Conservazione dell'energia e urto elastico
Salve a tutti,ho un dubbio notevole nel problema che invio come allegato,non capisco se in esso si possa (poichè la componente x della velocità dell'oggetto non varia in modulo) imporre la condizione di conservazione dell'energia meccanica scrivendo:
Energia cinetica dell'oggetto nell'attimo prima di cominciare a cadere+Energia potenziale nel medesimo istante=Energia cinetica dell'oggetto nell'attimo prima che tocchi il pavimento.
Per me ha senso in quanto se urta elasticamente contro il muro,essendo l'energia cinetica una grandezza scalare che non tiene contro del fatto che nell'urto la componente x della velocità si inverte di segno,è come se proseguisse nel suo moto verso il pavimento senza urtare il muro,o meglio,non vi sono differenze nei conti.
Se ciò che ho scritto finora è corretto allora credo di essere in grado di svolgere il problema altrimenti non saprei da dove cominciare...grazie in anticipo,scusate le incorrettezze formali o il mancato uso di formule ma mi sono appena registrato:)
Energia cinetica dell'oggetto nell'attimo prima di cominciare a cadere+Energia potenziale nel medesimo istante=Energia cinetica dell'oggetto nell'attimo prima che tocchi il pavimento.
Per me ha senso in quanto se urta elasticamente contro il muro,essendo l'energia cinetica una grandezza scalare che non tiene contro del fatto che nell'urto la componente x della velocità si inverte di segno,è come se proseguisse nel suo moto verso il pavimento senza urtare il muro,o meglio,non vi sono differenze nei conti.
Se ciò che ho scritto finora è corretto allora credo di essere in grado di svolgere il problema altrimenti non saprei da dove cominciare...grazie in anticipo,scusate le incorrettezze formali o il mancato uso di formule ma mi sono appena registrato:)
Risposte
Hai visto giusto, è corretto. La funzione del muro , visto che l'urto è totalmente elastico, è solo quella di invertire di 180º il verso del vettore $vecv_x$ , componente orizzontale di $vecv$ . Se il muro non ci fosse, il giocattolo cadrebbe a distanza $ |x| + |d| $ dal tavolo . Quindi puoi eseguire i calcoli come se il muro non ci fosse, e una volta trovata la distanza sottrai $|x| $ e il gioco è fatto.
Ma col principio di conservazione dell'energia ottieni solo il modulo della velocità di impatto al suolo. Devi usare le formule del moto parabolico di un grave, che nel tuo caso descrive mezza parabola, dal vertice a terra .
Ma col principio di conservazione dell'energia ottieni solo il modulo della velocità di impatto al suolo. Devi usare le formule del moto parabolico di un grave, che nel tuo caso descrive mezza parabola, dal vertice a terra .
Ok grazie mille allora avevo impostato bene,il resto non dovrebbe essere troppo difficile...se posso chiedere due ultime delucidazioni teoriche,se ho un urto di questo genere in cui c'è un muro immobile e un oggetto che urta contro di esso,è corretto dire che se si conserva la quantità di moto dell'oggetto allora si conserva per forza anche la sua en.cinetica(visto che il muro non può muoversi)? E sempre in queste condizioni, se il corpo urta il muro con una velocità e poi rimbalza indietro con una velocità inferiore allora non si ha nè un urto elastico nè uno anaelastico,come si spiega tale cosa? so dalla teoria che negli urti anaelastici si dissipa dell'energia sotto altre forme,ma negli urti anaelastici la q.di moto si conserva e se l'oggetto rimbalza con una velocità inferiore allora la q.di moto non si conserva a meno che non acquisisca velocità il muro.
"TheAmaro":
Ok grazie mille allora avevo impostato bene,il resto non dovrebbe essere troppo difficile...se posso chiedere due ultime delucidazioni teoriche,se ho un urto di questo genere in cui c'è un muro immobile e un oggetto che urta contro di esso,è corretto dire che se si conserva la quantità di moto dell'oggetto allora si conserva per forza anche la sua en.cinetica(visto che il muro non può muoversi)?
Per definizione un urto è elastico quando si conserva l'energia cinetica, altrimenti si parla di urto anelastico.
"TheAmaro":
... negli urti anaelastici la q.di moto si conserva e se l'oggetto rimbalza con una velocità inferiore allora la q.di moto non si conserva a meno che non acquisisca velocità il muro.
Attenzione, la quantità di moto si conserva se il sistema dei due corpi che si urtano è complessivamente isolato da forze esterne.
La quantità di moto del sistema di due oggetti isolati che urtano tra loro si conserva sempre, sia che l'urto sia elastico sia che l'urto sia anelastico. Nel caso della pallina contro il muro, il muro chiaramente ha una massa incommensurabilmente maggiore della pallina e dopo l'urto è praticamente fermo, mentre la pallina cambia direzione.
