Conservatività campo elettrostatico

[mexuss]

ciao a tutti,

dopo un po di ricerche sul web rilevatesi insoddisfacenti, mi rivolgo alla vostra infinita conoscenza,

mi servirebbero delle spiegazioni sulla conservatività del campo elettrostatico, con relativa dimostrazione. Vanno bene anche link esterni

grazie mille a tutti per la disponibilità!

[anonymous_af8479]

È una conseguenza della legge di Faraday. Il rotore di E è nullo (in assenza di campo mangnetico variabile). Può bastare?

[mexuss]

hmmm preferivo ovviamente qualcosa di esaustivo, visto sarebbe una probabile domanda d'orale e non ho ben capito, ma ti ringrazio comunque per aver risposto! cercherò di trarre spunto nel frattempo se qualcun'altra vuole dilettarsi è ben accetto!

grazie comunque

[anonymous_af8479]

Siccome non intervengono altri, provo ancora io sperando di esserti utile

Siccome il rotore di E è nullo (legge di Faraday in assenza di campo magnetico variabile), se applico il teorema di Stokes, ottengo in qualunque circuito chiuso un lavoro del campo E nullo. Ciò è equivalente ad affermare che il campo elettrostatico è conservativo.

Può andare bene così?

[mexuss]

Ok dai, grazie per lo spunto e perdonatemi le pignolerie! Buonagiornata!

[mathbells]

"mexuss":con relativa dimostrazione

A tal proposito andrebbe chiarito (ma dovrebbe essere già chiaro) che la conservatività del campo elettrostatico è una legge di natura ed in quanto tale non si dimostra, ma se ne prende semplicemente atto. Detto ciò, quello che si può fare è tradurre tale proprietà fisica in una qualche forma matematica (l'equazione di maxwell sul rotore di E) ed eventualmente trovare altre forme matematiche, tutte equivalenti nella sostanza, ma che abbiano interpretazioni fisiche più o meno significative o adatte in certi contesti. Una forma matematica equivalente all'equazione del rotore è quella che ha detto arrigo, e cioè che la circuitazione lungo una qualsiasi linea chiusa di $\vec E$ è nulla (che sarebbe la forma integrale dell'equazione del rotore).

Da parte mia posso aggiungere che dalla forma \(\displaystyle \int_\gamma \vec E \cdot d\vec r =0 \) si può ricavare un'altra formulazione equivalente che ha una traduzione in termini fisici molto significativa e cioè: un campo è conservativo se il lavoro fatto dal campo su una particella che si sposta dal punto A al punto B dipende solo dai punti A e B e non dal percorso seguito dalla particella. Tale formulazione è quella che normalmente si prende come definizione (in termini fisici e non matematici) di campo conservativo.

La dimostrazione è semplice. Data una curva chiusa $\gamma$, prendiamo due punti qualsiasi A e B su $\gamma$, e chiamiamo $\gamma_1$ la semicurva che unisce A a B e $\gamma_2$ la semicurva che unisce B ad A; possiamo allora scrivere

\(\displaystyle \int_\gamma \vec E \cdot d\vec r =\int_{A,\gamma_1}^B \vec E \cdot d\vec r +\int_{B,\gamma_2}^A \vec E \cdot d\vec r=0\)

Da ciò segue:

\(\displaystyle \int_{A,\gamma_1}^B \vec E \cdot d\vec r=-\int_{B,\gamma_2}^A \vec E \cdot d\vec r=\int_{A,\gamma_2}^B \vec E \cdot d\vec r \)

Poiché, fissati i punti A e B, la curva $\gamma$ può essere presa arbitrariamente, arbitrarie sono anche le due semicurve $\gamma_1$ e $\gamma_2$. Moltiplicando i due integrali per una carica di prova $q$, si ottiene la tesi.

[mexuss]

ottimo! veramente grazie per la spiegazione! quella della circuitazione del lavoro da A a B era proprio quella che mi interessava di più grazie ancora per la disponibilità!