Conservazione del momento angolare

[Sabb1]

Due aste omogenee e rigide di lunghezza $L$ sono appoggiate su un piano orizzontale senza attrito e ruotano liberamente attorno ad un asse verticale passante per il loro centro. L'asta 1 di massa $m$ ruota inizialmente con velocità angolare $\omega_1$ in senso orario mentre la seconda, di massa uguale, è ferma. La distanza $d$ tra i due assi di rotazione è leggermente minore di $L$, quindi l'asta 1 ruotante urta ELASTICAMENTE con l'asta 2.

Avrei bisogno di un chiarimento sullo studio di questo urto. Essendo i corpi vincolati non si conserva la quantità di moto totale del sistema, mentre essendo l'urto elastico si conserva l'energia totale, data solo dalle energie cinetiche rotazionali (il centro di massa delle aste è fermo), fin qua tutto ok. Il mio dubbio è sulla conservazione del momento angolare, nelle soluzioni infatti viene scritto che il momento angolare totale del sistema formato dalle due aste si conserva, posso quindi impostare le due equazioni:
Conservazione dell'energia: $1/2 I \omega_1^2 = 1/2 I \(omega')_1^2 + 1/2 I \(omega')_2^2$
Conservazione del momento angolare: $I \omega_1= I\omega'_1+I\omega'_2$

Da cui il sistema: \begin{cases} \omega_1^2 =(\omega')_1^2+(\omega')_2^2 \\ \omega_1= \omega'_1+\omega'_2 \end{cases}
Trovo quindi che la velocità angolare dell'asta 2 dopo l'urto è uguale a quella dell'asta 1 prima dell'urto, mentre la velocità dell'asta 1 dopo l'urto è nulla: $\omega'_2 = \omega_1$ e $\omega'_1 = 0$.

Il fatto che il momento angolare del sistema si conservi mi torna.. D'altronde il sistema è isolato e le uniche forze esterne sono le reazioni degli assi di rotazione, che però non fanno momento prendendo il centro delle aste come polo; quando l'asta 1 urta l'asta 2 questa inizia il proprio moto di rotazione, non essendoci forze esterne che compiono momento sul sistema delle due aste il momento angolare totale rimane costante per la seconda equazione cardinale. Quello che non capisco è l'avere 2 poli diversi, cioè i due centri delle aste, mentre di solito studio la conservazione del momento angolare rispetto ad un solo polo. Mi rendo conto che probabilmente è una domanda stupida, ma qualcuno saprebbe chiarirmi questa cosa?

[donald_zeka]

Il momento angolare in questo caso si conserva solo per caso.

Nell'urto le ase si scambiano un impulso verticale $J$ uguale e contrario.

Sull'asta 1 agisce l'impulso J che fa un momento JL/2, sull'asta 2 agisce un impulso -J che fa un momento -JL/2, la loro somma è nulla. Se le aste sono fossero uguali o non centrate nel loro centro, il momento angolare non si conserverebbe.

[Sabb1]

Ok, grazie, ho capito! Chiaramente considerando una singola asta non si conserva il momento angolare, mentre considerando il sistema formato dalle due aste le forze impulsive causate dall'urto compiono momenti uguali in modulo e opposti in segno, annullandosi e mantenendo costante il momento angolare totale del sistema, il tutto sotto queste condizioni di simmetria.

Continuo con un'altra domanda per cercare di capire bene il problema.. Se ad esempio l'asta 1 ha massa $M>m$ perché dopo l'urto la somma dei momenti sulle due aste non è comunque nulla? L'impulso dell'asta 1 è maggiore in questo caso dell'impulso dell'asta 2, quindi dopo l'urto l'asta 1 non si ferma, ma inverte il proprio moto e ruota in senso antiorario, come l'asta 2, mi verrebbe quindi da dire che:
Prima dell'urto sull'asta 1 il momento dell'impulso è $J_1L/2$, mentre dopo l'urto per l'asta 1 è $-J'_1 L/2$ e per l'asta 2 è $-J'_2 L/2$, in modo che in modulo $J_1=J'_1+J'_2$, ma così il momento totale sarebbe nullo.. Dove sbaglio?