Quanto vale la quantità di moto della parete, che per ipotesi ha massa infinita e velocità zero prima dell'urto? Non ha senso parlare di q.d.m della parete in questo caso.
Però poiché si conserva la quantità di moto totale, si può dire sempre che la parete subisce una variazione di quantità di moto uguale ed opposta alla variazione di q.d.m. della particella urtante. Però occhio! Ovviamente la parete è inizialmente ferma, e tale rimane anche dopo l'urto, per ipotesi.
Perciò questa variazione di q.d.m della parete si deve identificare con l' impulso subito dalla parete, e basta. L'energia cinetica della parete è nulla prima e dopo (*). Se l'urto è elastico, si conserva allora l'energia cinetica della particella, perciò si conserva il modulo della sua velocità : $v = v_0$ .
Se la particella $1$ urta la parete perpendicolarmente , denotando con $hatn$ il versore normale alla parete e diretto nel senso del moto della particella , questa subisce un impulso dato da :
$vecI_1 = -2mv_0hatn$ . Quindi per contro la parete subisce l'impulso : $ vecI_2 = 2mv_0hatn$
(*) La variazione di energia cinetica della parete si può mettere in relazione con la sua massa, e vale : $ (\Deltap^2)/(2M) $, la quale naturalmente dà zero se $M = \infty$ . Per maggiori informazioni :
http://fisica.unipv.it/didattica/Energia/ITA/urti.htm
Però poiché si conserva la quantità di moto totale, si può dire sempre che la parete subisce una variazione di quantità di moto uguale ed opposta alla variazione di q.d.m. della particella urtante. Però occhio! Ovviamente la parete è inizialmente ferma, e tale rimane anche dopo l'urto, per ipotesi.
Perciò questa variazione di q.d.m della parete si deve identificare con l' impulso subito dalla parete, e basta. L'energia cinetica della parete è nulla prima e dopo (*). Se l'urto è elastico, si conserva allora l'energia cinetica della particella, perciò si conserva il modulo della sua velocità : $v = v_0$ .
Se la particella $1$ urta la parete perpendicolarmente , denotando con $hatn$ il versore normale alla parete e diretto nel senso del moto della particella , questa subisce un impulso dato da :
$vecI_1 = -2mv_0hatn$ . Quindi per contro la parete subisce l'impulso : $ vecI_2 = 2mv_0hatn$
(*) La variazione di energia cinetica della parete si può mettere in relazione con la sua massa, e vale : $ (\Deltap^2)/(2M) $, la quale naturalmente dà zero se $M = \infty$ . Per maggiori informazioni :
http://fisica.unipv.it/didattica/Energia/ITA/urti.htm
Grazie delle risposte,sono tutte chiare dal punto di vista teorico,tuttavia il mio dubbio permane,ed è un dubbio molto banale dal punto di vista pratico:
Se io ho un oggetto di massa m (la pallina) che urta contro un oggetto di massa M infinitamente più grande(il muro),dire che si conserva la q.d.m di m non equivale a dire che le velocità prima e dopo l'urto della pallina sono uguali in modulo visto che la massa non cambia(e Q=mv)? E se questo è vero com'è che nella realtà palline di materiali diversi mantengono una quantità maggiore o minore delle loro velocità prima dell'urto a seconda del materiale di cui sono fatte? (perchè è evidente che se lancio una pallina di piombo o una di gomma dura contro il muro i risultati sono diversi).Ma soprattutto se ho questo caso che vi ho descritto allora q.d.m=mv e K=1/2mv^2 non sono estattamente la stessa cosa (nel senso che nel caso descritto entrambe dipendono solo ed unicamente dalla velocità della pallina) visto che il muro non si muoverà e la massa 1 non varierà? Questo è il mio dubbio, ma se mi spiegate l'esempio delle palline di materiali diversi probabilmente capirò anche il resto dell'errore che sto commettendo
Se io ho un oggetto di massa m (la pallina) che urta contro un oggetto di massa M infinitamente più grande(il muro),dire che si conserva la q.d.m di m non equivale a dire che le velocità prima e dopo l'urto della pallina sono uguali in modulo visto che la massa non cambia(e Q=mv)? E se questo è vero com'è che nella realtà palline di materiali diversi mantengono una quantità maggiore o minore delle loro velocità prima dell'urto a seconda del materiale di cui sono fatte? (perchè è evidente che se lancio una pallina di piombo o una di gomma dura contro il muro i risultati sono diversi).Ma soprattutto se ho questo caso che vi ho descritto allora q.d.m=mv e K=1/2mv^2 non sono estattamente la stessa cosa (nel senso che nel caso descritto entrambe dipendono solo ed unicamente dalla velocità della pallina) visto che il muro non si muoverà e la massa 1 non varierà? Questo è il mio dubbio, ma se mi spiegate l'esempio delle palline di materiali diversi probabilmente capirò anche il resto dell'errore che sto commettendo
SE l'urto tra due particelle $m_1$ ed $m_2$ non è perfettamente elastico, ma non è neanche completamente anelastico, bisogna introdurre il concetto di " coefficiente di restituzione" , indicato con $e$ .
