Confusione sul modulo quadro di una funzione
Ciao a tutti, mi scuso se questa non è la sezione corretta, ho scelto quella che ritenevo più appropriata, avendo un dubbio di analisi che riguarda la chimica fisica.
Sto leggendo degli appunti in cui si parla della densità di probabilità per un autovalore di un'osservabile con spettro continuo. Si fa il confronto con lo spettro discreto, in cui erano individuabili dei coefficienti; se ho capito bene, il discorso è: quando lo spettro è discreto posso dire che, considerando una base ortonormale di autofunzioni $|k>$ (normalizzate secondo Kronecker):
$|\Psi>$ = $\sum_{k}|k>$
e si arriva a dire che il modulo al quadrato del coefficiente $$, cioè $||^2$, è la probabilità di ottenere dalla misura il corrispondente autovalore $\lambda_k$.
Se ho a che fare con uno spettro continuo potrò scrivere
$|\Psi>$ = $\int_a^b|\xi><\xi|\psi>d\xi$
con le $|\xi>$ autofunzioni normalizzate secondo Dirac. In questo caso però, il modulo al quadrato dei "coefficienti", $|<\xi|\psi>|^2$ non è più una probabilità ma una densità di probabilità, per un singolo valore dell'osservabile.
Questo era per contestualizzare quello che ho capito. Il mio dubbio però riguarda il concetto di "modulo quadro". La grandezza $|<\xi|\psi>|^2$ è una funzione di $\xi$ ed è una densità di probabilità. Se voglio conoscere la probabilità di un certo valore dell'osservabile, devo integrare questa funzione tra due estremi. Quindi la probabilità è
$\int_a^b|<\xi|\psi>|^2d\xi$
Il fatto è che io sono abituato a concepire il modulo quadro di una funzione proprio come questo integrale che sta qui su, mentre questo mi viene presentato come "l'integrale del modulo quadro", quindi per quanto ne so io dovrebbe essere l'integrale in $d\xi$ di un integrale in $d\xi$! Cioè io so che in generale
$|\phi|^2$ = $\int_a^b|\phi(x)|^2dx$ = $\int_a^b\bar\phi(x)\phi(x)dx$
quindi, già nel fare il modulo quadro di $|<\xi|\psi>|^2$ dovrei integrare. Ovviamente non è così, e infatti in giro trovo che il "modulo quadro" è soltanto il prodotto della funzione per se stessa coniugata, senza integrazione.
Perché allora si dice che
$|\phi|^2$ = $\int_a^b\bar\phi(x)\phi(x)dx$
se invece poi si considera
$|\phi|^2$ = $\bar\phi(x)\phi(x)$
?
O mi sta sfuggendo qualcosa di molto grosso, o ho molta confusione riguardo alla notazione. Spero di essermi spiegato..grazie in anticipo.
Sto leggendo degli appunti in cui si parla della densità di probabilità per un autovalore di un'osservabile con spettro continuo. Si fa il confronto con lo spettro discreto, in cui erano individuabili dei coefficienti; se ho capito bene, il discorso è: quando lo spettro è discreto posso dire che, considerando una base ortonormale di autofunzioni $|k>$ (normalizzate secondo Kronecker):
$|\Psi>$ = $\sum_{k}|k>
e si arriva a dire che il modulo al quadrato del coefficiente $
Se ho a che fare con uno spettro continuo potrò scrivere
$|\Psi>$ = $\int_a^b|\xi><\xi|\psi>d\xi$
con le $|\xi>$ autofunzioni normalizzate secondo Dirac. In questo caso però, il modulo al quadrato dei "coefficienti", $|<\xi|\psi>|^2$ non è più una probabilità ma una densità di probabilità, per un singolo valore dell'osservabile.
Questo era per contestualizzare quello che ho capito. Il mio dubbio però riguarda il concetto di "modulo quadro". La grandezza $|<\xi|\psi>|^2$ è una funzione di $\xi$ ed è una densità di probabilità. Se voglio conoscere la probabilità di un certo valore dell'osservabile, devo integrare questa funzione tra due estremi. Quindi la probabilità è
$\int_a^b|<\xi|\psi>|^2d\xi$
Il fatto è che io sono abituato a concepire il modulo quadro di una funzione proprio come questo integrale che sta qui su, mentre questo mi viene presentato come "l'integrale del modulo quadro", quindi per quanto ne so io dovrebbe essere l'integrale in $d\xi$ di un integrale in $d\xi$! Cioè io so che in generale
$|\phi|^2$ = $\int_a^b|\phi(x)|^2dx$ = $\int_a^b\bar\phi(x)\phi(x)dx$
quindi, già nel fare il modulo quadro di $|<\xi|\psi>|^2$ dovrei integrare. Ovviamente non è così, e infatti in giro trovo che il "modulo quadro" è soltanto il prodotto della funzione per se stessa coniugata, senza integrazione.
Perché allora si dice che
$|\phi|^2$ = $\int_a^b\bar\phi(x)\phi(x)dx$
se invece poi si considera
$|\phi|^2$ = $\bar\phi(x)\phi(x)$
?
O mi sta sfuggendo qualcosa di molto grosso, o ho molta confusione riguardo alla notazione. Spero di essermi spiegato..grazie in anticipo.
Risposte
Sto studiando anche io Meccanica Quantistica e sulla notazione alla Dirac ci sto perdendo la testa... ma secondo me il tuo problema sta semplicemente nell'uso delle parole. Il libro che uso non fa questa distinzione; non cita proprio la parola "modulo quadro", però posso dirti che, in MQ, definirlo così
non avrebbe troppo senso, visto che, per la condizione di normalizzazione, devo sempre imporre che $ \int_a^b\bar\phi(x)\phi(x)dx $ = 1. Chiamalo come ti torna più comodo per capire, il succo è che $ = 1 $ e che $(|phi|)^2 dx = \bar\phi(x)\phi(x)dx$ è probabilità di trovare la particella in dx.
Non sono un esperto, spero di averti aiutato un minimo almeno
"Giud":
Perché allora si dice che
$ |\phi|^2 $ = $ \int_a^b\bar\phi(x)\phi(x)dx $
non avrebbe troppo senso, visto che, per la condizione di normalizzazione, devo sempre imporre che $ \int_a^b\bar\phi(x)\phi(x)dx $ = 1. Chiamalo come ti torna più comodo per capire, il succo è che $
Non sono un esperto, spero di averti aiutato un minimo almeno
Grazie della risposta, piano piano metto insieme i pezzi
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