Configurazioni di equilibrio di un sistema
Nel piano verticale $Oxy$ è mobile il sistema articolato costituito da una lamina triangolare equilatera $ABC$ rigida, omogenea, di lato $l$ e massa $m$, e da un asta rigida omogenea $CD$, di lunghezza $l$ e massa $M$. La lamina e il disco sono incernierati nel punto $C$. Il punto medio del lato $AB$ della lamina è fisso in $O$. Oltre al peso agiscono sul sistema una forza costante di vettore $F_1=a \vec j$, $a>0$, applicata nell'estremo $D$ dell'asta, e una forza elastica di vettore $F_2=-k^2(G_1-H)$, essendo $H$ la proiezione del baricentro della lamina $G_1$ sull'asse $Oy$, applicata in $G_1$. Determinare le configurazioni di equilibrio del sistema con due metodi differenti e il corrispondente valore delle reazioni vincolari. Figura:
Il primo metodo che ho usato è quello dell'equazioni cardinali della statica:
Prima equazione per il triangolo $ABC$:
$\{(\Phi_{Ox}+\Phi_{Cx}-sqrt(3)/6k^2lcos(alpha)=0),(\Phi_{Oy}+\Phi_{Cy}-mg=0):}$
Prima equazione per l'asta $CD$:
$\{(\Phi_{Cx}=0),(a-\Phi_{Cy}-Mg=0):}$
da cui otteniamo $\Phi_C=(a-Mg) \vec j$ e $\Phi_O=sqrt(3)/6k^2lcos(alpha) \vec i+((m+M)g-a)\vec j$
Seconda equazione per il triangolo $ABC$ rispetto al polo $G_1$:
$(sqrt(3)/6k^2lcos(alpha) \vec i+((m+M)g-a)\vec j)xx(G_1-O)+(a-Mg) \vec jxx(G_1-C)=0$
$(k^2l^2cos(alpha)sin(alpha))/12 \vec k+sqrt(3)/6(a-(m+M)g)lcos(alpha)\vec k+sqrt(3)/3(a-Mg)lcos(alpha)\vec k=0$
$(k^2l^2cos(alpha)sin(alpha))/12-sqrt(3)/6mglcos(alpha)+sqrt(3)/2(a-Mg)lcos(alpha)=0$ $(text{equazione } 1)$
Se $cos(alpha)=0$ allora $alpha_{1,2}=pmpi/2$
Se $cos(alpha)!=0$ e $-1<(2sqrt(3)mg+6sqrt(3)(Mg-a))/(k^2l)<1$ (si suppone $k!=0)$ allora $alpha_3=arcsin((2sqrt(3)mg+6sqrt(3)(Mg-a))/(k^2l))$ e $alpha_4=pi-alpha_3$.
Seconda equazione per l'asta $CD$ rispetto al polo $C$:
$-Mg\vec jxx(G_2-C)+a \vec jxx(D-C)$
$(Mglcos(beta))/2-alcos(beta)=0$ $(text{equazione } 2)$
Se $cos(beta)=0$ allora $beta_{1,2}=pmpi/2$
Se $a=(Mg)/2$ allora $betain[0,2pi]$.
