Conservazione di q.ta di moto ed energia meccanica sistema

[revenge85]

Buongiorno a tutti,
sono nuovo del forum e credo sia opportuno presentarmi prima di chiedere il vostro aiuto.

Mi chiamo Luigi, sono uno studente di informatica e sono alle prese con il corso di fisica.

La domanda alla quale vorrei una risposta è legata alla conservazione della quantità di moto.
Vi pongo il mio quesito sotto forma di problema (che in realtà ha scatenato il dubbio) una domanda alla volta per evitare
che il post diventi poco leggibile:

Supponiamo di avere una massa $ m1=0.2 kg $ contenuta all'interno di una massa $ m2=1 kg $ (un fucile a molla)
La massa $ m1 $ è collegata ad una molla di costante $ K = 100 N/M $
Non c'è attrito tra $ m1 $ ed $ m2. $

A questo punto la quantità di moto $ P $ del sistema vale zero perché le due masse sono ferme.
Tuttavia l'energia meccanica $ E_"mecc" $ sarà pari all'energia potenziale della molla $ U_k = (1/2)k(Deltax^2) $

Quando le due masse si separano (dopo che la molla si riporta alla posizione di riposo) e giusto scrivere le seguenti relazioni?

$ E_"mecc" = (1/2)m1(V1^2) + (1/2)m2(V2^2) $
$ P = m1V1 + m2V2 = 0 => m1V1 = -m2V2 $ (per la conservazione della q.ta di moto totale del sistema)

Come è possibile calcolare le due velocità? E' giusto scrivere $ V1 = (-m2V2)/(m1) $ e poi risolvere l'altra in funzione di questa v1?

Grazie in anticipo,

Luigi

[duff18-votailprof]

Si mi sembra tutto giusto,

io direi anche che $1/2kx^2 = 1/2m_1*v_1^2 + 1/2m_2*v_2^2$

[revenge85]

"duff18":Si mi sembra tutto giusto,

io direi anche che $1/2kx^2 = 1/2m_1*v_1^2 + 1/2m_2*v_2^2$

Ciao e grazie per la risposta. Continuo con la domanda che mi porta ad avere il dubbio sull'esattezza dei calcoli:

Riporto tutti i dati del problema sempre considerando la totale assenza degli attriti.

$ Deltax = 0,1 m $
$ K = 100 N/M $
$ m1 = 0.2 Kg
$ m2 = 1 Kg

Vorrei capire se l'analisi che faccio dello stato iniziale e dello stato finale è corretta.

Stato iniziale:
$ E(i) = (1/2)KDelta(x^2) = (1/2) 100 N/M * (0,1)^2 m = 0,5 J
$ P(i) = (m1+m2)Vi = 0 $ (non c'è velocità)

E' giusto esprimere la quantità di moto così? Posso considerare le due masse come un'unica massa anche se ci sta la molla all'interno?

Stato finale :
$ E(f) = (1/2)m1V1^2 + (1/2)m2V2^2 $
$ P(f) = m1V1 + m2V2 $

Applicando i principi di conservazione dell'energia meccanica e della quantità di moto ricavo:

$ E(f) - E(i) = 0 => (1/2)m1V1^2 + (1/2)m2V2^2 = (1/2)K(Deltax^2) $
$ P(f) - P(i) = 0 => m1V1 + m2V2 = (m1+m2)V = 0 => m1V1 = -(m2V2) $

Ciò che in realtà interessa ai fini della risoluzione in questo problema è il calcolo delle velocità che ho svolto come segue:

${ ( (1/2)m1V1^2 + (1/2)m2V2^2 = (1/2)K(Deltax^2) ),( m1V1 = -(m2V2) ):} => { ( (1/2)m1V1^2 + (1/2)m2V2^2 = (1/2)K(Deltax^2) ),( V1 = -(m2V2)/(m1) ):} => $
$ => { ( (1/2)m1(-(m2V2)/(m1))^2 + (1/2)m2V2^2 = (1/2)K(Deltax^2) ),( V1 = -(m2V2)/(m1) ):} => $

$ { ( (1/2)m1( ((-m2V2)^2)/(m1)^2 ) + (1/2)m2V2^2 = (1/2)K(Deltax^2) ), (V1 = -(m2V2)/(m1) ):} $ semplifico $ 1/2 $, tolgo il meno davanti $ m2 $ ed $ m1 $ con $ m1^2 => { ( ( ((m2V2)^2)/(m1) ) + m2V2^2 = K(Deltax^2) ), (V1 = -(m2V2)/(m1) ):} $

$ { ( (m2^2V2^2)/(m1) + m2V2^2 = K(Deltax^2)) , (V1 = -(m2V2)/(m1) ):} => { ( V2^2(((m2)^2)/(m1)+m2) = K(Deltax^2) ), (V1 = -(m2V2)/(m1) ):} => { ( V2^2 = K(Deltax^2)/(((m2)^2)/(m1)+m2) ), (V1 = -(m2V2)/(m1) ):} => { ( V2 = sqrt(K(Deltax^2)/(((m2)^2)/(m1)+m2)) ), (V1 = -(m2V2)/(m1) ):} => { ( V2 ~~ 0.408 ) , (V1 ~~ 2.041):}

Avendo calcolato le velocità in funzione di $ E(f) = E(i) $ e controllando che effettivamente $ (1/2)(0,2)(2.041)^2 + (1/2)(1)(0.408)^2 ~~ 0.5 $ sono certo di aver svolto i conti correttamente? Esiste un metodo piu' veloce per calcolare V1 e V2?

[duff18-votailprof]

E' tutto corretto, comunque a me non sembra un procedimento lungo!