Conservazione dell'energia

[francesco1799]

Il problema dice: le due masse m1= 5kg e m2=3kg, della macchina di atwood mostrata in figura sono rilasciate da ferme, con m1 a un'altezza di 0.75m al di sopra del pavimento.
Quando m1 colpisce il pavimento, la sua velocità è di 1.8 m/s. Assumendo che la carrucola sia un disco uniforme con raggio 12 cm, calcola la massa della carrucola.

Io ho provato due vie:
1) U1=K2 ma non esce
2) U1=K2+K3 utilizzando come $ K2= 1/2 mv?2 $ e come $ K3= 1/2 I w^2 $ e anche qui vi risparmio i calcoli perchè non esce..
Il risultato è 2.2 kg

[Shackle]

Si tratta del classico caso in cui la puleggia ha massa non trascurabile. Leggiti questo , e poi ragiona sul moto uniformemente accelerato della massa $m_1$, che percorre la distanza $h$ data con accelerazione costante e velocità finale pure data.

[4131]

Qual è l'energia meccanica iniziale del sistema?

[*:29l0xsrx] le due masse sono inizialmente ferme quindi hanno energia cinetica nulla [tex]T_1=T_2=0[/tex], dove ho denotato con [tex]T_i[/tex] l'energia cinetica della massa [tex]m_i[/tex];[/*:m:29l0xsrx]
[*:29l0xsrx] anche la puleggia non sta ruotando, quindi la sua energia cinetica è pure nulla [tex]T=0[/tex];[/*:m:29l0xsrx]
[*:29l0xsrx] scegliamo come altezza di riferimento la posizione verticale della massa [tex]m_2[/tex]: l'energia potenziale della massa [tex]m_2[/tex] è nulla, quella della massa [tex]m_1[/tex] è [tex]U_1=m_1gh[/tex], infine quella della carrucola è [tex]U[/tex]; poiché la sua altezza rimane la stessa per tutta la durata del fenomeno non serve calcolarla.[/*:m:29l0xsrx][/list:u:29l0xsrx]
Qual è l'energia meccanica finale del sistema?


[*:29l0xsrx] le due masse sono collegate da una fune ideale che scorre attorno alla puleggia, quindi si muovono con velocità uguale in modulo [tex]v[/tex], ciascuna dà un contributo cinetico [tex]T_i=\frac{1}{2}m_iv^2[/tex];[/*:m:29l0xsrx]
[*:29l0xsrx] la carrucola sta ruotando a velocità [tex]\omega[/tex]; un punto della fune a contatto con la puleggia si muove con una velocità di modulo pari a [tex]v[/tex], quindi [tex]\omega=\frac{v}{R}[/tex], dove [tex]R[/tex] è il raggio del disco che costituisce la puleggia. Pertanto l'energia cinetica della puleggia è [tex]T=\frac{1}{2}I\frac{v^2}{R^2}[/tex], dove [tex]I=\frac{1}{2}MR^2[/tex] è il momento di inerzia del disco, [tex]M[/tex] è la massa della puleggia, incognita del problema.[/*:m:29l0xsrx]
[*:29l0xsrx]prendendo come altezza di riferimento quella della massa [tex]m_1[/tex], la massa [tex]m_2[/tex] si trova ad un'altezza [tex]h[/tex], mentre l'altezza della carrucola non è cambiata, quindi [tex]U_2=m_2gh,U_1=0[/tex] e l'energia potenziale della carrucola è ancora [tex]U[/tex].[/*:m:29l0xsrx][/list:u:29l0xsrx]
Riassumendo, l'energia meccanica iniziale del sistema è
[tex]E=m_1gh+U[/tex]
quella finale è
[tex]E=m_2gh+U+\frac{1}{2}m_1v^2+\frac{1}{2}m_2v^2+\frac{1}{2}I\frac{v^2}{R^2}=m_2gh+U+\frac{1}{2}v^2(m_1+m_2)+\frac{1}{4}Mv^2[/tex]
L'energia meccanica del sistema si conserva. facendo i conti ottieni...

[tex]M=\frac{4gh(m_1-m_2)-2v^2(m_1+m_2)}{v^2}.[/tex]

Molto utile conoscere il raggio della puleggia

[Gianni Trattore]

Se non vuoi studiare tutta la dinamica del sistema come invece si fa nel post suggerito, la conservazione dovrebbe funzionare (ho fatto i conti e quadrano), ma ti mancano dei termini: l'energia iniziale è tutta potenziale gravitazionale di m1 ad altezza h, l'energia finale invece conta l'energia cinetica di m1, di m2, della puleggia, e quella potenziale della massa m1 che ora e' salita.

[Shackle]

@413

Non è necessario conoscere il raggio della puleggia. Nella espressione della accelerazione trovata con la seconda equazione cardinale della dinamica, questa:

$a = (m_1 - m_2)/(I/r^2 + m_1 + m_2) * g $

compare al denominatore la quantità $I/r^2=1/2M$, cioè metà massa della puleggia. Ma anche nel procedimento con la conservazione della energia il raggio non occorre.

[4131]

"Shackle":@413
Non è necessario conoscere il raggio della puleggia.

Sì, il mio era un commento ironico