Un altro metodo è quello del potenziale:
$U_{F_2}=-(k^2l^2cos^2(alpha))/24$
$U_{G_1}=-sqrt(3)/6mglsin(alpha)$
$U_{G_2}=-Mg(sqrt(3)/2lsin(alpha)+l/2sin(beta))$
$U_{F_1}=a(sqrt(3)/2lsin(alpha)+lsin(beta))$
$U(alpha,beta)=U_{F_2}+U_{G_1}+U_{G_2}+U_{F_1}$
Abbiamo che $q$ è una configurazione di equilibrio se e solo se $\nablaU(q)=0$, per cui:
$(\partial U)/(partial alpha)(alpha,beta)=(k^2l^2cos(alpha)sin(alpha))/12-sqrt(3)/6mglcos(alpha)+sqrt(3)/2(a-Mg)lcos(alpha)=0$ che corrisponde a $(text{equazione } 1)$
$(\partial U)/(partial beta)(alpha,beta)=(Mglcos(beta))/2-alcos(beta)=0$ che corrisponde a $(text{equazione } 2)$
Si ha quindi che le configurazioni di equilibrio con le corrispondenti reazioni vincolari sono:
(a) $q_{i,j}={alpha_i,beta_j},\Phi_C=(a-Mg) \vec j, \Phi_O=((m+M)g-a)\vec j$ con $i=1,2$ e $j=1,2$
(b)Se $-1<(2sqrt(3)mg+6sqrt(3)(Mg-a))/(k^2l)<1$ allora $q_{i,j}={alpha_i,beta_j},\Phi_C=(a-Mg) \vec j, \Phi_O=sqrt(3)/6k^2lcos(alpha_i) \vec i+((m+M)g-a)\vec j$ con $i=3,4$ e $j=1,2$
(c) Se $a=(Mg)/2$ allora $q_{i}={alpha_i,beta},\Phi_C=-(Mg)/2 \vec j, \Phi_O=(m+M/2)g\vec j$ con $i=1,2$ e $betain[0,2pi]$
(d)Se $a=(Mg)/2$ e $(2sqrt(3)mg+3sqrt(3)Mg)/(k^2l)<1$ allora $q_{i}={alpha_i,beta},\Phi_C=-(Mg)/2 \vec j, \Phi_O=sqrt(3)/6k^2lcos(alpha_i) \vec i+(m+M/2)g\vec j$ con $i=3,4$ e $betain[0,2pi]$
Può andar bene? (anche se ci sono errori di calcolo ditemi, grazie).
Il primo metodo che ho usato è quello dell'equazioni cardinali della statica:
Prima equazione per il triangolo $ABC$:
$\{(\Phi_{Ox}+\Phi_{Cx}-sqrt(3)/6k^2lcos(alpha)=0),(\Phi_{Oy}+\Phi_{Cy}-mg=0):}$
Prima equazione per l'asta $CD$:
$\{(\Phi_{Cx}=0),(a-\Phi_{Cy}-Mg=0):}$
da cui otteniamo $\Phi_C=(a-Mg) \vec j$ e $\Phi_O=sqrt(3)/6k^2lcos(alpha) \vec i+((m+M)g-a)\vec j$
Seconda equazione per il triangolo $ABC$ rispetto al polo $G_1$:
$(sqrt(3)/6k^2lcos(alpha) \vec i+((m+M)g-a)\vec j)xx(G_1-O)+(a-Mg) \vec jxx(G_1-C)=0$
$(k^2l^2cos(alpha)sin(alpha))/12 \vec k+sqrt(3)/6(a-(m+M)g)lcos(alpha)\vec k+sqrt(3)/3(a-Mg)lcos(alpha)\vec k=0$
$(k^2l^2cos(alpha)sin(alpha))/12-sqrt(3)/6mglcos(alpha)+sqrt(3)/2(a-Mg)lcos(alpha)=0$ $(text{equazione } 1)$
Se $cos(alpha)=0$ allora $alpha_{1,2}=pmpi/2$
Se $cos(alpha)!=0$ e $-1<(2sqrt(3)mg+6sqrt(3)(Mg-a))/(k^2l)<1$ (si suppone $k!=0)$ allora $alpha_3=arcsin((2sqrt(3)mg+6sqrt(3)(Mg-a))/(k^2l))$ e $alpha_4=pi-alpha_3$.
Seconda equazione per l'asta $CD$ rispetto al polo $C$:
$-Mg\vec jxx(G_2-C)+a \vec jxx(D-C)$
$(Mglcos(beta))/2-alcos(beta)=0$ $(text{equazione } 2)$
Se $cos(beta)=0$ allora $beta_{1,2}=pmpi/2$
Se $a=(Mg)/2$ allora $betain[0,2pi]$.