Supponi di avere una pallina di massa $m$ , che cade da un'altezza $h$ su un piano orizzontale , e supponi che il piano sia perfettamente rigido, per evitare perdite di energia dovute alla deformazione del piano , e imputarle tutte alla pallina. SE cade dall'altezza $h$ , la velocita finale di impatto col piano sarà $v = sqrt(2gh)$ , come si ricava dal principio di conservazione dell'energia . Nel rimbalzo, se la pallina non è perfettamente elastica (nessun materiale lo è ) , essa rimbalzerà con una velocita $v'$ minore, raggiungendo una altezza $h' < h$ . Vuol dire che una parte dell'energia cinetica nell'urto è andata perduta. Il coefficiente di restituzione è dato da :
$e = sqrt((h')/h) =- (v')/v $
sul segno "-" tiene conto del verso . SE calcoli quindi il rapporto tra energia cinetica dopo e prima dell'urto, ottieni , nel sistema del centro di massa ( che in questo caso coincide con quello del piano, perchè la massa del piano si suppone infinita) che :
$e^2 =( E'_(kf) )/( E'_(ki)) $
Nel trattare l'urto parzialmente anelastico , si arriva alle espressioni delle velocità delle due particelle, dette all'inizio, nel sistema di riferimento del laboratorio, che trovi in questa ottima dispensa ( formule 8.12 ) :
http://www.dmf.unisalento.it/~panareo/D ... a/Urti.pdf
e cioe :
$ v_(1f) = ((m_1-em_2)v_(1i) + m_2(1+e)v_(2i))/(m_1 + m_2) $
$ v_(2f) = (m_1 (1+e)v_(1i) + (m_2 - em_1)v_(2i))/(m_1 + m_2) $
Per tornare al caso della pallina che urta la parete , se nella prima delle due espressioni ora dette calcoli il limite per $m_2$ che tende ad $\infty$ , ottieni che : $v_(1f) = - e v_(1i) $ , e se fai lo stesso per la parete ottieni ovviamente $v_(2f) =0 $
LE espressioni dell'impulso , che ti ho messo prima , cambiano perchè il coefficiente $2$ diventa , in entrambi, $(1+e) $ , che è compreso tra 1 e 2.
Anche Wikipedia tratta bene l' urto
Supponi di avere una pallina di massa $m$ , che cade da un'altezza $h$ su un piano orizzontale , e supponi che il piano sia perfettamente rigido, per evitare perdite di energia dovute alla deformazione del piano , e imputarle tutte alla pallina. SE cade dall'altezza $h$ , la velocita finale di impatto col piano sarà $v = sqrt(2gh)$ , come si ricava dal principio di conservazione dell'energia . Nel rimbalzo, se la pallina non è perfettamente elastica (nessun materiale lo è ) , essa rimbalzerà con una velocita $v'$ minore, raggiungendo una altezza $h' < h$ . Vuol dire che una parte dell'energia cinetica nell'urto è andata perduta. Il coefficiente di restituzione è dato da :
$e = sqrt((h')/h) =- (v')/v $
sul segno "-" tiene conto del verso . SE calcoli quindi il rapporto tra energia cinetica dopo e prima dell'urto, ottieni , nel sistema del centro di massa ( che in questo caso coincide con quello del piano, perchè la massa del piano si suppone infinita) che :
$e^2 =( E'_(kf) )/( E'_(ki)) $
Nel trattare l'urto parzialmente anelastico , si arriva alle espressioni delle velocità delle due particelle, dette all'inizio, nel sistema di riferimento del laboratorio, che trovi in questa ottima dispensa ( formule 8.12 ) :
http://www.dmf.unisalento.it/~panareo/D ... a/Urti.pdf
e cioe :
$ v_(1f) = ((m_1-em_2)v_(1i) + m_2(1+e)v_(2i))/(m_1 + m_2) $
$ v_(2f) = (m_1 (1+e)v_(1i) + (m_2 - em_1)v_(2i))/(m_1 + m_2) $
Per tornare al caso della pallina che urta la parete , se nella prima delle due espressioni ora dette calcoli il limite per $m_2$ che tende ad $\infty$ , ottieni che : $v_(1f) = - e v_(1i) $ , e se fai lo stesso per la parete ottieni ovviamente $v_(2f) =0 $
LE espressioni dell'impulso , che ti ho messo prima , cambiano perchè il coefficiente $2$ diventa , in entrambi, $(1+e) $ , che è compreso tra 1 e 2.
