se quindi prendiamo un cammino costituito da una lunga linea L lungo il mezzo 1 in prossimità della superficie di separazione, un breve percorso h perpendicolare alla superficie di separazione che ci porti nel mezzo 2, una lunga linea L in direzione contraria alla precedente nel mezzo 2 e di nuovo un breve percorso h perpendicolare alla superficie di separazione che ci riporti al punto iniziale, potremo scrivere, trascurando i contributi dovuti ai percorsi di lunghezza h, la seguente:
$E1_t *L - E2_t *L =0$ da cui
$E1_t=E2_t$
Questo è un risultato generale ovvero lungo una superficie di separazione tra 2 mezzi si conserva la componente tangenziale del campo elettrico (a prescindere da come è fatto il campo).
Quindi nel ns. caso essendo il campo radiale alla sfera, in prossimità dell'interfaccia tra dielettrico e vuoto sarà tutto tangenziale all'interfaccia stessa e quindi $E_d = E_v$.
Se quindi prendiamo un cammino costituito da una lunga linea L lungo il mezzo 1 in prossimità della superficie di separazione, un breve percorso h perpendicolare alla superficie di separazione che ci porti nel mezzo 2, una lunga linea L in direzione contraria alla precedente nel mezzo 2 e di nuovo un breve percorso h perpendicolare alla superficie di separazione che ci riporti al punto iniziale, potremo scrivere, trascurando i contributi dovuti ai percorsi di lunghezza h, la seguente:
$E1_t *L - E2_t *L =0$ da cui
$E1_t=E2_t$
Questo è un risultato generale ovvero lungo una superficie di separazione tra 2 mezzi si conserva la componente tangenziale del campo elettrico (a prescindere da come è fatto il campo).
Quindi nel ns. caso essendo il campo radiale alla sfera, in prossimità dell'interfaccia tra dielettrico e vuoto sarà tutto tangenziale all'interfaccia stessa e quindi $E_d = E_v$.
Grazie mille 
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo