Confuso sulla Rotazione di un Corpo Libero che Volteggia in Aria
Caro Forum,
Sto rivedendo un argomento discusso in passato su matematicamente e vorrei avere qualche nuovo scambio di idee.
Si tratta di un corpo lanciato in aria che volteggia e ruota libero e sottoposto solamente alla forza di gravita' agente nel cdm. Per questo moto bidimensionale,i libri introduttivi di fisica fanno spesso credere che la rotazione avvenga fisicamente ed univocamente attorno al centro di massa cdm. In realta', il cdm, che segue una traiettoria parabolica mentre gli altri punti percorrono traiettorie piu' convolute, e' solo una scelta matematica di convenienza per applicare la conservazione del momento angolare. Ma la rotazione dell'oggetto non avviene fisicamente attorno ad un asse passante per il cdm, vero? Forse avviene attorno ad un asse che dipende dalle condizioni iniziali con cui il corpo viene lanciato? A ciascun punto interno o esterno al corpo e' possibile associare una terna di assi principali d'inerzia. C' e' poi il centro di rotazione istantaneo (e l'asse che passa per esso) che varia nel tempo.
Esiste o meno una centro/asse di rotazione che sia a riposo rispetto al sistema inerziale della terra ed attorno al quale il corpo ruota? In caso contrario, perche' esiste questa variabilita' nella descrizione dello stato di rotazione di un oggetto?
Sono confuso fra questi vari possibili centri di rotazione e assi di rotazione...
Grazie per qualsiasi delucidazione,
Astruso83
Sto rivedendo un argomento discusso in passato su matematicamente e vorrei avere qualche nuovo scambio di idee.
Si tratta di un corpo lanciato in aria che volteggia e ruota libero e sottoposto solamente alla forza di gravita' agente nel cdm. Per questo moto bidimensionale,i libri introduttivi di fisica fanno spesso credere che la rotazione avvenga fisicamente ed univocamente attorno al centro di massa cdm. In realta', il cdm, che segue una traiettoria parabolica mentre gli altri punti percorrono traiettorie piu' convolute, e' solo una scelta matematica di convenienza per applicare la conservazione del momento angolare. Ma la rotazione dell'oggetto non avviene fisicamente attorno ad un asse passante per il cdm, vero? Forse avviene attorno ad un asse che dipende dalle condizioni iniziali con cui il corpo viene lanciato? A ciascun punto interno o esterno al corpo e' possibile associare una terna di assi principali d'inerzia. C' e' poi il centro di rotazione istantaneo (e l'asse che passa per esso) che varia nel tempo.
Esiste o meno una centro/asse di rotazione che sia a riposo rispetto al sistema inerziale della terra ed attorno al quale il corpo ruota? In caso contrario, perche' esiste questa variabilita' nella descrizione dello stato di rotazione di un oggetto?
Sono confuso fra questi vari possibili centri di rotazione e assi di rotazione...
Grazie per qualsiasi delucidazione,
Astruso83
Risposte
Non esiste un "asse di rotazione", il vettore $vecomega$ è un vettore libero, se si conosce la velocità di un certo punto $O$ del corpo rigido, la velocità di qualunque altro punto P del corpo può essere espressa come: $v(P)=v(O)+omegaxx(P-O)$, ossia in ogni istante, il corpo trasla con velocità V(O) e ruota attorno a un asse passante per O e parallelo a $omega$. Ma questa è solo una delle infinite possibilità di muoversi del corpo, infatti scegliendo un altro punto O' dverso da O, per qualsiasi altro punto P vale quella relazione, quindi questa volta il corpo, in ogni istante, trasla con velocità V(O') e ruota attorno a un asse passante per O' e parallelo a $omega$. Queste, come sottolineato, valgono solo in un istante, perché in un istante successivo la velocità angolare del corpo può cambiare direzione e modulo, quindi, in ogni istante, il moto di un corpo rigido è composta da una traslazione e una rotazione, ma l'asse a cui avviene questa rotazione dipende dal punto scelto come riferimento, non esiste un punto privilegiato. Nel caso dei moti rigidi liberi, ossia soggetti solo al proprio peso, di solito si sceglie il centro di massa come punto di riferimento, perché così facendo, se si pone un sistema di riferimento nel cdm, allora il cdm resta fermo in tale sistema, e il moto relativo del corpo rispetto al cdm è un moto di precessione. Ma chiaramente è solo un modo di fare, potremmo scegliere qualsiasi altro punto come riferimento.
In definitiva quindi, non ha senso dire che un corpo ruota fisicamente attorno a qualcosa, il vettore $omega$ è appunto un vettore libero e può essere applicato in ogni punto, quindi il corpo, in ogni istante, può ruotare attorno a qualsiasi asse parallelo a $omega$, dipende da quale punto di riferimento è più comodo scegliere. Un tipico punto di riferimento nei corpi rigidi è per esempio un punto appartenente al cosiddetto asse di moto (o asse di mozzi), i punti di questo asse hanno velocità parallela a $omega$ e rispetto quindi a un punto di questo asse, in ogni istante, il corpo si muove come una vite.
"astruso83":
..... Ma la rotazione dell'oggetto non avviene fisicamente attorno ad un asse passante per il cdm, vero? Forse avviene attorno ad un asse che dipende dalle condizioni iniziali con cui il corpo viene lanciato? A ciascun punto interno o esterno al corpo e' possibile associare una terna di assi principali d'inerzia. C' e' poi il centro di rotazione istantaneo (e l'asse che passa per esso) che varia nel tempo.
I libri di fisica te lo fanno credere (non spesso: sempre) perche' non e' una credenza, e' una realta'. Il corpo, una volta rilasciato, si mette proprio a ruotare attorno al cdm; non per permetterci di semplificare i calcoli, ma perche' e' la conservazione della quantita' di moto che ti permette di affermarlo.
Supponiamo per ipotesi che tu lanci un corpo su un piano orizzontale, di modo che la forza peso non entri in gioco, perche contrastata dalla reazione vincolare. Con la mano tu imprimi al corpo una certa qdm $vecQ$ e una certo Momento angolare $vecP$
$vecQ$ e' un vettore che si deve mantenere costante dopo che abbandoni il corpo (non ci sono forze esterne) e siccome per definizione $vecQ=mvec[v_c]$, dove $vec[v_c]$ e' la velocita del centro di massa, ne consegue che il centro di massa del corpo si deve muovere di moto rettilineo uniforme.
Se, per assurdo, il corpo decidesse di ruotare attorno attorno a un asse non passante per il CDM, quest'ultimo dovrebbe descrivere delle traiettorie convolute non rettilinee (in particolare, nel sistema di riferimento mobile con origine nell'asse di rotazione, il cdm descriverebbe circonferenze): ne consegue che $vecQ$ varierebbe, in generale non necessariamente in modulo, ma di sicuro in direzione, contraddicendo quindi la conservazione di Q.
Lo stesso discorso si applica se lanci un oggetto per aria: il cdm deve fare una parabola, cosa che si ottiene se e solo se il corpo rototrasla attorno al cdm; diversamente, il cdm non descriverebbe una parabola.
Per rendertene conto rotolancia una bottiglia di acqua con un filino di acqua sul fondo. A meno degli attriti, vedrai che dopo che l'hai lanciata, la bottiglia ruota attorno al fondo, che e' il centro di massa (lanciala forte che smette di rotolare subito per le scarse proprieta' aerodinamiche).
Per quanto riguarda la conservazione di $vecP$, essa ci assicura che il corpo continua a muoversi su un piano ortogonale a $vecomega$ senza "sballare" l'asse.
Credo che Vulplaisir abbia frainteso la domanda; ha risposto correttamente (da lui non ci aspettiamo diversamente), ma, mi sembra, non al dubbio che ti eri messo tu
"astruso83":
Esiste o meno una centro/asse di rotazione che sia a riposo rispetto al sistema inerziale della terra ed attorno al quale il corpo ruota? In caso contrario, perche' esiste questa variabilita' nella descrizione dello stato di rotazione di un oggetto?
Non esiste per il casi che stiamo trattando. Se l'asse di rotazionenon passa per il cdm, deve risultare sempre, come dice Vul, che la velocita di un punto P e' $vecv_p=vec[v_0]+vecomegaxx(P-O)$ e $vec[v_0]$ non puo' mai annullarsi.
Esiste invece, se il corpo e' vincolato nel suo moto (ad esempio, una scala che cade scivolando lungo la parete e lungo il pavimento, per esempio, ha un punto di istantanea rotazione K, individuato dall;intersezione delle 2 rette parallele rispettivamente alla parete e al pavimento e passanti per le estremita' della scala di modo da formare un rettangolo di cui la scala e' una delle diagonali). Ogni punto ha velocita $vecv_p=vec[v_K]+vecomegaxx(P-K)=vecomegaxx(P-K)$, poiche in questo caso si puo' trattare il moto della scala tenendo conto che K e' istantaneamente fermo e la scala vi ruota attorno.
Q e' un vettore che si deve mantenere costante dopo che abbandoni il corpo (non ci sono forze esterne) e siccome per definizione Q=mvc, dove vc e' la velocità del centro di massa, ne consegue che il centro di massa del corpo si deve muovere di moto rettilineo uniforme.Questo è vero, però non significa necessariamente che il corpo ruoti attorno al cdm, quello che volevo dire nella mia risposta è che, per esempio, se si considera una trottola che trasla e ruota su un piano, allora come hai detto tu la velocità del cdm si conserva in modulo e direzione, quindi, se $omega$ è il vettore caratteristico della velocità angolare del moto della trottola (vettore che è indipendente dall'asse e dal punto su cui "realmente" la trottola ruota), allora la cosa più semplice e intuitiva da fare è scomporre il moto in un moto di traslazione del cdm e un moto di rotazione attorno al cdm, ne consegue che l'atto di moto della trottola è in ogni istante $v(p)=v_(cdm)+omegaxx(P-cdm)$, però, per esempio, niente ci viete di scomporre il moto relativamente all'asse di Mozzi, che varia in ogni istante. Essendo in questo caso l'invariante scalare del moto nullo, allora i punti dell'asse di mozzi hanno velocità nulla, quindi l'atto di moto della trottola, in ogni istante, relativamente al'asse di mozzi è: $v(P)=omegaxx(P-O)$, essendo O un punto su tale asse, quindi in ogni istante la trottola compie una rotazione pura attorno all'asse di mozzi, mentre prima compieva una rotazione attorno a un asse passante per il cdm e contemporaneamente una traslazione del cdm. Chiaramente pure scomponendo il moto attorno all'asse di mozzi, la velocità del cdm resta costante e vale il principio della conservazione della quantità di moto, perché l'asse di mozzi varia in ogni istante, e in ogni istante è tale che la velocità del cdm non vari nel tempo.
Secondo me quindi, quelle affermazioni che fanno nei libri di fisica, le fanno perché una descrizione dettagliata del moto di un corpo rigido richiederebbe un corso di meccanica razionale. Infatti nei libri che ho usato o letto io, non si parla mai del moto generale di un corpo rigido, si parla solo di traslazioni, rotazioni attorno a un asse fisso, e la loro composizione, le rototraslazioni, ma chiaramente un moto di un corpo rigido può essere ben più complesso di una rototraslazione. Insomma, si può scomporre il moto rispetto al cdm, così come si può scomporre rispetto a qualsiasi altro punto, senza alcun problema, l'importante è conoscere $omega$ e la velocità del particolare punto scelto, o almeno questo è quello che ho capito dal testo "lezioni di meccanica razionale" di Levi Civita http://quod.lib.umich.edu/cgi/t/text/te ... 6.0001.001
Salve Vulplasir e professorkappa. Grazie per le risposte.
La tua prima risposta, Vulplasir, e' molto utile in quanto mi sembra spieghi che sia possibile considerare un punto $O$ qualsiasi e descrivere la rotazione del corpo rigido attorno ad un asse passante per quel punto arbitrario $O$. Non esiste quindi un punto di rotazione $O$ ed un asse di rotazione privilegiati. Il vettore $\omega$ e' un vettore libero.
a) L'asse passante per il punto $O$ arbitrario deve essere parallelo a $\omega$?
b) Come si fa a determinare la direzione del vettore libero $\omega$ in un particolare istante $t$? Cosa sarebbe l'asse di rotazione fisso? Si tratta di una situazione in cui il vettore libero $\omega$ rimane costante nel tempo?
c) Il punto $O$ puo' essere sia interno sia esterno al corpo rigido?
d) Per il punto $O$ possono passare infiniti assi. Cosa determina quale asse viene selezionato?
e) Che nesso c'e' fra la rotazione, il vettore $\omega$ ed i concetti fin qui discussi e gli assi principali d'inerzia che vengono spesso introdotti quando si parla di rotazione? Forse, fra gli infiniti possibili punti $O$ esiste la triade di assi d'inerzia principali?
f) Perche' i concetti qui discussi non si possono' applicare a corpi non-rigidi (deformabili)? Che problema ci sarebbe?
Grazie,
Astruso83
La tua prima risposta, Vulplasir, e' molto utile in quanto mi sembra spieghi che sia possibile considerare un punto $O$ qualsiasi e descrivere la rotazione del corpo rigido attorno ad un asse passante per quel punto arbitrario $O$. Non esiste quindi un punto di rotazione $O$ ed un asse di rotazione privilegiati. Il vettore $\omega$ e' un vettore libero.
a) L'asse passante per il punto $O$ arbitrario deve essere parallelo a $\omega$?
b) Come si fa a determinare la direzione del vettore libero $\omega$ in un particolare istante $t$? Cosa sarebbe l'asse di rotazione fisso? Si tratta di una situazione in cui il vettore libero $\omega$ rimane costante nel tempo?
c) Il punto $O$ puo' essere sia interno sia esterno al corpo rigido?
d) Per il punto $O$ possono passare infiniti assi. Cosa determina quale asse viene selezionato?
e) Che nesso c'e' fra la rotazione, il vettore $\omega$ ed i concetti fin qui discussi e gli assi principali d'inerzia che vengono spesso introdotti quando si parla di rotazione? Forse, fra gli infiniti possibili punti $O$ esiste la triade di assi d'inerzia principali?
f) Perche' i concetti qui discussi non si possono' applicare a corpi non-rigidi (deformabili)? Che problema ci sarebbe?
Grazie,
Astruso83
Quelle non sono domande a cui si può rispondere nelle poche righe di un forum. Se stai studiando per un corso di fisica generale allora puoi anche lasciar perdere tutto questo discorso, se invece si tratta di un corso di meccanica razionale allora facendo quelle domande sembra che tu questo argomento non lo abbia neanche letto, quindi ti direi di studiarti per bene la cinematica dei rigidi, su quel link che ho postato nel messaggio precedente c'è tutto quello da sapere sulla meccanica razionale
Ok, grazie dell'aiuto. Sto frequentando un corso di fisica generale infatti e si sorvola su tante cose. Trovero' un testo di meccanica razionale che sia alla mia portata.
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