Conduttori concentrici
Ciao, ho questo problema:
Una sfera conduttrice, con carica positiva $q$, viene posta al centro di una cavità ricavata entro un'altra sfera conduttrice inizialmente scarica. Il raggio esterno del sistema vale $R_2$. Successivamente l'intercapedine tra le due sfere è riempita con un dielettrico (la costante è $kappa$), in un processo a carica costante. La differenza tra l'energia iniziale e quella finale è $W_i-W_f=n J$ ed inoltre $W_f/W_i=m J$. Calcolare il valore di $kappa$ e la capacità iniziale $C$ del condensatore sferico formato dai due conduttori.
Nella soluzione abbiamo prima ricavato i valori di $W_i$ e $W_f$ mettendo le condizioni a sistema, poi abbiamo scritto questa equazione: $W_i=1/2q^2/C+1/2q^2/C_0$, dove $C_0=4piepsilon_0R_2^2$. Ora, mi è chiaro che $C_0$ è la capacità del conduttore esterno, ma $C$ è la capacità del condensatore, ovvero dell'intercapedine, o mi sbaglio? Allora perché l'energia totale è data dalla loro somma? Si avrebbe infatti una capacità equivalente $C_(eq)=(1/C_0+1/C)$ tale che $W_i=1/2q^2/C_(eq)$, come se fossero in serie le due capacità. Non capisco... così come non capisco la seguente: $W_f=1/2q^2/(kappaC)+1/2q^2/C_0$
Grazie per la disponibilità!
Una sfera conduttrice, con carica positiva $q$, viene posta al centro di una cavità ricavata entro un'altra sfera conduttrice inizialmente scarica. Il raggio esterno del sistema vale $R_2$. Successivamente l'intercapedine tra le due sfere è riempita con un dielettrico (la costante è $kappa$), in un processo a carica costante. La differenza tra l'energia iniziale e quella finale è $W_i-W_f=n J$ ed inoltre $W_f/W_i=m J$. Calcolare il valore di $kappa$ e la capacità iniziale $C$ del condensatore sferico formato dai due conduttori.
Nella soluzione abbiamo prima ricavato i valori di $W_i$ e $W_f$ mettendo le condizioni a sistema, poi abbiamo scritto questa equazione: $W_i=1/2q^2/C+1/2q^2/C_0$, dove $C_0=4piepsilon_0R_2^2$. Ora, mi è chiaro che $C_0$ è la capacità del conduttore esterno, ma $C$ è la capacità del condensatore, ovvero dell'intercapedine, o mi sbaglio? Allora perché l'energia totale è data dalla loro somma? Si avrebbe infatti una capacità equivalente $C_(eq)=(1/C_0+1/C)$ tale che $W_i=1/2q^2/C_(eq)$, come se fossero in serie le due capacità. Non capisco... così come non capisco la seguente: $W_f=1/2q^2/(kappaC)+1/2q^2/C_0$
Grazie per la disponibilità!
Risposte
In questo sistema il campo elettrico non è nullo all'esterno di $R_2$, quindi per trovare l'energia devi sommare quella del condensatore $1/2q^2/C$ e quella del campo esterno $1/2q^2/C_0$.
Se vuoi, puoi vederli proprio come due condensatori in serie.
Nella formula $W_f=1/2q^2/(kappaC)+1/2q^2/C_0$ il primo termine contiene la capacità del condensatore col dielettrico, che aumenta di un fattore $kappa$ rispetto al vuoto
Se vuoi, puoi vederli proprio come due condensatori in serie.
Nella formula $W_f=1/2q^2/(kappaC)+1/2q^2/C_0$ il primo termine contiene la capacità del condensatore col dielettrico, che aumenta di un fattore $kappa$ rispetto al vuoto
Ok, ma $C_0$ è la capacità del conduttore esterno... quella regione non è inclusa in $C$?
No. In un condensatore "normale", con cariche uguali e opposte sulle due facce, non c'è campo esterno.
Qui c'è un condensatore normale (la sfera interna e la faccia interna dell'altra) con cariche +q e -q, e in più c'è una sfera carica +q (la faccia esterna della sfera esterna)
Qui c'è un condensatore normale (la sfera interna e la faccia interna dell'altra) con cariche +q e -q, e in più c'è una sfera carica +q (la faccia esterna della sfera esterna)
Ah, adesso ho capito. Grazie!
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