Anche Wikipedia tratta bene l' urto
Tutto chiaro,grazie mille, sono dispense che sicuramente mi torneranno utili tuttavia,per concludere la questione,ho capito bene che in un urto anaelastico non solo la quantità di moto del centro di massa può invertirsi di segno(cosa che avviene anche per un urto elastico),ma nel caso della pallina che cade a terra che poni te il centro di massa oltre a invertire il segno della sua q.d.m ,ne dissipa una parte ,dunque la q.d.m del centro di massa,che è sostanzialmente quello che studiamo nell'urto tra punti materiali, non si mantiene costante nemmeno in modulo.
Come poi le velocità finali si ricavino da una proporzionalità tra l'energia cinetica prima e dopo l'urto mi sembra ragionevole e lo comprendo,ma di fatto in un discorso di impulsi c'è da dire che c'è anche una variazione di quantità di moto della pallina che deve essere dovuta ad una forza impulsiva(interna) che agisce nell'istante infinitesimo dell'urto ed è appunto ricavabile dall'energia dissipata(con il coeff di restituzione),o sbaglio?
Come poi le velocità finali si ricavino da una proporzionalità tra l'energia cinetica prima e dopo l'urto mi sembra ragionevole e lo comprendo,ma di fatto in un discorso di impulsi c'è da dire che c'è anche una variazione di quantità di moto della pallina che deve essere dovuta ad una forza impulsiva(interna) che agisce nell'istante infinitesimo dell'urto ed è appunto ricavabile dall'energia dissipata(con il coeff di restituzione),o sbaglio?
"TheAmaro":
.....ma nel caso della pallina che cade a terra che poni te il centro di massa oltre a invertire il segno della sua q.d.m ,ne dissipa una parte ,dunque la q.d.m del centro di massa,che è sostanzialmente quello che studiamo nell'urto tra punti materiali, non si mantiene costante nemmeno in modulo.
Vorrei rettificare un po' quello che dici. Innanzitutto, non è il centro di massa che inverte il segno della sua q.d.m., il centro di massa è un punto. Sono le due masse che, a seguito dell'urto, cambiano ciascuna la propria q.d.m. , evidentemente, ma il principio di conservazione della q.d.m totale del sistema isolato rimane.
Due masse che viaggiano sulla stessa retta (per semplicità lasciamo perdere urti obliqui) con velocità $v_(1i) $ e risp. $v_(2i)$ si urtano; dopo l'urto, hanno velocità differenti $v_(1f) $ e $v_(2f)$ ; vale la regola dell'urto di Newton , che si basa su esperimenti : le velocità relative dopo e prima dell'urto sono legate dalla relazione :
$ v_(12,f) = - ev_(12, i) $ , e cioè : $v_(1f) - v_(2f) = e(v_(2i) - v_(1i) )$
inoltre, vale il principio di conservazione della q.d.m , per cui :
$m_1v_(1f) + m_2 v_(2f) = m_1v_(1i) + m_2 v_(2i) $
bastano queste due equazioni , nelle due incognite che sono le due velocità finali , che si trovano risolvendo il sistema, e ottenendo cosi le due espressioni che ho scritto nel precedente post. Come vedi, la conservazione della q.d.m. è essenziale.
Poi è chiaro il passaggio al limite, nel caso particolare che la seconda massa $m_2$ sia molto maggiore della prima $m_1$ e quindi possa considerarsi infinita , ragion per cui la sua velocità è zero prima e dopo l'urto. Ecco dunque che la massa $m_1$ che urta il pavimento ha velocita $v_(1f) = -ev_(1i)$ , certamente inferiore di quella iniziale e diretta in verso opposto.
Come poi le velocità finali si ricavino da una proporzionalità tra l'energia cinetica prima e dopo l'urto mi sembra ragionevole e lo comprendo,ma di fatto in un discorso di impulsi c'è da dire che c'è anche una variazione di quantità di moto della pallina che deve essere dovuta ad una forza impulsiva(interna) che agisce nell'istante infinitesimo dell'urto ed è appunto ricavabile dall'energia dissipata(con il coeff di restituzione),o sbaglio?
non sbagli, ogni variazione di q.d.m. è causata da un impulso di forza , ma per $m_1$ è esterna. È interna al sistema delle due masse, sí , ed è di natura elastica , come quando si comprime una molla che poi si distende restituendo l'energia immagazzinata . Sul sistema non agiscono forze esterne nel breve istante del contatto.
Ciao .
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