Un altro metodo è quello del potenziale:
$U_{F_2}=-(k^2l^2cos^2(alpha))/24$
$U_{G_1}=-sqrt(3)/6mglsin(alpha)$
$U_{G_2}=-Mg(sqrt(3)/2lsin(alpha)+l/2sin(beta))$
$U_{F_1}=a(sqrt(3)/2lsin(alpha)+lsin(beta))$
$U(alpha,beta)=U_{F_2}+U_{G_1}+U_{G_2}+U_{F_1}$
Abbiamo che $q$ è una configurazione di equilibrio se e solo se $\nablaU(q)=0$, per cui:
$(\partial U)/(partial alpha)(alpha,beta)=(k^2l^2cos(alpha)sin(alpha))/12-sqrt(3)/6mglcos(alpha)+sqrt(3)/2(a-Mg)lcos(alpha)=0$ che corrisponde a $(text{equazione } 1)$
$(\partial U)/(partial beta)(alpha,beta)=(Mglcos(beta))/2-alcos(beta)=0$ che corrisponde a $(text{equazione } 2)$
Si ha quindi che le configurazioni di equilibrio con le corrispondenti reazioni vincolari sono:
(a) $q_{i,j}={alpha_i,beta_j},\Phi_C=(a-Mg) \vec j, \Phi_O=((m+M)g-a)\vec j$ con $i=1,2$ e $j=1,2$
(b)Se $-1<(2sqrt(3)mg+6sqrt(3)(Mg-a))/(k^2l)<1$ allora $q_{i,j}={alpha_i,beta_j},\Phi_C=(a-Mg) \vec j, \Phi_O=sqrt(3)/6k^2lcos(alpha_i) \vec i+((m+M)g-a)\vec j$ con $i=3,4$ e $j=1,2$
(c) Se $a=(Mg)/2$ allora $q_{i}={alpha_i,beta},\Phi_C=-(Mg)/2 \vec j, \Phi_O=(m+M/2)g\vec j$ con $i=1,2$ e $betain[0,2pi]$
(d)Se $a=(Mg)/2$ e $(2sqrt(3)mg+3sqrt(3)Mg)/(k^2l)<1$ allora $q_{i}={alpha_i,beta},\Phi_C=-(Mg)/2 \vec j, \Phi_O=sqrt(3)/6k^2lcos(alpha_i) \vec i+(m+M/2)g\vec j$ con $i=3,4$ e $betain[0,2pi]$
Può andar bene? (anche se ci sono errori di calcolo ditemi, grazie).
Risposte
"andreadel1988":
La lamina e il disco sono incernierati nel punto $C$.
Se ho capito bene, $C$ è una cerniera interna e per disco intendevi asta.
"Noodles":
[quote="andreadel1988"]
La lamina e il disco sono incernierati nel punto $C$.
Se ho capito bene, $C$ è una cerniera interna e per disco intendevi asta.[/quote]
Guarda io ho ricopiato il testo pari pari e ho dedotto le tue stesse cose, però il testo è effettivamente quello...
Poichè:
devi aver dimenticato il fattore $1/2$ nel potenziale elastico.
$U=-sqrt3/6mglsin\alpha-Mg(sqrt3/2lsin\alpha+1/2lsin\beta)+a(sqrt3/2lsin\alpha+lsin\beta)-1/24k^2l^2cos^2\alpha$
devi aver dimenticato il fattore $1/2$ nel potenziale elastico.
"Noodles":
Poichè:
$U=-sqrt3/6mglsin\alpha-Mg(sqrt3/2lsin\alpha+1/2lsin\beta)+a(sqrt3/2lsin\alpha+lsin\beta)-1/24k^2l^2cos^2\alpha$
devi aver dimenticato il fattore $1/2$ nel potenziale elastico.
Si ha ragione ho corretto, grazie! Per il resto sta apposto?
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