Conservatività forza centrale a simmetria sferica
Ciao, amici! So che una forza centrale a simmetria sferica diretta verso un punto fisso, come è quella di gravità diretta verso un punto materiale fisso o quella elettrica diretta verso una carica fissa, è conservativa perché, chiamato \(\hat{\mathbf{u}}\) il versore che punta dal punto che esercita la forza al punto mobile, che si trova ad una distanza $r$ dal primo, sul quale calcoliamo il lavoro compiuto, si può parametrizzare il cammino percorso dal punto mobile con \(\mathbf{r}:[t_a,t_b]\to\mathbb{R}^3\) dove \(\mathbf{r}=r\hat{\mathbf{u}}\). In tal modo la derivata della posizione del punto mobile è \(r'(t)\hat{\mathbf{u}}(t)+r(t)\hat{\mathbf{u}}'(t)\), dove si noti che \(\hat{\mathbf{u}}'(t)\cdot\hat{\mathbf{u}}(t)=0\) perché la derivata di un versore è ortogonale ad esso, e il lavoro compiuto è\[W=\int_{t_a}^{t_b}F(r(t))\hat{\mathbf{u}}(t)\cdot\mathbf{r}'(t)dt= \int_{t_a}^{t_b}F(r(t))\hat{\mathbf{u}}(t)\cdot (r'(t)\hat{\mathbf{u}}(t)+r(t)\hat{\mathbf{u}}'(t))dt=\int_{t_a}^{t_b}F(r(t))\hat{\mathbf{u}}(t)\cdot r'(t)\hat{\mathbf{u}}(t)dt \]\[=\int_{t_a}^{t_b}F(r(t))r'(t)dt=\int_{r(t_a)}^{r(t_b)}F(r)dr\]perciò il lavoro è nullo su qualunque cammino chiuso.
Mi spiega un utente del forum, che ringrazio ancora tantissimo, che forze come quella di gravità esercitata da un corpo in movimento o quella elettrica esercitata da una carica in movimento sono ugualmente conservative. In tal caso il percorso del punto mobile può essere parametrizzato da \(r\hat{\mathbf{u}}+\mathbf{c}\) dove \(\mathbf{c}\) è la posizione, mobile, in direzione della quale punta la forza, come quella di un punto materiale mobile che esercita la gravità su un altro o di una carica che esercita una forza elettrica su un'altra. In tal caso si ha che \[W=\int_{t_a}^{t_b}F(r(t))\hat{\mathbf{u}}(t)\cdot (r'(t)\hat{\mathbf{u}}(t)+\mathbf{c}'(t))dt \]e per provare quanto voluto basterebbe mostrare che $\int_{t_a}^{t_b}F(r(t))\hat{\mathbf{u}}(t)\cdot \mathbf{c}'(t)dt=0$, ma non mi riesce proprio.
Suppongo d'altra parte che queste siano cose piuttosto risapute e standard, perciò chiedo aiuto da queste parti...
Grazie di cuore a tutti!!!
Mi spiega un utente del forum, che ringrazio ancora tantissimo, che forze come quella di gravità esercitata da un corpo in movimento o quella elettrica esercitata da una carica in movimento sono ugualmente conservative. In tal caso il percorso del punto mobile può essere parametrizzato da \(r\hat{\mathbf{u}}+\mathbf{c}\) dove \(\mathbf{c}\) è la posizione, mobile, in direzione della quale punta la forza, come quella di un punto materiale mobile che esercita la gravità su un altro o di una carica che esercita una forza elettrica su un'altra. In tal caso si ha che \[W=\int_{t_a}^{t_b}F(r(t))\hat{\mathbf{u}}(t)\cdot (r'(t)\hat{\mathbf{u}}(t)+\mathbf{c}'(t))dt \]e per provare quanto voluto basterebbe mostrare che $\int_{t_a}^{t_b}F(r(t))\hat{\mathbf{u}}(t)\cdot \mathbf{c}'(t)dt=0$, ma non mi riesce proprio.
Suppongo d'altra parte che queste siano cose piuttosto risapute e standard, perciò chiedo aiuto da queste parti...
Grazie di cuore a tutti!!!
Risposte
Una carica in movimento NON genera un campo conservativo. In elettrostatica, dove il campo elettrico è conservativo, le cariche sono ferme 
Se le cariche si muovono, si genera anche un campo magnetico. Il campo elettromagnetico che ne risulta è descritto da un potenziale scalare e da un potenziale vettore e, purtroppo, le circuitazioni dei vettori campo elettrico e campo magnetico non sono più nulle, quindi, il campo elettromagnetico in generale non è conservativo.
Ci si può però salvare in corner, se si considerano i movimenti delle cariche molto lenti, in modo che il campo magnetico che ne risulti sia trascurabile. Allora si può parlare ancora di campo conservativo, anche se in modo approssimato.
Se le cariche si muovono, si genera anche un campo magnetico. Il campo elettromagnetico che ne risulta è descritto da un potenziale scalare e da un potenziale vettore e, purtroppo, le circuitazioni dei vettori campo elettrico e campo magnetico non sono più nulle, quindi, il campo elettromagnetico in generale non è conservativo.
Ci si può però salvare in corner, se si considerano i movimenti delle cariche molto lenti, in modo che il campo magnetico che ne risulti sia trascurabile. Allora si può parlare ancora di campo conservativo, anche se in modo approssimato.
Le cariche che si spostano, i lavori fatti dalle forze ecc. sono tutte robe virtuali. In verità non si sposta nulla, si calcolano solo integrali di linea senza che ad essi corrisponda nessun spostamento fisico.
Se, però, vuoi usare questi, secondo me, vecchi approcci in termini "spostare cariche dall'infinto ecc.", spostale pure, ma fallo "lentissimamente", così da non disturbare nulla
Il nocciolo della questione è solo questa:
$\vec{E} = - grad \varphi$,
il resto sono solo integrali.
Se, però, vuoi usare questi, secondo me, vecchi approcci in termini "spostare cariche dall'infinto ecc.", spostale pure, ma fallo "lentissimamente", così da non disturbare nulla
Il nocciolo della questione è solo questa:
$\vec{E} = - grad \varphi$,
il resto sono solo integrali.
Quindi il lavoro compiuto dal campo non sarebbe più \(-\frac{1}{8\pi\varepsilon_0}\sum_{\substack{i,j=1\\i\ne j}}^N\frac{q_iq_j}{r_{ij}}\) se le cariche non arrivano a destinazione ad una ad una, ma spostandosi in contemporanea, giusto? $\infty$ grazie ancora!!!
In verità non si deve spostare nulla. La formula dell'energia è una conseguenza della definizione di campo elettrico che ho postato sopra. Se poi vuoi proprio spostare le cariche dall'infinito, troverai (trascurando gli effetti magnetici) la stessa formula sia che ne sposti una alla volta o più e facendo i cammini che vuoi, dall'infinito ai punti di destinazione. Questo è però un'inutile fatica matematica. Perchè farsi del male
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