Confronto bellico fra superpotenze - SNS 1987
"Nell'ipotesi deprecabile di un confronto bellico tra le due superpotenze, si considera l'impiego di missili basilistici intercontinentali. Dopo la prima rapida fase di accelerazione iniziale (che si suggerisce qui di trascurare), un missile balistico non è soggetto ad altre forze che a quella della gravità. Si valuti approssimativamente quanto tempo ciascun Capo di Stato avrebbe a disposizione per prendere le necessarie misure nel caso di un attacco improvviso, supponendo che egli sia informato istantaneamente della partenza dei missili avversari. (Si schematizzi il percorso del missile con un arco di cerchio lungo 8000 km)."
Quello che non riesco a capire è come devo interpretare il problema. Ad esempio, schematizzare il percorso con un arco di cerchio anziché con una parabola, cosa vuol dire? Agisce comunque solo la forza peso..
Devo calcolare quale sia il tempo approssimativo che questo missile impiega da quando si stacca terra a quando la ritocca nell'altro continente, dopo aver percorso 8000 km. Posso ipotizzare che i primi 4000 km siano in salita e i secondi 4000 in discesa? E cosa so della velocità, oltre a sapere come varia lungo un arco di parabola?
Grazie di ogni aiuto!
Quello che non riesco a capire è come devo interpretare il problema. Ad esempio, schematizzare il percorso con un arco di cerchio anziché con una parabola, cosa vuol dire? Agisce comunque solo la forza peso..
Devo calcolare quale sia il tempo approssimativo che questo missile impiega da quando si stacca terra a quando la ritocca nell'altro continente, dopo aver percorso 8000 km. Posso ipotizzare che i primi 4000 km siano in salita e i secondi 4000 in discesa? E cosa so della velocità, oltre a sapere come varia lungo un arco di parabola?
Grazie di ogni aiuto!
Risposte
Non posso aiutarti molto a dirti la verità
Sul missile agisce sì solo la forza peso, ma forse non puoi considerare il problema come un ordinario moto di un proiettile con traiettoria parabolica (cioè la forza peso non è costante e la superficie della Terra ha la sua curvatura): il missile deve andare da un continente all'altro, penso che per risolvere si debba considerare il missile lanciato in orbita (vedi approssimazione a una traiettoria circolare).
Sul missile agisce sì solo la forza peso, ma forse non puoi considerare il problema come un ordinario moto di un proiettile con traiettoria parabolica (cioè la forza peso non è costante e la superficie della Terra ha la sua curvatura): il missile deve andare da un continente all'altro, penso che per risolvere si debba considerare il missile lanciato in orbita (vedi approssimazione a una traiettoria circolare).
Puoi fare così:
i) la fase iniziale di accelerazione, trascurabile ai fini del calcolo, porta il missile in un'orbita circolare parallela alla superficie terrestre
ii) la velocità su quest'orbita è determinata, quindi puoi calcolare il tempo impiegato a percorrere l'arco
iii) poichè non viene specificata la quota di volo (i.e. l'altezza dell'orbita), puoi discutere la sua influenza sul tempo
i) la fase iniziale di accelerazione, trascurabile ai fini del calcolo, porta il missile in un'orbita circolare parallela alla superficie terrestre
ii) la velocità su quest'orbita è determinata, quindi puoi calcolare il tempo impiegato a percorrere l'arco
iii) poichè non viene specificata la quota di volo (i.e. l'altezza dell'orbita), puoi discutere la sua influenza sul tempo
La fase iniziale di accelerazione del missile lo porta a percorrere un'orbita circolare approssimativamente parallela alla superficie terrestre, ad un'altezza $h$ da essa. Perciò la velocità a questa altezza è tale che $mv^2/(R_T+h)=(GM_Tm)/(R_T+h)^2$, da cui $v=sqrt((GM_T)/(R_T+h))$, con $M_T$ e $R_T$ la massa e il raggio della Terra. Considerando la velocità costante lungo l'arco di circonferenza, il tempo impiegato a percorrerlo sarà
$t=s/v=s*sqrt((R_T+h)/(GM_T))$.
Calcolando il calcolabile ottengo $t=0,4*sqrt(6,38*10^6+h)$. Ora dovrei approssimare.. Se $h$ fosse trascurabile, otterrei $t=1000 s$ circa, cioè poco più di 16 minuti, che mi sembra un po' pochino.. Però affinché $h$ modifichi questo tempo deve praticamente essere di un ordine di grandezza maggiore di $10^6$, il che mi sembra eccessivo..
Posso quindi considerare $h$ sostanzialmente trascurabile rispetto al raggio terrestre e affermare che il Capo di Stato ha solo 16 minuti di tempo??
$t=s/v=s*sqrt((R_T+h)/(GM_T))$.
Calcolando il calcolabile ottengo $t=0,4*sqrt(6,38*10^6+h)$. Ora dovrei approssimare.. Se $h$ fosse trascurabile, otterrei $t=1000 s$ circa, cioè poco più di 16 minuti, che mi sembra un po' pochino.. Però affinché $h$ modifichi questo tempo deve praticamente essere di un ordine di grandezza maggiore di $10^6$, il che mi sembra eccessivo..
Posso quindi considerare $h$ sostanzialmente trascurabile rispetto al raggio terrestre e affermare che il Capo di Stato ha solo 16 minuti di tempo??
È grosso modo il procedimento a cui pensavo. Se ben ricordo, il tempo di volo di un ICBM è proprio dell'ordine di 20 minuti.
Mi consigli di trascurare $h$? Non credo che sarà mai maggiore del raggio terrestre..!
Per esempio, se $h=R$, il tempo aumenta di un fattore $\sqrt{2}$, quindi il suo ordine di grandezza rimane lo stesso, per cui dovrebbe essere compresi nell'"approssimativamente" del problema. Si può poi disquisire sull'effetto della rotazione terrestre (la velocità orbita è calcolata rispetto ad un sistema fisso, e non rispetto alla superficie terrestre).
beh, in approssimativamente 16 minuti pensi che sia apprezzabile il movimento della terra dovuto alla sua rotazione?
Suppongo di no, ma nella correzione di un compito di esame credo faccia una bella impressione mostrare che ci si è pensato ...
Anche solo con un calcolo spannometrico, del tipo la velocità del missile è dell'ordine di $8000/16*60\approx30000$ km/h, mentre la velocità di rotazione terrestre all'equatore è dell'ordine di $2pi*6000/24\approx1600$ km/h, quindi non incide sull'ordine di approssimazione considerato, ma andrebbe considerata in altri contesti.
Anche solo con un calcolo spannometrico, del tipo la velocità del missile è dell'ordine di $8000/16*60\approx30000$ km/h, mentre la velocità di rotazione terrestre all'equatore è dell'ordine di $2pi*6000/24\approx1600$ km/h, quindi non incide sull'ordine di approssimazione considerato, ma andrebbe considerata in altri contesti.
Grazie mille dell'aiuto!
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